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25第11届中国东南地区数学奥林匹克


2 0 1 4年第 l 0期 

第 1   1届 中 国 东 南 地 区 数 学 奥 林 匹 克 
中图分类号 : G 4 2 4 . 7 9   文献标识码 : A   文章编号 : 1 0 0 5— 6 4 1 6 ( 2 0 1 4 ) 1 0— 0 0 2 5— 0 6  

高 一 年 级 
1 . 设 P为

奇 素数 , a 、 b 、 c 、  为 小 于 P的正 整 
数, 且a  +b   、 c   +d   均 为 P的倍 数. 证明:   +  


4 . 设  为正整数 , 非负实数 。 ,   : , …,   满足 
f  

≤4 一 l i - j l ( 1 ≤   、  ≤n ) .  

证 明 :   。 +   : + . . ? +  < 寻 .  
( 金 蒙伟 供题 )   5 . 设△ A   C与△ X Y Z均为锐角三角形. 证明:  
c o t   A ? ( c o t 】 , + c o t   Z ) 、 c o t   B? ( c o t   Z+ c o t   X) 、   c o t   C ? ( c o t   X+ c o t   y )  

口   +6 c 恰有一个 为 P的倍 数.  

( 李胜宏

供题 )  

2 . 设n ( n ≥4 ) 为正 整数. n名 选 手两 两之 间 

各进行一场乒乓球 比赛 ( 每场 比赛均 分 出胜负 ) .   求 n的最小值 , 使得 比赛结束 后 , 总存在有序 四人 
组(  ,   2 , A , , A   ) , 满足 当 1 ≤i < _ 『 ≤4时 , 选手 A  

战胜选手 A   .  

( 何 忆捷

供题 )  

三数的最大值不小于÷ .  
J 

( 张 ̄ - i 1 2 供题)  

3 . 如图 1 , 在钝 角△ A B C中 , A B> A C , 点 0为  其 外心 , 边B C 、 C A、 A B的中点 分别 为 D、 E、 F, 中  线A D与 O F、 O E所在直线分别交于点 M、 Ⅳ, 直线  B M与 C N交于点 P . 证明 : O P上 A P .  
A  

6 . 设整数 a 、 b 、 c 与实数 r 满足 
口 r  + 6 r+c=O. a c #0 .  

证明: √ r 2 + c   为无理数.   ( 何忆捷 供题)  
7 . 如图 2 , 已知 P为定 圆o0上 的一个动点.  

以 P为圆心作 半径小 于 o0半径 的圆 厂, 与 o0  
交 于点 T 、 Q . 设 豫 为圆 ,的直径 , 分别 以  和 P  

为 圆心 、 R Q为半 径 作 圆 , 设 两 圆与 点 Q在 直 线  P R同侧 的交点 为  , 以   为 圆心 、 MR为半径 的 
图1  

圆与 圆 ,交 于点 尺 、 Ⅳ . 证明: 以  为 圆心 、 T N为 

( 陶平 生 供题 )  

半径 的圆过点 0 .  

于  . 因此 , 在 区间 [ 0 ,  +   ] 用 过 的黑 墨水 的数 

之后 , 假设 区间 [ 0 , 1 ] 没有全 被染黑 , 由( i i ) 知在 

区间[   , , 1 ] 中, 选 手 曰染黑 了一些 长度 不 同的区  量不超过  、 3   , ( 用在 区间 [ 0 ,   , ] 上 的黑 墨水 的 
数量 的上 界 ) 、   ( 用 在 区间  上 的黑 墨 水 的数  量) 之和. 从而 , 所 用黑 墨水 的数量最多为  间, 所有这些 区间的长为 2的负整数次幂 , 且长度  之 和不超过 1 一  , . 于是 , 用在该 区间 的黑墨水 的 
数量最多为 2 ( 1 一 戈 , ) .  

由( i ) , 知将 区间[ 0 , 1 ] 全部染黑 所用黑 墨水  的数量最多 为 3   , + 2 ( 1 一 戈   )< 3 . 于是, 桶 没空 ,  
选手  无 法获胜.   ( 熊 斌 提供 李建泉 翻译 )  

3 ( X r +   1 ) < _ 3 ( x r + O L ) = 3   。 ,  
这就证 明了( i ) 在这种情形也成立.  

