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排列组合题型总结


排列组合题型总结

【一】特殊对象问题:

在处理排列问题时,所要研究的对象 有两组,一是要被排列的对象,一是位置, 在这两组对象中有时候会出现一个或者多 个特殊的对象: ? 若有一个特殊对象,一般先把特殊的对象 优先进行处理 ,然后再对其他的没有特殊 要求的对象进行全排列;

特殊对象问题:
如果出现了

两个特殊要求 ,一般使用 分类 的方法处理,针对其中的一个的位置不同 进行分类来处理,再或者用间接法 ? 例 1 、有 5 人排成一列,其中甲不在第一的 位置,有多少种排法? ? 例 2 、有 5 人排成一列,其中甲不能在第一, 乙不能在最后,有多少种排法?
?

【二】名额分配问题
这种问题处理时,要注意两个特征: 1、名额之间没有什么不同 2、名额分配时的具体要求是什么 当问题中要求分配时每人至少一个时,只需要在 所有名额形成空隙中选取比人数少一个的空隙, 放入相同的挡板即可 若问题中没有具体分配要求时,可以不上和人数 相同的名额转化成第一组问题来处理

?

?

【二】名额分配问题

例1、有10个三好学生的名额分给 3个班, 要求每班至少有一个名额,怎么分?
例2、有 7个三好学生的名额,分给3个 班,怎么分?

【三】分组分配问题

这里的分配问题与名额分配的最大区别是: 名额是相同,现在是不同的对象进行分配 例1、有6本不同的书,平均分给甲乙丙三人, 有多少种分法? 平均分配:乘法原理,直接分法 例2、有6本不同的书,平均分为三组,有多少 种分法? 平均分组:把例1分成两步:先分成三组;把不 同的三组分给三个不同人(组数的阶乘),求乘 积。所以平均分组方法=直接分法/组数的阶乘

【三】分组分配问题

例 3 、 有 6 本不同的书,分甲 1 本,乙 2 本, 丙3本,有多少种分法? 不平均定向分配:分步,直接分法 例 4 、有 6 本不同的书,分三组,一组 1 本,一组2本,一组3本,有多少种分法? 不平均分组 : 把例 3 理解成两步:先分组, 然后再把组定向分给人(只有1种方法), 所以答案同问题3,方法为直接分法

【三】分组分配问题

例5、有6本不同的书,分给三个人,一人1本, 一人2本,一人3本,有多少种分法? 不平均的不定向分配:理解成2步:先分组,然 后把组不定向的分给人(组数的阶乘) , 再求乘 积。 例6、有9本不同分成三组,一组5本,另外两组 各2本,有多少种分法? 混合型分组:理解成两步:先不平均的分,在 把某部分平均分组,再求两步乘积。整理规律即: 先直接分,然后除以平均组数的阶乘

【三】分组分配问题

例7、有9本不同的书,分给甲乙均2本,丙5本, 有多少种分法? 混合型某部定向分配:理解成两步,先混合型 分组,然后把组分给人;其中平均部分的分配 (平均组数的阶乘),再求乘积 例 8 、有 9 本不同的书,分给两人各 2 本,另一 人5本,有多少种分法? 混合型部定向分配:理解成两步,先混合型分 组,然后把组分给人(不定向,所有组数的阶 乘),再求乘积

【四】相邻问题

本组问题有两大类:相邻的对象相同,相邻的对象 不相同 1 、若相邻对象不同时,先把相邻的对象当成 一个,和其他没有要求的对象进行全排列,然后 再把相邻的对象进行全排列,这两步求乘积 2 、若相邻对象相同时,先把其他的对象排好, 再把相邻的对象当成一个按要求放在其他对象摆 好而形成的空格中

【四】相邻问题
例1、8人排成一列,甲乙丙三人必须相 邻,有多少种排法?
例2、一排8个座位,3人坐,5个空座位 相邻,有多少种坐法?

【五】不相邻问题

不相邻问题也有两大类:不相邻的对象相同, 不相邻的对象不相同 1、若不相邻对象不相同时,先把其他的对象 进行排列,再把不相邻的对象放在其他对象形成 空格中进行排列 2、若不相邻的对象相同时,也先把其他的对 象进行排列,再从其他对象摆好形成的空格中选 取相应的空格,最后直接把不相邻的对象放入 (1种方法,因为相同)

【五】不相邻问题
例 1 、某人射击训练, 8 枪命中 3 枪,恰 好没有任何2枪连续命中,有多少种情况? 例2、8人排成一列,甲乙丙三人不可相 邻,有多少种排法? 例 3 、 8 盏灯关掉 3 盏,不许关掉相邻的, 也不许关掉两端,多少种方法? 例 4 、某人射击训练, 8 枪命中 3 枪,恰 好2枪连续命中,有多少种情况?

【六】成双成对问题
先按双取出,再从各双分别取出一只, 自然不成双 例 1 、从 6 双不同鞋子中取出 4 只,要求 都不许成双,有多少种方法? 例 2 、从 6 双不同鞋子中取出 4 只,要求 恰好有一双,有多少种方法?

【七】可(不可)重复使用的对象
问题中有两组对象,解决问题时要以不可 重复使用的对象作为分布的标准(住店、 投信、映射、冠亚军等) 例1、5人住3家店,有多少种住法?
例2、5人参加同一下比赛,最终冠亚季军 名次有多少种?

【八】 我不能我问题
在处理换位置、交换礼品、职务连任等问题 时规则要求往往是自己不允许和自己发生关系, 这种问题一般只到 4 或 5 组对象。常用穷举法、 或用间接法,或用分步法(注意第二步的处理技 巧) 例1、4人写4张卡片,自己不许拿自己的卡片, 有多少中拿法?
例2、5人换位置,有多少种不同的换法?(44 种)

【九】至多至少问题
常用分类的方法或者间接法
例 1 、从 5个男生和 4个女生,选出 4人参 加比赛,要求至少要有 2 名女生的选法有 多少种?

【十】交叉功能问题
抓住一个特点进行分类,千万不要分类 过多
例1、10名翻译,有6人会英语,7人会 德语,现需要英语、德语翻译各3人,共 多少中选派方案?

【十一】相对顺序固定问题
相对顺序固定问题,常用两种方法: (1)一般要先处理掉没有相对顺序要求的 元素,再把剩下的有相对顺序要求的元 素按照要求摆放, (2)先随意地进行排列,再除以随意摆放 过程中相对顺序固定部分的顺序

【十一】相对顺序固定问题
例1、书架上6本不同的书,现在要放上去3本, 但要保持原来6本的相对顺序不变,有多少种放 法?
例 2、 用 1、2、 3、 4、 5、 6排成所有五位数 中,个位数小于十位数,而且十位数小于百位 数的有多少个? 例 3 、用 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 排成所有五位数 中,个位数小于十位数,而且十位数大于百位 数的有多少个?

【十二】集合关系、子集个数问题
例1、{a,b,c,d}的所有子集多少个? 例 2 、 { a,b} 是 A 的 子 集 , 而 且 A 又 是 {a,b,c,d,e} 的真子集, A 的可能有多少种?

【十三】涂色问题
可以采取用到了几种颜色进行分类:在颜 色数少于空格数时,要分步, 先选出重复使用的颜色,再确定重复使用 颜色的位置

u u

平面几何、立体几何问题 穷举法解决的问题


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