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高中数学【排列组合】


§10.2 排列、组合及其应用 基础知识 自主学习
要点梳理
1.排列 不同 的元素中取出m (m (1)排列的定义:从n个 顺序 排成一列,叫做从 ≤n) 个元素,按照一定的 n个不同的元素中取出m个元素的一个排列. ( 2 )排列数的定义:从 n 个不同的元素中取出 m 所有不同排列 ( m≤n )个元素的 个 的个数叫做从 n
m n

>
不同的元素中取出m个元素的排列数,用A 表示.

(3)排列数公式:Am = n

n(n-1)(n-2)?(n-m+1) .

排列 ,叫 (4)全排列:n个不同的元素全部取出的 做n个不同元素的一个全排列,An =n· (n-1)· n (n-2)·?·2·1= n! .于是排列数公式写成阶乘 n! m An ? 的形式为 (n ? m)!,这里规定0!= 1 . 2.组合 不同 的元素中取出m(m≤ (1)组合的定义:从n个 n)个元素 合成一组 叫做从n个不同的元素中取出

m(m≤n)个元素的一个组合.

( 2 )组合数的定义:从 n 个不同的元素中取出 m (m 所有不同组合

≤n)个元素的

的个数,叫做从n个

m 不同的元素中取出 m(m≤n)个元素的组合数,用 n n! C 表示. m A m!(n ? m)! n Cm ? ? n Am m n)组合数的计算公式: (n ? 1)(n ? 2) ? (n ? m ? 1) (3 = 1 m(m ? 1) ? 2 ?1

,由于0!=
0 n

,所以
m n ?1

1
.
m n

C =

?m Cn n

Cm n
=

?1 (4)组合数的性质:① C Cm n

=

;②C

+

.

基础自测
1. 从 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 六个数字中,选出一个偶数

和两个奇数,组成一个没有重复数字的三位数,这
样的三位数共有 A.9个 解析 B.24个 C.36个 ( D ) D.54个

2 =9 种方法, 选出符合题意的三个数有 C1 C 3 3

每三个数可排成 A 3 =6个三位数, 3

∴共有9×6=54个符合题意的三位数.

2.已知{1,2}?X?{1,2,3,4,5},满足这个关系式 的集合X共有 A.2个 B.6个 C.4个 ( D ) D.8个

解析

由题意知集合X中的元素1,2必取,另外,

从3,4,5中可以不取,取1个,取2个,取3个. 故有 C0 ? C1 ? C2 ? C3 =8(个).
3 3 3 3

3.某中学要从4名男生和3名女生中选派4人担任奥 运会志愿者,若男生甲和女生乙不能同时参加, 则不同的选派方案共有 (A )

A.25种
解析

B.35种

C.840种

D.820种

若选男生甲,则有C3 5=10种不同的选法;同

理,选女生乙也有10种不同的选法;两人都不选有
4 =5种不同的选法,所以共有25种不同的选派方案. C5

4.(2009·湖南理,5)从10名大学毕业生中选3人 担任村长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没

有入选的不同选法的种数为
A.85 解析 B.56 C.49

( C )
D.28

9 ? 8 ? 7 =84(种), 丙不入选的选法有C3 9 ? 3 ? 2 ?1 甲乙丙都不入选的选法有C3 ? 7 ? 6 ? 5=35(种). 7 3 ? 2 ?1 所以甲、乙至少有一人入选,而丙不入选的选法

有84-35=49种.

5. 有 6 个座位连成一排,现有 3 人就坐,则恰有两个

空座位相邻的不同坐法有
A.36种 解析 B.48种 C.72种

( C )
D.96种

恰有两个空位相邻,相当于两个空位与第

三个空位不相邻,先排三个人,然后插空.从而共
2=72种排法. · A3 A 3 4

题型分类 深度剖析
题型一 排列问题

【例1】有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,

求不同的排列方法总数.
(1)选其中5人排成一排; (2)排成前后两排,前排3人,后排4人; (3)全体排成一排,甲不站排头也不站排尾; (4)全体排成一排,女生必须站在一起; (5)全体排成一排,男生互不相邻; (6)全体排成一排,甲、乙两人中间恰好有3人.