考虑游戏 的任意一个时刻 , 如第 r 一1 次操作 

中 等 数 学 

2 . 同高一年级第 2题.   3 . 设 P为素数 , 正整数 、 y , z 满足 

<   < z < p , 且 { 詈 ) = { 詈 ) = { 吾 ) ,  
其中, { 0 } 表示实数 口的小数部分. 证明 :  
(  + Y + z ) I (   + Y   + z   ) .( 杨 晓呜 供题 )  

4 . 同高一年级第 4题.  
5 。 设凡 为大于 1 的整数 , 正 实数 。 ,  , …,  
满足 1 +   2 + …+   = 1 . 证明:  
l 冬 l   2  

( 张思汇

供题 )  

‘  



+1 一  

+1  

≥ 丢 (  , :   ) .  
,   一 1  

8 . 在图 3所示的图形 中 , 方 格 P的左 、 右两侧  分别 有 n 、 b 个方格, 上、 下两 侧 分别 有 c 、 d个方  格, 其中 , 口 、 b 、 c 、 d为正整数 , 满 足 
( 口一6 ) ( c —d )=0 .  

( 李胜宏

供题 )  

6 . 同高一年级第 7 题.   7 . 证明: 方程 口   +b 。 = c   有无 穷多 组正 整数  解( 口   , b   , c   ) ( i = 1 , 2 , …) , 使得对 每个正 整数 n ,   均有 c   、 c 川 互素.   8 . 同高一年级第 8题.   ( 陶平 生 供题 )  

称 由这些方格所组成的图形为一个“ 十字星” .  

参 考 答 案 
P  I   I   P  

高 一 年 级 
1 . 由口   + b   、 c   + d   均为 P的倍数知 
( ∞+  ) (   + b c ) = ( n   + b 2 ) c d + ( C   +  ) n 6  

l 冬 l   3  

也为 P的倍数.   又 P为素 数 , 故0 c +   、 口 d+6 c 至 少有 一个  为 P的倍 数.   另一方 面 , 假设 口 c + 6 d 、 0 d+6 c 均为 P的倍  供题 )   数. 则 
( 伽+ 6 d ) 一( 0 d+ b c ):( n— b ) ( c — d )  

现有 一 张 由 2   0 1 4个 方 格所 组成 的 3 8   X   5 3  

方格 表. 求该方格表 中十字星 的个数.  
( 陶平生

高 同一 二 a 庄 T . 级  与 D C  
1 . 如图 4 , 在锐角△ A B C中 , A B> A C , M 为边  B C的中点 , , 为 内心 , MI 与边 A C交于点 D,   与 

也为 P的倍数.   故P I ( 口 一 b ) 或P I ( c — d ) .  
不妨设 P l ( 0— 6 ) .  

△A B c的外接 圆交 于另—点 E证明:   =   .  

由0< 口 、 b < p , 知I   o— b   J < p .  

故 口= b , 即口   + b   = 2 a   为 P的倍数.  

但 P为奇素数 , 0< 0 < p , 故 P十 2 8   , 矛盾.  
因此 , 0 c+6 d 、 n d+6 c必 有 一 个 不 为 P 的 

倍数.   综上, C t C +   、 0 d+ 6 c 恰 有一个 为 P的倍数.   2 . 首先证明 : 当r t = 8时 , 总存 在满 足题 意 的 
有序 四人组.  

由于8 名选手之间共进行了 C ; = 2 8 场比赛 ,  
图4  

( 张鹏程 供题 )  

则 必 有 一 名 选 手 胜 了 至 少 『 - 警 1 = 4 场 ( r   ] 表 示  

2 0 1 4年第 1 O期 

2 7  

不小于实数  的最小整数 ) .  
不妨设选手 A l 胜了 a l 、 a 2 、 a 3 、 a 4 .  

约 定∑ = o .  
对k 进行归纳.   当k = 0时 , 对任 意的 s ( 1 ≤s ≤n ) 均有 

. 

