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圆锥曲线重要公式与定理在高考解题中的应用


圆锥曲线重要公式与定理在高考解题中的应用 一:定点问题 定理1:圆锥曲线直角弦的性质: 1:设 P0 ? x0 , y0 ? 为椭圆
x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0 ? 上的一个定点,P 1P 2 是动弦,则 P 1P 2为 a2 b2

? a2 ? b2 a2 ? b2 ? ? M x , ? 直角弦的充要条件是 P 1P 2 过定点

? a 2 ? b 2 0 a 2 ? b 2 y0 ? ? ? ?
x2 y2 2:设 P0 ? x0 , y0 ? 为双曲线 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0 ? 上的一个定点,P 1P 2 是动弦,则 P 1P 2 a b

? a2 ? b2 a2 ? b2 ? ? M x , ? 为直角弦的充要条件是 P 过定点 P 1 2 ? a 2 ? b 2 0 a 2 ? b 2 y0 ? ? ? ?

3:设 P0 ? x0 , y0 ? 为抛物线 y 2 ? 2 px 上的一个定点,P 1P 2 是动弦,则 P 1P 2 为直角弦的
M ?x0 ? 2 p,? y0 ? 充要条件是 P 1P 2 过定点

例1:已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最 大值为3,最小值为1. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A, B 两点( A, B 不是左右顶点),且以 AB 直径的圆过椭圆 C 的右顶点。求证直线过定点,并求出该定点得到坐标。

例 2:已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1?a ? 1? 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰 2 a

直角三角形。 (1)求椭圆 C 的标准方程;
1? ? - ? 的动直线交 l 椭圆于 A, B 两点,试问:在坐标平面上是否存在 (2)过点 S ? 0, 3? ?

一个定点 T ,使得以 AB 为直径的圆恒过点 T ?若存在,求出 T 的坐标;若不存 在请说明理由.

例 3:在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,已知抛物线 C : y 2 ? 2 px 的准线方
? 3?,N ?5, 1?, 程为 x ? ?1 ,M ?1, 若动点 P 满足 NP ? t NM ,且点 P 的轨迹与抛物线
C 交于 A, B 两点。

(1)求证: OA ? OB (2)在轴上是否存在一点 Q?m,0??m ? 0? ,使得过点 Q 的直线 l 交抛物线 C 于
D, E 两点,且以线段 DE 为直径的圆都过原点?若存在,求出以线段 DE 为直径

的圆的圆心轨迹方程;若不存在,请说明理由。

例4: 已知椭圆 C 的中心在原点, 焦点在 x 轴上, 两焦点 F 1, F2 之间的距离为 2 3 , 椭圆上第一象限内的点 P 满足 PF1 ? PF2 ,且 ?PF1 F2 的面积为1. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若椭圆 C 的右顶点为 A , 直线 l : y ? kx ? m?k ? 0? 与椭圆 C 相交于不同的两 点 M , N ,且满足 AM ? AN 。求证:直线 l 过定点,并求出定点得到坐标。

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 例 5.已知点 B ? ?1, 0 ? , C ?1, 0 ? , P 是平面上一动点,且满足 | PC | ? | BC |? PB ? CB

(1)求点 P 的轨迹 C 对应的方程; (2)已知点 A(m, 2) 在曲线 C 上,过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD 和 AE ,且

AD ? AE ,判断:直线 DE 是否过定点?试证明你的结论.

例 6:已知 A, B 是抛物线 x 2 ? 2 py( p ? 0) 上的两个动点, O 为坐标原点, 非零向量满足 OA ? OB ? OA ? OB . (Ⅰ)求证:直线 AB 经过一定点; (Ⅱ)当 AB 的中点到直线 ? y ? 2 x ? 0 的距离的最小值为
2 5 时,求 p 的值 5
??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

定理 2:圆锥曲线的相关弦问题(设 AB 为圆锥曲线 C 的任意一条不垂直于焦点 所在轴的弦, 作点 A 关于焦点所在轴的对称点 A, ,则称弦 A, B 与弦 AB 为一对相关 弦) 定理:设 AB 为椭圆
x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? ? 1 )的一条不垂 ( )(双曲线 a ? b ? 0 a2 b2 a2 b2