思维启迪

无限制条件的排列问题,直接利用排

列数公式即可 .但要看清是全排列还是选排列;有 限制条件的排列问题,常见类型是“在与不在”、 “邻与不邻”问题,可分别用相应方法. 解 (1)从7个人中选5个人来排列,

有 A5 =7×6×5×4×3=2 520种. 7
3 (2)分两步完成,先选3人排在前排,有 A 种方法, 7

余下4人排在后排,有

种方法,故共有 A4 4

A3 7

·A 4 =5 040种.事实上,本小题即为7人排成一排的 4 全排列,无任何限制条件.

(3)(优先法) 方法一 方法二 甲为特殊元素.先排甲,有5种方法;其 排头与排尾为特殊位置.排头与排尾从非
6 =3 600种. 余6人有A6 种方法,故共有 5 × A 6 6

2 甲的6个人中选2个排列,有 A6 种方法,中间5个位 2 A 置由余下4人和甲进行全排列有A 5 种方法,共有 6 5

× A5 =3 600种. 5 (4)(捆绑法)将女生看成一个整体,与3名男生
4 在一起进行全排列,有 A种方法,再将 4名女生进 4 4 4 =576种. 行全排列,也有 A 4 种方法 , 故共有 A ? A 4 4 4

(5)(插空法)男生不相邻,而女生不作要求, 所以应先排女生,有A 4 种方法,再在女生之间及首 4 尾空出的5个空位中任选3个空位排男生,有A 3 种方 5
3 法,故共有A 4 × A 5=1 440种. 4

(6)把甲、乙及中间3人看作一个整体,第一步先

排甲、乙两人有 A 2 2 种方法,再从剩下的5人中选3
人排到中间,有A 3 5种方法,最后把甲、乙及中间3 人看作一个整体,与剩余2人全排列,有A 3 3种方
3 法,故共有 A 2 · ·A3 =720种. A 2 5 3

探究提高

排列问题的本质就是“元素”占“位

子”问题,有限制条件的排列问题的限制主要表现 在:某些元素“排”或“不排”在哪个位子上,某 些元素“相邻”或“不相邻” .对于这类问题在分

析时,主要按“优先”原则,即优先安排特殊元素
或优先满足特殊位子.

知能迁移1
数:

用0、1、2、3、4、5这六个数字,可以

组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位 (1)奇数;(2)偶数;(3)大于3 125的数. 解
1 (1)先排个位,再排首位,共有A1 · A 3 4

·A 2 4 =144(个).
(2)以0结尾的四位偶数有A 3 个,以2或4结尾的四 5
2 1 3 1 1· A 2 个,则共有 位偶数有 A1 · · · A A A ? A 4 4 4 5 2 2 A4

=156(个).
(3)要比3 125大,4、5作千位时有2 A 3 个,3作千 5 位,2、4、5作百位时有3 A 2 个,3作千位,1作百位 4
3 2 1 时有2 A1 个,所以共有 2 A ? 3 A ? 2 A 5 4 3 =162(个). 3

题型二

组合问题

【例 2】 ( 12 分)男运动员 6 名,女运动员 4 名,其 中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中 各有多少种选派方法?

(1)男运动员3名,女运动员2名;
(2)至少有1名女运动员; (3)队长中至少有1人参加; (4)既要有队长,又要有女运动员.

思维启迪 解题示范 解

(1)分步.(2)可分类也可用间接法.

(3)可分类也可用间接法.(4)分类. (1)第一步:选3名男运动员,有C3种选法.
6
4

第二步:选2名女运动员,有 C 2 种选法.

共有C3· C 2 =120种选法. [3分] 4 6 (2)方法一 至少1名女运动员包括以下几种情况:
1女4男,2女3男,3女2男,4女1男. 由分类加法计数原理可得总选法数为
4 2 3 3 2 4 1 C1 C ? C C ? C C ? C 4 6 4 6 4 6 4C6 =246种.

