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2015空间中的平行与垂直


空间中的平行与垂直
1.线面平行与垂直的判定定理、性质定理

线面平行的判定定理

a?α ? ? a∥α

a∥b ? ? b? α ?? a∥α

线面平行的性质定理

? ? a? β ?? a∥b α ∩β =b? ?
a? α ,b? α ? ? a∩

b=O ?? l⊥a,l⊥b ? ? l⊥α

线面垂直的判定定理

线面垂直的性质定理 2. 面面平行与垂直的判定定理、性质定理 面面垂直的判定定理

a⊥α ? ? ?? a∥b ? b⊥α ?

a⊥α ? ? ?? α ⊥β ? a? β ?
α ⊥β

面面垂直的性质定理

α ∩β =c

a? α a⊥c a? β b? β

? ? ?? a⊥β ? ?

面面平行的判定定理

? ? ?? a∩b=O ? a∥α ,b∥α ?
α ∥β

面面平行的性质定理

? ? α ∩γ =a?? a∥b β ∩γ =b? ?
α ∥β

1.(2013·广东)设 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面,下列命题中正确的 是 ( )

A.若 α ⊥β ,m? α ,n? β ,则 m⊥n B.若 α ∥β ,m? α ,n? β ,则 m∥n C.若 m⊥n,m? α ,n? β ,则 α ⊥β D.若 m⊥α ,m∥n,n∥β ,则 α ⊥β 2.在正三棱锥 S-ABC 中,M,N 分别是 SC,BC 的中点,且 MN⊥AM, 若侧棱 SA=2 3,则正三棱锥 S-ABC 外接球的表面积是 A.12π C.36π B.32π D.48π ( )

3.如图,AB 为圆 O 的直径,点 C 在圆周上(异于点 A,B),直线 PA 垂 直于圆 O 所在的平面,点 M 为线段 PB 的中点.有以下四个命题: ①PA∥平面 MOB; ②MO∥平面 PAC; ③OC⊥平面 PAC; ④平面 PAC⊥平面 PBC. 其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号). 4.已知 PA, PB,PC 两两互相垂直,且△PAB, △PBC, △PAC 的面积分别为 1.5 cm 2 cm 6 cm , 则过 P,A,B,C 四点的外接球的表面积为________ cm .(注 S 球=4πr ,其中 r 为球半径) 5.一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上, 已知正三棱柱的底面边长 为 2,则该三角形的斜边长为________.
2 2 2, 2, 2

6.(2013·重庆)如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,PA=2 3,

BC=CD=2 ,∠ACB=∠ACD= .
(1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF=7FC,求三棱锥 P-BDF 的体积.

π 3

7.(2012·广东)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,AB⊥平面 PAD,

AB∥CD,PD=AD,E 是 PB 的中点,F 是 DC 上的点且 DF= AB, PH 为△PAD 中 AD 边上的高.
(1)证明:PH⊥平面 ABCD; (2)若 PH=1,AD= 2,FC=1,求三棱锥 E-BCF 的体积; (3)证明:EF⊥平面 P AB.

1 2

8.如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=2BC=4,∠ABC=120°,E,

M 分别为 AB,DE 的中点,将△ADE 沿直线 DE 翻折成△A′DE, F 为 A′C 的中点,A′C=4.
(1)求证:平面 A′DE⊥平面 BCD; (2)求证:FB∥平面 A′DE.

9.如图,四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABC D,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD =90° . (1)求证:PC⊥BC;(2)求点 A 到平面 PBC 的距离.

10.(2013· 无锡一中)如图,四棱锥 E-ABCD 中,EA=EB,AB∥CD,AB⊥ BC,AB=2CD. (1)求证:AB⊥ED; EF (2)线段 EA 上是否存在点 F,使 DF∥平面 BCE?若存在,求出 的值;若 EA 不存在,说明理由.


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