在选手 a   、 a : 、 a , 、 a   之 间共进行 了六场 比赛 ,  

必有一名选手胜了其中至少I   l = 2场, 不妨设 
选手 a 。 胜选手 a   、 a 。 , 又不 妨设选手 a : 胜 了选 手 

a , , 则将选手 A   、 A , 、 A   分别取为 a   、 a   、 a , , 故有序  四人组 (  。 ,   : ,   。 , A   ) 满足条件.   接下来证 明 : 当n ≤7时未必存 在满足条件的 
有序 四人组.   只需 对 n= 7 予 以否定 即可.   将7 个 人记为 b 。 , b   , …, b   , 约定 b ,   +   =b   . 构  造 以下情形 :  

假设 k 时结论 已成立.  

考虑 k + 1 时 的情形.   对任意 s 、 k ( 1 ≤  ; s + k+ 1 ≤, 1 ) 由条件知  m i n i  ,   川+  ≤  
≤  丽 = 
.  

对i = 1 , 2 , …, 7 , 令 选手 b   胜选 手 b …、 b …、   b …, 但负 于选 手 b Ⅲ、 b Ⅲ、 b  .   这样恰 确定 了每场 比赛 的胜负.   假设存在有序四人组( A   , A   , A , , A   ) 符合题意  
由于选手 。 必 为 某个 b   , 故 选 手 : 、  、   只能为 b …、 b m、 h i + 4 这 三人 的排 列 , 但 因为选手  b i + l 胜选手 b m, 选手 b i + 2 胜选 手 b …, 选手 b i + 4 胜  选手 b …, 所以, 选手 b …、 b m、 b i + 4 没有一人可作 
为选手 A   , 矛盾.  

若  川+   ≤  

, 则结合 归纳假设有 



骞 i   = s ) +   + X s
+k   +1


(  

≤ 

+ 

;  

若  ≤  

, 类似地 , 利用归纳假设 有 

5  

≤ 

 

( 、   i   = s +  , 1   )  

综上 , 满足条件 的 n的最小值为 8 .  
3 . 由已知得 
BM =AM , C N =AⅣ ,   A M P =2   B A M,   PND =2   C A M.  

+  

骞   ) :   +  .  

因此  当k +1 时结论也成立.  

从而 , 式① 成立.  
特别地 ,  
…  

联结 O B、 D C .  

由于 0为△ A B C的外心 , 则 
BOC =2  
=  

C =2   PⅣD =  

B A M +2   BPC .  

C A M 

≤   +   <   小詈 .  

AMP +  

再考虑  >   的情形.  
不妨设  =  

因此 , B 、 0、 P、 C四点共 圆.  
故  B P O:   BC O=   C B O=   O P N.  

对△ B C P及截线 D M N应用梅涅 劳斯定理得 
BD C N  P M  1  
— —  

由条件知 M =  
又   ≤4   - l i - t l

≤  

= 1 .  

P M  M B   AM  
— —

DC   NP  MB 





l  

PN   NC   A N’  

= 一

= 一

.  

又  ≤  

=  l _   (   1 ≤   ≤ 凡 ,   ≠   ) , 则  

即  为  M P N的外角平分线.   又P O为  MP N 的平分线 , 从而, O P上 A P .  
4 . 设 ma x   =  

1 +   2 + . . ? +  =   I + ∑  i + ∑  f  
+  + 
。  

先考虑 0 ≤   ≤- 5   " 的情形.  
=  +  + 

只需证 明 : 对任意 s 、   ( 1 ≤s ≤s + k ≤n ) 有 
≤  +

妻   ,  

①  

< 



云   专 =   +   2 .  

②  

2 8  

中 等 数 学 

注意到, 当÷ <   ≤1 时,  

故s  +1=m  +4 a   c   +1  
: 一

4 a c+4 0   c   +1=( 2 a c 一1 )  ,  

2 卜   :  
因此 , 由式②知 
5  
I+  2 + … +9 C


即s   +1 必 为正整数 的平方 , 得s = 0 .  

但 由式②知 s ≠ 0 , 矛盾.  
综上 , 假设不成立.  

< 了。  

因此, √ r   + c   必为无理数.  
7 . 设  p 豫 : O / .  
由题 意知 T P= P Q .  