[6分]

方法二

“至少1名女运动员”的反面为“全是男运

动员”可用间接法求解.
5 种选法,其中全是男运动员 从10人中任选5人有 C10

的选法有 C5 6种.
5 所以“至少有1名女运动员”的选法为 C10 =246 ? C5 6

种. (3)方法一 可分类求解:
4; “只有男队长”的选法为 C8 4; “只有女队长”的选法为 C8
3 ; “男、女队长都入选”的选法为 C8

[6分]

4 3 =196种选法. 所以共有2 C8 + C8

[9分]

方法二

间接法:

5 种选法. 从10人中任选5人有C10 5 其中不选队长的方法有 C8 种.所以“至少1名队长” 5 5 =196种. 的选法为 C10 C8

[9分]

4 种选 (4)当有女队长时,其他人任意选,共有 C9 4 种选法.其 法.不选女队长时,必选男队长,共有 C8 4 中不含女运动员的选法有 C5 种,所以不选女队长时 44 种选法. 的选法共有C8 C5

所以既有队长又有女运动员的选法共有
4 4 4 + C8 =191种. C9 C5

[12分]

探究提高

解组合题时,常遇到“至多”、“至

少”问题,可用直接法分类求解,也可用间接法求 解以减少运算量 . 当限制条件较多时,要恰当分类, 逐一满足.

知能迁移 2

在 7 名男生 5 名女生中选取 5 人,分别求

符合下列条件的选法总数有多少种? (1)A,B必须当选; (2)A,B必不当选; (3)A,B不全当选;

(4)至少有2名女生当选;
( 5 )选取 3 名男生和 2 名女生分别担任班长、体育 委员等 5 种不同的工作,但体育委员必须由男生担 任,班长必须由女生担任.

解 中

( 1 )由于 A , B 必须当选,那么从剩下的 10 人
3 C10

选取3人即可,∴有

=120种.

5 (2)从除去的 A,B两人的10人中选5人即可, C10

∴有

5 =252种. C12

3 C10

5 3 (3)全部选法有 C12 种, A ,B全当选有 C 10

种,

故A,B不全当选有

-

=672种.

(4)注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名

女生或没有女生,故可用间接法进行,
5 4 5 ∴有 C12 =596种选法. ? C1 ? C ? C 5 7 7

(5)分三步进行:
1 第一步:选1男1女分别担任两个职务为 C1 · ; C 5 7

2 第二步:选2男1女补足5人有 C 6 · C1 种; 4

第三步:为这3人安排工作有 A 3 . 3 由分步计数原理共有
1 2 1 3 =12 600种选法. C1 ? C ? C ? C ? A 7 5 6 4 3

题型三

排列、组合的综合应用

【例3】 4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入

盒内.
(1)恰有1个盒不放球,共有几种放法? (2)恰有1个盒内有2个球,共有几种放法? (3)恰有2个盒不放球,共有几种放法?

思维启迪

把不放球的盒子先拿走,再放球到余

下的盒子中并且不空. 解 (1)为保证“恰有1个盒不放球”,先从4个盒 子中任意取出去一个,问题转化为“4个球,3个盒

子,每个盒子都要放入球,共有几种放法?”即把
4个球分成2,1,1的三组,然后再从3个盒子中选1 个放2个球,其余2个球放在另外2个盒子内,由分
2 2 1 步乘法计数原理,共有 C1 × =144种. A C C 2 4 4 3

(2)“恰有1个盒内有2个球”,即另外3个盒子放2
个球,每个盒子至多放1个球,也即另外3个盒子中 恰有一个空盒,因此,“恰有1个盒内有2个球”与 “恰有1个盒不放球”是同一件事,所以共有144种 放法.

(3)确定2个空盒有C 2 种方法. 4
4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两
1 2 种方法;第 类,第一类有序不均匀分组有 C3 C 4 1A 2
2 C2 C 2 二类有序均匀分组有 4 2 2 ? A 2 种方法. A2 2 2 C 3 1 2 2 )=84种. 2 4C2 故共有C( C C A ? ? A 4 1 2 2 4 2 A2

探究提高

排列、组合综合题目,一般是将符合

要求的元素取出(组合)或进行分组,再对取出的

元素或分好的组进行排列 . 其中分组时,要注意
“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标 准. 知能迁移 3

已知 10 件不同产品中有 4 件是次品,现

对它们进行一一测试,直至找出所有4件次品为止. ( 1 )若恰在第 5 次测试,才测试到第一件次品,第 十次才找到最后一件次品,则这样的不同测试方法 数是多少?

(2)若恰在第5次测试后,就找出了所有4件次品,
则这样的不同测试方法数是多少?