直于 x 轴的弦, A , B 为相关弦。点 M ?m,0?, (m ? 0) 为已定点,则直线 AB 过定点

? a2 ? M ?m,0? 的充要条件是直线 A , B 过点 M , ? ? m ,0 ? ?。 ? ?
设 AB 为抛物线 y 2 ? 2 px (p﹥0)的任意一条不垂直于对称轴的弦, A , B 为相关 弦。点 M ?m,0?, (m ? 0) 为已定点,则直线 AB 过定点 M ?m,0? 的充要条件是直线
A , B 过点 M , ?? m,0? 。

推论: 设 AB 为圆锥曲线 C 的任意一条不垂直于焦点所在轴的弦,A , B 为相关弦。 则直线 AB 过焦点的充要条件是直线 A , B 过对应准线与对称轴的交点。

x2 y2 3 例 1::椭圆 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0 ? 经过点 ?0,1? ,离心率为 e ? 。 2 a b

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)在椭圆 C 上任取不同两点 A, B ,点 A 关于 x 轴对称的点为 A, ,当 A, B 变化 时,如果直线 AB 经过 x 轴上的一个定点 T ?1, 0? ,问直线 A, B 是否也经过轴上的一 个定点?若是,求出这个定点的坐标;若不是,请说明理由。

定理 2:设椭圆

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? ? 1 )的长轴(虚轴) ( )(双曲线 a ? b ? 0 a2 b2 a2 b2

端点为 A, B ,点 Q?m, n ? 是直线 x ? m 上的一点,直线 QA, QB 与椭圆(双曲线)分
? a2 ? 别交于点 M , N ,则直线 MN 过 x 轴上的一定点 P? ? m ,0 ? ? ? ?

例 1:在平面直角坐标系中,已知焦距为 4 的椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 的左右顶点分别 a2 b2

为 A, B ,右焦点为 F ,过 F 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交于 R, S 两点,若线段
10 3 (1)求椭圆 C 的标准方程;

RS 的长为

(2)设 Q?9,m? 是直线 x ? 9 上的点,直线 QA, QB 与椭圆 C 分别交于 M , N ,求 证:直线 MN 过 x 轴上的一定点,并求出此点的坐标。

例 2.已知椭圆 E 的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过 A(?2, 0) 、B (2, 0) 、
? 3? C ? 1, ? 三点. ? 2?

(1)求椭圆 E 的方程: (2) 若点 D 为椭圆 E 上不同于 A 、B 的任意一点,F (?1, 0), H (1, 0) , 当 ? DFH 内 切圆的面积最大时。求内切圆圆心的坐标; (3)若直线 l : y ? k ( x ? 1)(k ? 0) 与椭圆 E 交于 M 、 N 两点,证明直线 AM 与直 线 BN 的交点在直线 x ? 4 上.

例 3.已知椭圆 E 中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过 A(?2, 0) 、 B (2, 0) 、
? 3? C ? 1, ? 三点.过椭圆的右焦点 F 任做一与坐标轴不平行的直线 l 与椭圆 EM 交于 ? 2?

Q

M 、 N 两点, AM 与 BN 所在的直线交于点 Q.

A

O N

F

B

(1)求椭圆 E 的方程: (2)是否存在这样直线 m ,使得点 Q 恒在直线 m 上移动? 若存在,求出直线 m 方程,若不存在,请说明理由.

定理 1:过椭圆

x2 y2 x2 y2 (双曲线 ? ? 1 ? 1 )的焦点的直线 l 与椭圆(双曲线) a 2 b2 a2 b2

交于 A, B 两点,过 A, B 作椭圆(双曲线)的垂线交椭圆(双曲线)的准线于 D, E
? a2 ? c2 ? 0? 两点,则直线 AE 与 BD 相交于点 ? ? 2c , ?。 ? ?