5 . 将c o t   A、 c o t   B、 c o t   C 、 c o t  、 c o t   Y 、 c o t   Z分 
别记为 口 、 b 、 c 、   、 Y 、   . 则 
n 6+6 c+c 0=x y+y z +Z , X =1,  

故  T O P= 2  

P= 2   Q 豫 = 2 a .  
T P  r  

其 中, 口 、 b 、 c 、   、   、   > 0 .  

设Q 尺=  , T P= r . 则 

由柯西不等式得 
( 0+ b + c )  (  + ) , + z )   ( 口 2 + b 2 + c 2 + 2 ) (   2 + ) , 2 +  + 2 )  


寺 :  : s i m n   =  =   面   j   O T = 鲁 . ’  
如图5 , 作P K上  于点 K, M L上 豫 于点 L  

≥( a  +   + C E , + 2 )   ( a+ b + c ) (  + y +   ) ≥口   +   + c = + 2   =  口 ( y + z ) + 6 ( z +   )+ C ( X + y ) ≥ 2  

m a x { a ( y +   ) , 6 (   +   ) , c (  + y ) } ≥ ÷.  
6 . 由条件得 b   一 4 a c >0 t .  
设r :   ( m   :b   4 a c ) .  

由   ≠ 0 , 知 

m≠ ± b .  
用反证法.  

①  则  T P K=  

图5  

假设√ r   + c   等于某个有理数 q , 记 
s =2 a q∈ Q.  

① 
△P R M.  

注意到 , N M= P M= R M= (  :   .  
于是 , △P  

则s   = 4 a   q   = 4 a   ( r   + c   ) :( 2 a t )  + 4 a   c  


( m一 6 )  + 4 a   c   > O .  

② 

因此 ,  N P M=   R P M.   由式① 、 ②, 知  K P N+   N P M= 9 0 。 .  
而  删 L+   N P M 
=   PML +   RP M =9 0。 。  

② 

若 m ∈ Z, 则( / / ' 7 , 一 b )  + 4 a   c   为整数.  
故s ∈Z .  

而4 s   = 4( m一 6 )  +( 4 a c )  


故/ K P N=   P M L .  
T N  
, ’  

4( m一 6 )  +( 6   一 m   )  

T  
1 



( ,   一 6 )   [ 4+ ( / 7 / , + b )   ] ,  

则 
r  

=s i n  


W =s i n   P ML=  

.  

故 4+( m+ b )  为平方数.  

2  

于是 , m+ b = 0 , 与式①矛盾.  
从而 , , , l   Z .   注意到 , m   = 6   一 4 a c ∈Z . 故m   Q .  

从而 , T N=   =O T , 即以   为圆心 、 T N为半  径 的圆过点 0 .  

8 . 对 于一个 十字 星 , 将题 目中所 指 的方格 P  
称为该 十字 星的“ 中心块 ” .  

又由式②知 
2 m b=m  +6  + 4 a   C —s  ∈ Q.   所以, 6=0 .  

当口 =6 时, 称该十字 星为“ 站着的” ; 当c = d   时, 称其为“ 躺着 的 ” ( 有 些 十字星 既为 站着 的 又 

2 0 1 4年 第 1 O期 

2 9  

为躺着 的) .  

既 站 看 又躺 看 的 十 罕 星 ( 中心 块 位 于 源 矩 形 的 中 

若一个矩形 R的一 行一 列 的并 集 恰 为某个 
十字 星 | s , 则 称  为 5的 “ 源矩 形 ” . 在 源矩 形 R   中, 十字星 S由中心块的位置唯一确定 , 且不同 的 

心) , 而方格表 P   中含 有 ( m一 2 k ) ( n一 2 2 ) 个这 
.  

样 的源矩形 , 于是 , 类似得到 
Ⅱ  
c:  

源矩形对应 的十字星必不相 同. 此外 , 由十字星的  定义 , 知源矩形 的行 数与列 数至少 为 3 ; 行 数为偶  数 的源矩形不含躺 着 的十字 星 ; 列数 为偶 数 的源 
矩形不含站着 的十字星.  

(  

z )  



[  】  【  】 ) [  

[  】 ) ' ③  

这正是在 A+ B中被重复计数 的十字 星个数.   特别地 , 对 m= 3 8 , n= 5 3的情形有 

现考虑 m× n方格 表 P …. 用  、  、 C分别表  示P … 中躺着 的 、 站着的 、 既站着又躺着 的十字 星 
的个数.  