4 (1)先排前4次测试,只能取正品,有A6 种

不同测试方法,再从4件次品中选2件排在第5和第
2 2 种测法,再排余 10的位置上测试,有C 2 · = A A 2 4 4

下4件的测试位置,有A 4 种测法.所以共有不同排法 4
4 4 · A2 · =103 680种. A6 A 4 4

(2)第5次测试恰为最后一件次品,另3件在前4次 中出现,从而前4次有一件正品出现.所以不同测试 方法共有
3 1 4 =576种. ·( · ) C A1 C A 3 4 6 4

思想方法

感悟提高

方法与技巧
1. 解排列、组合混合题一般是先选元素、后排元素、
或充分利用元素的性质进行分类、分步,再利用两 个基本原理作最后处理. 2. 对于较难直接解决的问题则可用间接法,但应做 到不重不漏.

3. 对于选择题要谨慎处理,注意等价答案的不同形
式,处理这类选择题可采用排除法分析答案的形式, 错误的答案都是犯有重复或遗漏的错误.

4. 对于分配问题,解题的关键是要搞清楚事件是否

与顺序有关,对于平均分组问题更要注意顺序,避
免计数的重复或遗漏.

失误与防范
要注意均匀分组与不均匀分组的区别,均匀分组不 要重复计数.

定时检测
一、选择题

1.(2009·辽宁理,5)从5名男医生、4名女医生中
选3名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女 医生都有,则不同的组队方案共有 ( A )

A.70种
C.100种 解析

B.80种
D.140种

对此问题可分类:男2女1和男1女2,故总

2 1 2 =70种不同的组队方案. 共有 C5 C4 ? C1 C 5 4

2.(2009·北京理,7)用0到9这10个数字,可以组
成没有重复数字的三位偶数的个数为 A.324 解析 B.328 C.360 D.648 ( B )

若组成没有重复数字的三位偶数,可分为

两种情况:①当个位上是0时,共有9×8=72种情况;

②当个位上是不为0的偶数时,共有4×8×8=256种
情况. 综上,共有72+256=328种情况.

3.高三(一)班学生要安排元旦晚会的4个音乐节目,2个
舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,要求两个舞蹈节 目不连排,则不同排法的种数是 A.1 800 解析 B.3 600 C.4 320 ( B ) D.5 040

4个音乐节目和1个曲艺节目的排列共 A 5 种. 5

两个舞蹈节目不连排,用插空法,不同的排法种
2 =3 600. 数是 A5 A 5 6

4.摄影师要为5名学生和2位老师拍照,要求排成一排, 2位老师相邻且不排在两端,不同的排法共有 ( B ) A.1 440种 C.720种 解析 B.960种 D.480种

2位老师作为一个整体与5名学生排队,相

当于6个元素排在6个位置,且老师不排两端,先安
1 排老师,有A 2 C 2 4 种排法,5名学生排在剩下的5个

5 2 1 位置,有A 5 种,所以共有 · · A A C 5 =960种排法. 5 2 4

5.(2009·广东理,7)2010年广州亚运会组委会要 从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选 派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同 工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其

余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共
有 A.36种 解析 B.12种 C.18种 ( A ) D.48种
1 3=24种 小张和小赵选派一人参加有C1 C A 2 2 3

2 2 2 =12种方案, 方案,小张和小赵都参加有 C3 A 2A2

∴共有不同的选派方案24+12=36种.

6.2008年北京奥运会期间,计划将5名志愿者分配到 3个不同的奥运场馆参加接待工作,每个场馆至

少分配一名志愿者的方案种数为
A.540 解析 B.300 C.150

( C )
D.180

每个场馆至少一名志愿者,相当于将5人分

成三组,然后排列,三组的人数分别为3,1,1或 2 2 C 5 C3 种,然后 2,2,1,这样,分组方法共有 C3 5? 2 三组进行排列,有A 3 3种.
2 2 C 3 5 C3 所以共有(C3 ? ) ? A 5 3 =150种方案. 2

二、填空题 7.某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货

架上排成一排,其中甲、乙两种必须排在一起,而丙、
丁两种不能排在一起,不同的排法共有 24 种. (用数字作答)

解析
=24种.