2:过抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点的直线 l 与抛物线交于 A, B 两点,过 A, B 作抛物线的
0?。 准线的垂线交准线于 D, E 两点,则直线 AE 与 BD 相交于点 ?0,

x2 y2 1.如图,已知直线 L: x ? my ? 1过椭圆C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F,且 a b

交椭圆 C 于 A, B 两点,点 A, B 在直线 G : x ? a 2 上的射影依次为点 D, E 。 (1)若抛物线 x 2 ? 4 3 y 的焦点为椭圆 C 的上顶点,求椭圆 C 的方程; (2)(理)连接 AE 、 BD ,试探索当 m 变化时,直线 AE 、 BD 是否相交于一 定点 N?若交于定点 N,请求出 N 点的坐标,并给予证明;否则说 明理由。

???? ??? ? a2 ?1 ,0) 为 x 轴上一点,求证: AN ? ? NE (文)若 N ( 2

二:斜率为定值(定点,定向问题)
x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0 ? 上定点 P?x0 , y0 ? 与椭圆上两点 P1,P2 连线的斜 a2 b2

定理10:椭圆

a b ? ? 率存在,则(1)动弦 P y0 , x0 ? y0 ??k ? 0? 的充 1P 2 所在的直线必过定点 ? x0 ? bk ak ? ?

要 条 件 PP 1 , PP 2 是 的 斜 率 之 和 为 定 值 ? 2k

b ;(2)动弦 P 1P 2 必有定向 a

? b 2 x0 ? ? 1 , PP 2 的斜率之和为0。推论(1)满足定理(1) ? k P1P 2 ? a 2 ? y ? ? 的充要条件是 PP 0 ? ?
P 关于椭圆的长轴对称点 P,的切线上(2)满足定理 条件的动弦 P 1P 2 所过定点在 P 关于椭圆的长轴对称点 P,的切线平行。定理11:双曲 (2)条件的动弦 P 1P 2与

线

x2 y2 ? 1 上定点 P?x0 , y0 ? 与双曲线上两点 P1,P2 连线的斜率存在,则(1)动 a2 b2

a b ? ? 弦P y0 , x0 ? y0 ??k ? 0? 的充要条件 PP 1 , PP 2 是 1P 2 所在的直线必过定点 ? x0 ? bk ak ? ?

的斜率之和为定值 2k

? b b 2 x0 ? ? ;(2)动弦 P 必有定向 k ? ? ? ? 1P 2 2 ? P1P 2 ? 的充要条件 a a y 0 ? ?

是 PP 1 , PP 2 的斜率之和为0。推论(1)满足定理(1)条件的动弦 P 1P 2 所过定点在
P 关于双曲线的实轴对称点 P,的切线上 P关 (2)满足定理 (2 ) 条件的动弦 P 1P 2与

于双曲线的实轴对称点 P,的切线平行。 定理10: 抛物线 y 2 ? 2 px 上定点 P?x0 , y0 ? 与抛物线上两点 P1,P2 连线的斜率存在,
? ? y 1 ? x ? 0 , ? y0 ? 则(1)动弦 P 1 , PP 2 1P 2 所在的直线必过定点 ? 0 ??k ? 0 ? 的充要条件 PP pk k ? ? ? y ? ?k ?? 0? 是的斜率之和为定值 2 pk ;(2)动弦 P 的充要条件是 1P 2 必有定向 ? P1 P 2 p? ? ?
P PP 1 , PP 2 的斜率之和为0。推论(1)满足定理(1)条件的动弦 P 1P 2 所过定点在
P关 关于抛物线的对称轴对称点 P,的切线上 (2)满足定理 (2 ) 条件的动弦 P 1P 2与

于抛物线的对称轴对称点 P,的切线平行。

1? 是椭圆 例1:已知 A?1,

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0 ? 上一点, F 1, F2 是椭圆的两个焦点, a2 b2

且满足 AF 1 ? AF2 ? 4 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设 C , D 是椭圆上两点,直线 AC, AD 的倾斜角互补,求直线 CD 的斜率。 (3)在(2)的条件下求 ?ACD 面积的最大值。