【  】 ( m 一 [  】 ) = 1 8 × 1 9 = 3 4 2 ,  
:8   4 3 6 ,  

在方格表 P … 中, 2  + 1 行Z 列的源矩形 的个 

数为 ( m一 2   ) ( n — z +1 ) , 其 中, | l } 、 Z 满足 
3≤ 2 后+ 1 ≤ m. 3≤ l ≤n .  

[  】 (   一 [  】 ) = 2 6 × 2 6 = 6 7 6 ,  
:2 3   4 2 6 .  

对每个 2  +1 行 Z 列 的源 矩形 , 躺 着 的十字  星的 中心块必在 第 k+1行 , 且 位 于第 2至 Z 一1   列, 于是 , 此源矩 形对应 f 一 2 个躺着 的十字星.  
r  =  1  

代人式① 、 ②、 ③得 
A =3 4 2 ×2 3   4 2 6 =8   0 1 1   6 9 2.  
B =6 7 6 ×8   4 3 6 =5   7 0 2   7 3 6.  

故   :   奎( z 一 2 ) ( m 一 2   ) ( n — z + 1 )  

C :3 4 2 ×6 7 6 =2 3 1   1 9 2 .  

- [   k = l   ( m - 2 k 川  z ( n - l - 1 ) 】 ,  
『   1  

从而 , 方格表 P 。  , 含有 的十字星个数 为 
A +B —C =1 3   48 3   2 36  

其 中 ,   ∑   ( m 一 2   )  


高 同 一 卜与 二 年 级  D c  
2  

【  2  J  

m _ 2 ) +  2 [  】 )  

1 . 记B E与 A C交于点  联结 A I 、 C E .   对△ B C F与截线 MI D应用梅涅劳斯定理得 
B M  C D  FI .  
一 ● ——…  



[  】 ( m 一 【  ] ) ,  
i  =   2   1  =   2 :【  二  2 (  二  2 (   二  2  
一    

M C  DF  I B  

。  

∑z ( n — z 一 1 ) = ( ∑z ) n 一 1 ) 一 ∑f   ?  


B M :  , 于 是 ,  : 等 .  
由A , 平分  c , 知  =   .   由A 、  、 C 、 E四点共 圆知 
A B E =   AC E.  

一 — 。

(  二   2   1  二   !  
6   ‘  

故 A = [  
. 

一 [  ] ) 巫 

. ①  

故△ A   F∽ △ E  

A B=  
.  

同理 , 方格表 P   所含 的 后 行 ! +1 列 的源矩 

注意到 ,  E B C=   E B A=   E C A .  
则  E I C=   E B C+   B C I  
=   EC A+   I C A=   EC I .   .  

① 

形的个数为 m— k +1 ) ( n一 2 1 ) , 每个 k 行2 l + 1列  的源矩形对应 k 一 2个站着的十字星. 进而 ,  
r   1  

从而, E C= E 1 .  

B:  


(  一 2 ) ( m一  + 1 ) ( n一 2 z )  

【  ] ( n 一 【  】 )  

. ②  

由 上 述 结 论 得  = I 蔚 B = 箬=  =  .  
散E D   } I C .  
从而,   曰 C I =   I C D=   C D E .  

每个 2  +l 行2 Z + 1 列 的源矩形恰 对应一 个 

中 等 数 学 

又 由式①得△ B C I ∽△ C D E .  
因此 ,   =   =   .  

≥ 

X i  
,  

① 

2 . 同高一年级第 2题.  

( 1   2  
≤凡一  
n 

一  
i =1  

3 . 显然 , 素数 P> 3 , 且 由条件 知  一 , , 、 Y—  、   z 一  均不 为 P的倍数.  
由   =   =  

2  

n2


f  




. 

② 

t   I  





由 式 ①、 ②得∑—  
‘  1  

+l — X i +1  

≥  
,  

一 上  

.  

P   I (  一 Y   )   P I (  — Y ) (   +   + y   )  
=  Pl (   +x y+y 2 ) .  