2 甲、乙排在一起,用“捆绑”排列,丙丁 2 A2 ? A 2 3

不排在一起,用插空法,不同的排法共有

8.宿舍楼内的走廊一排有8盏灯,为节约用电又不影 响照明,要同时熄掉其中3盏,但这3盏灯不能相

邻,则不同的熄灯方法种数为 20
解析

.(用数字作答)

可以先将五盏灯排列,然后将3盏将要熄灭

的灯分成三组插空,共有20种不同的熄灯方法.

9.(2009·浙江理,16)甲、乙、丙3人站到共有7

级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶
上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是 336 (用数字作答). 解析
3 种站法, 当每个台阶上各站1人时有 A 3 C 3 7 3 7 6

当两个人站在同一个台阶上时有 C2C1 C1 种站法,
3 2 1 1 因此不同的站法种数有 A3 =210+126 C ? C 3 7 3 C7 C6

=336(种).

三、解答题 10.某医院有内科医生 12名,外科医生8 名,现选派 5名 参加赈灾医疗队,其中 (1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加,共

有多少种不同选法?
(2)甲、乙均不能参加,有多少种选法? (3)甲、乙两人至少有一人参加,有多少种选

法?
(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生, 有几种选法?

解(1)只需从其他18人中选3人即可,
3 =816(种); 共有 C18

5 =8 568 ( 2 )只需从其他 18 人中选 5 人即可,共有C18

(种);
(3)分两类:甲、乙中有一人参加,甲、乙都参加,
4 3 共有 C1 =6 936(种); C ? C 2 18 18

(4)方法一

(直接法)至少一名内科医生一名外科

医生的选法可分四类:一内四外;二内三外;三内二
4 2 3 3 2 4 1 外;四内一外,所以共有 C1 C ? C C ? C C ? C 12 8 12 8 12 8 12C8

=14 656(种). 方法二(间接法)由总数中减去五名都是内科医生和

五名都是外科医生的选法种数,得
5 5 =14 656(种). C5 ? (C ? C 20 8 12 )

11.已知平面 ? ∥? ,在 ? 内有4个点,在 ? 内有6个点. (1)过这10个点中的3点作一平面,最多可作多少

个不同平面?
(2)以这些点为顶点,最多可作多少个三棱锥? (3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体

积?
解 (1)所作出的平面有三类:① ? 内1点, ?内
2

2点确定的平面,有 C1 ·C 6 个;② ? 内2点, ? 内1点确 4
1 ? 本身. 定的平面,有 C 2 · C 4 6 个;③ ? ,
2 2 1 +2=98(个). ∴所作的平面最多有 C1 ? C ? C ? C 4 6 4 6

(2)所作的三棱锥有三类:① ? 内1点,? 内3点确
3 个;② 定的三棱锥,有 C1 · ? 内2点,? 内2点 C 6 4 2 确定的三棱锥,有 C 2 · 个; C ? 内1点 ? 内3点, 4 6 1 个. 确定的三棱锥,有C 3 · C 4 6

∴最多可作出的三棱锥有
3 2 2 3 1 =194(个). C1 ? C ? C ? C ? C ? C 4 6 4 6 4 6 (3)∵当等底面积、等高的情况下三棱锥的体积相

等,且平面 ? ∥ ? ,∴体积不相同的三棱锥最多有
3 2 2 C3 ? C ? C ? C 6 4 6 4 =114(个).

12.有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现
安排2人就座,规定前排中间的3个座位不能坐,并 且这2人不左右相邻,共有多少种不同排法? 解 ∵前排中间3个座位不能坐,
1 1 2

∴实际可坐的位置前排8个,后排12个. (1)两人一个前排,一个后排,方法数为 C8 ? C12 ? A2 种; (2)两人均在后排左右不相邻,
2 1 2 共 A12 ? A2 ? A ? A 2 11 11(种);

(3)两人均在前排,又分两类:
1 2 种; ①两人一左一右,共 C1 ? C ? A 4 4 2

1 2)种. ②两人同左同右,有2( A 2 ? A ? A 4 3 2

综上可知,不同排法种数为
1 2 2 1 1 2 2 1 2 C1 ? C ? A ? A ? C ? C ? A ? 2 (A ? A ? A 8 12 2 11 4 4 2 4 3 2)

=346(种).

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