3? ,且中心在原点, 例2: 已知椭圆经过 P ?2, 焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为

1 。 2

(1)求椭圆 C 的方程 (2)若椭圆 C 的弦 PA, PB 所在的直线分别交 x 轴于点 C , D , 且 PC ? PD ,求证: 直线 AB 的斜率为定值。

例 3:如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为
M (4,1) . 直线 l : y ? x ? m 交椭圆于 A, B 两不同的点.
(1)求椭圆的方程; (2)求m的取值范围; (3)若直线l不过点M , 求证 : 直线MA,MB与x轴围成一个等腰三角形.

3 ,且经过点 2
y M O B
l

x A

例4:已知抛物线 C : y 2 ? 2 px? p ? 0? 和圆 M : ?x ? 4? ? y 2 ? 1 ,过抛物线 C 上一点
2

H ( x0 , y0 )? y0 ? 1? 作两条直线与圆 M 相切于 A, B 两点,分别交抛物线 C 于 E , F 两

点,圆心点 M 到抛物线 C 的准线的距离为

17 。 4

(1)求抛物线 C 的方程; (2)当 ?AHB 的角平分线垂直 x 轴时,求直线 EF 的斜率。 (3)若直线 AB 在 y 轴上的截距 t 为,求 t 的最小值。

例5: 已知抛物线 C 的顶点在坐标原点, 焦点 F 在 x 轴上, 抛物线上的点 A 到 F 的 距离为2,且点 A 的横坐标为1,过点 A 做抛物线的两条动弦 AD, AE ,且 AD, AE 的斜率满足 k AD ? k AE ? 2 。 (1)求抛物线 C 的方程; (2)直线 DE 是否过定点?若过定点,请求出该点坐标;若不过定点,请说明理 由。

例6:已知点 F ?1,0? , P 是平面上一动点, P 在直线 x ? ?1 上的射影为点 N ,且
1 ? ? 满足 ? PN ? NF ? ? NF ? 0 2 ? ?

(1)求点 P 的轨迹 C 的方程 (2)若直线 l 同时与圆 ?x ? 1? ? y 2 ? 1 和曲线 C 相切,求直线 l 的方程。
2

2? 做曲线 C 的两条动弦 MD, ME ,设 MD, ME 所在直线的斜率为 (3)过点 M ?1,
k1 , k 2 ,满足 k1k 2 ? 1 ,求证:直线 DE 过定点,并求出这个定点。



三:点到直线的距离为定值
x2 y2 定理一: 已知椭圆 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0 ? , O 为坐标原点, P 、 Q 为椭圆上两动点,且 a b a 2b 2 1 ? k 2 1 1 1 1 OP ? OQ .(1) 设直线 的斜率为 则 ; OP ? ? ? ? OP k b2 ? a 2k 2 | OP |2 | OQ |2 a 2 b2

?

?

4a 2b 2 2 2 2 2 (2)|OP| +|OQ| 的最小值为 2 ;|OP| +|OQ| 的最大值为 a ? b (3) S?OPQ 的最小值 2 a ?b 2 2 ab ab 是 2 ,最大值为 ab (4)并且点 O 到 PQ 的距离为定值 2 a ?b a2 ? b2
2 2

x2 a2 1 6 OP ? OQ . (1) | OP |2
定理二:已知双曲线
2 2

-

y2 ? 1?b ? a ? 0? ,O 为坐标原点,P、Q 为双曲线上两动点,且 b2 a 2b 2 1 ? k 2 1 1 1 OP ? , 设直线 的斜率为 则 ; ? ? ? k OP b2 - a 2k 2 | OQ |2 a 2 b2

?

?

(2)|OP| +|OQ| 的最小值为 的距离为定值

4a 2 b 2 a 2b 2 ; ( 3 ) 的最小值是 (4)并且点 O 到 PQ S ?OPQ b2 ? a 2 b2 ? a 2

ab
2

b ? a2 例 1: 已知曲线 C 上任意一点 P 到两个定点 F1 ? 3 ,0 和 F2

?