6 。 同高一年级第 7题.  
7 。 将原方程变形为 b   =( c   一 a ) ( c   + a ) .   考虑满足 c   一 a =b , C   + a= b   的解 ( 0 , b , c ) .  
此时, 2 c   = b ( b + 1 ) , 2 a= b ( b 一1 ) .  

同理 , P I ( Y   +  +  ) , Pl (  +  +  ) .   故(  + x y +   )一( Y   + y z +  )  
^ 



=  



Z ‘ + 

^ 

一 



(  一 彳 ) (  +  + Y ) -0 ( m o d   P ) .  

令 6 为 奇 数 . 则 c 2 = 6 ?  ( 6 、  ∈ z + ) .  
可令 b :   2 ,  
。 :  : 

记 + y + z = A ,  + ) , 2 +  = B , x y +  +  = C .  
则P I A, 且  B+ 2 C=(  + Y + z )   -0 ( m o d   P ) ,  
2 B +C  


: y   , c =  . 则 
z ( y z 一1 ) ,  

(  +  + ) , 2 ) + (  +  +  ) + (  +  +  )  
0 ( o r o dP ) .  



其中, 正整数 、 Y 满足  2 y   =一1 ,  


① 

故P   l [ 2 ( 2 日+ C ) 一( 日+ 2 G ) ]   P   I 3   .  
但( p , 3 )= 1 , 于是 , P l  .  
贝 0   +   + z   (   。 + Y   +  ) (   + y   +   2 ) 一  y Z (  + Y ) 一  


且当 Y ≥2时 , 相应 的 ( a , b , c ) 为 原 方程 的正 整 
数解.  

根据方程① 的两组解 
(  , Y 。 )=( 7 , 5 ) , (   2 , Y   ) =( 4 1 , 2 9 )   可得到原方程 的两组解 
( a l , b 1 , c 1 )=( 1   1 7 6 , 4 9 , 3 5 ) ,   ( a 2 , b 2 , c 2 ) =( 1   4 1 2   0 4 0 , l   6 8 1 , 1   1 8 9 ) ,  

y 2  ( Y+ z ) 一 z  ( z +  )  


(  + ) ,   + 彳   ) B— x 2 y   ( A一   ) 一   y 2 z   ( A一   )一 Z 2 X   ( A— Y )  

兰  v 2   +y2 z 2 x +Z 2 x 2 y  


其 中, ( c 。 , C : ) =1 .  

A x y z - = 0 ( o r o d   P ) .  

① 

由于 x+ Y +  < 3 p , 故 + Y + z = p或 2 p .   当  + Y+  = p时 , 显然 ,  
(  + y+   ) l (   + Y   +  ) .   当  + Y+ z = 2 p时 ,  

在a 。 + b   = C   两边 同乘 以  得 
(   )  +( 6 后   )  =( c   。 )   .   故 当( a , b , c ) 满 足 方程 时 , ( n  , 6  , c . j }   ) 也  满 足方程.  

+ y   +  兰  + Y + z - - O ( m o d   2 ) .  

因此, 取素数 4 1 < p 。 < p 2 < …, 对  = 1 , 2 , …, 令 
a   + l , b   + 1 , c   + 1 ) : ( 0 l p   6 一 l , b l p z 4 j 一 1 , c 1 p 3   一 1 ) ,   a   + 2 , b   + 2 , C 2 j + 2 ) =( o 2 p   , 6 2 p   , c 2 p 3 j ) .  

注意 到 , 式① 及 P与 2互素.  
从而 , (  + Y +   ) I (  + Y   +  ) .   4 . 同高一年级第 4题.   5 . 显然 , 0<  < 1 ( i = 1 , 2 , …, n ) .   由柯 西不等式 与均值不等式得 

由于所 有素数 P   ( i =1 , 2 , …) 两两不 同, 且 与  c 1 = 7 × 5 , c 2 = 4 1 × 2 9互素 , 于是 ,  
( c 2 f , c 2 f + 1 )=( c 2 f + l , c 2   + 2 ) =( c l , c 2 ) =1 .   从而 , 上面 定义 的解 ( a   , b   , c i ) ( i =1 , 2 , …)  
满 足条件.  

(   i = 1  

) 【  
?

) ]  

瓜  

)  

8 . 同高一年级第 8 题.   ( 陶平生 提供 )  


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