?

?

3 ,0 的距离之和为 4.

?

(1)求曲线 C 的方程; (2)设过 ?0, ? 2 ? 的直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,且 OA ? OB ? 0 (O 为坐标原 点),求直线 l 的方程.

2 x2 y2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,以椭圆上任一点与左, 2 2 a b 右焦点 F 1, F2 为顶点的三角形的周长为 4 2 ? 1 。 (1)求椭圆 C 的方程
例 2:已知椭圆 C :

?

?

(2)若直线 l`1 过原点,直线 l 2 与直线 l`1 相交于点 P , OP ? 1 ,且 l2 ? l1 ,直线 l 2 与椭圆相交与两点,问是否存在这样的直线 l 2 ,使 AP ? PB ? 1 成立。若存在,求 出直线 l 2 的方程;若不存在,请说明理由。

3 x2 y2 ? 2 ? 1?2 ? b ? 0 ? 的离心率为 ,抛物线 x 2 ? 2 py? p ? 0? 。 2 2 4 b (1)若抛物线的焦点 F 在椭圆的顶点上,求椭圆和抛物线的方程。 ? 1? (2)若抛物线的焦点 F 为 ? 0, ? ,在抛物线上是否存在点 P ,使得过点 P 的切 ? 2? 线与椭圆相交于 A, B 两点,且满足 OA ? OB ?若存在,求出 P 点的坐标;若不存 在,请说明理由.

例 3:已知椭圆

x2 y2 1 两点, O 为坐标原点 例 4: 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1?a, b ? 0? 过 M 2,2 ,N 6, a b (1)求椭圆 C 的方程 (2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 C 恒有两个交 点 A, B ,且 OA ? OB ?若存在,写出该圆的方程,并求出 AB 的取值范围;若不

?

? ? ?

存在,说明理由。

x2 y2 例 5: 在平面直角坐标系中, 椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1?a, b ? 0? 的左右焦点分别为 F 1, F2 , a b 2 F2 也 是抛物线 C2:y ? 4 x 的焦点,点 M 为 C1 与 C 2 在第一象限的交点,且 5 MF2 ? . 3 (1)求 C1 的方程

(2)平面上的点 N 满足 MN ? MF 1 ? MF2 ,直线 l MN ,且与 C1 交于点 A, B ,若
OA ? OB ? 0 ,求直线 l 的方程

例 6: 已知双曲线

x2 y2 ? 1?b ? a ? 0? , O 为坐标原点,离心率 e ? 2 , 点M a 2 b2

?

5, 3

?

在双曲线上 (1)求双曲线的方程 若直线 l 与双曲线交于 P, Q 两点,且 OP ? OQ ? 0 ,求 OP ? OQ 的最小值
2 2

例 7.设椭圆

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e ? 2 2 a b

(1)椭圆的左、右焦点分别为 F 1, F2 , A 是椭圆上的一点,且点 A 到此两焦点 的距离之和为 4,求椭圆的方程. (2)求 b 为何值时,过圆 x 2 ? y 2 ? t 2 上一点 M 2, 2 处的切线交椭圆于 A, B 两 点,而且 OA ? OB .

?

?

例 8:.已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0) . a 2 b2

y R P

(1)若椭圆的长轴长为 4,离心率为 程;

3 ,求椭圆的标准方 2
S

O Q

x

(2)在(1)的条件下,设过定点 M ?0,2 ? 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A, B , 且 ?A O B 为锐角(其中 O 为坐标原点),求直线 l 的斜率 k 的取值范围; (3)如图,过原点 O 任意作两条互相垂直的直线与椭圆
x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )相 a 2 b2

交于 P, S , R, Q 四点,设原点 O 到四边形 PQSR 一边的距离为 d ,试求 d ? 1 时 a, b 满足的条件.

例 9 :已知直线 l : y ? x ? 1 与曲线 C :
A, B , O 为坐标原点.

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 交于不同的两点 a2 b2

(Ⅰ)若 | OA |?| OB | ,求证:曲线 C 是一个圆;(Ⅱ)若 OA ? OB ,当 a ? b 且
a ?[ 6 10 , ] 时,求曲线 C 的离心率 e 的取值范围. 2 2

例 10:已知椭圆 C :
PM 的最小值为 1.

x2 y 2 ? ? 1 上动点 P 到定点 M ? m, 0 ? , 其中 0 ? m ? 2 的距离 4 2

(1)请确定 M 点的坐标 (2)试问是否存在经过 M 点的直线 l ,使 l 与椭圆 C 的两个交点 A、B 满足条件 ??? ? ??? ? ??? ? OA ? OB ? AB (O 为原点),若存在,求出 l 的方程,若不存在请说是理由。

a b x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? 2 ? 1 满足 1 ? 1 ? m 和椭圆 : E 2 2 2 2 a 2 b2 a1 b1 a 2 b2 则称这两个椭圆相似, m 称为其相似比。 x2 y2 (1)求经过点 ( 2, 6 ) ,且与椭圆 ? ? 1 相似的椭圆 4 2 方程。 (2)设过原点的一条射线 l 分别与(1)中的两个椭圆交 1 于 A、 B 两点 (其中点 A 在线段 OB 上) , 求 OA ? 的 OB

例 11:若椭圆 E1 :

(m ? 0) ,

最大值和最小值.

三:圆锥曲线切线垂直问题 x2 y2 x2 y2 定理一:已知椭圆 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0 ? (双曲线 2 - 2 ? 1?a ? b ? 0? )的两条垂直 a b a b 2 2 2 2 2 2 切线的交点的轨迹是 x ? y ? a ? b ?x ? y ? a 2 - b 2 ? 。易知双曲线存在两条垂 直切线的充要条件是 a ? b ,且 a ? b 当时我们可以把它看做是两条渐近线此时渐 近线垂直。 定理二: 已知抛物线的方程为 y 2 ? 2 px? p ? 0? 。 点 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ? 是抛物线上的 ? y1 y2 y1 ? y2 ? 两点,则 A, B 两点的切线的交点为 P? ? 2p , 2 ? ? ,并且当直线 AB 过抛物线的 ? ?
? p y ? y2 ? 焦点时, PA ? PB ,此时交点 P 的坐标为 ? - , 1 ? ,并且 P 在抛物线的准线 2 ? ? 2 p x ? ? 上。 2 定理三: 已知抛物线的方程为 x 2 ? 2 py? p ? 0? 。 点 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ? 是抛物线上的
? x1 ? x2 x1 x2 ? 两点,则 A, B 两点的切线的交点为 P? ? 2 , 2p ? ? ,并且当直线 AB 过抛物线的 ? ? p? ?x ?x 焦点时, PA ? PB ,此时交点 P 的坐标为 ? 1 2 ,? ? ,并且 P 在抛物线的准线 2? ? 2 p y ? ? 上。 2

x2 2 - y ? 1 的左,右顶点分别为 A1 , A2 ,点 P?x1 , y1 ?, Q?x1 ,? y1 ? 是曲 2 线上不同的两个动点

例 1:已知双曲线

(1)求直线 A1 P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程; (2)若过点 H ?0, h ??h ? 1? 的两条直线 l1 和 l 2 与轨迹 E 只有一个交点,且 l1 ? l2 , 求 h 的值

例 2 :抛物线 C1 : x 2 ? 4 y 在点 A, B 处的切线垂直交于点 P ,直线 AB 与椭圆
x2 y2 C2 : ? ? 1 相交于 C , D 两点。 4 2

(1)求抛物线 C1 的焦点 F 与椭圆 C 2 的左焦点 F1 的距离; (2) 设点 P 到直线 AB 的距离为 d , 试问: 是否存在直线 AB , 使得 AB ,d ,CD 成等比数列?若存在,求直线 AB 的方程;若不存在,说明理由。

例 3:已知抛物线 C1 : x 2 ? 4 y 的焦点为 F ,过点 F 作直线 l 交抛物线 C1 于 A, B 两 点 ;椭圆 C 2 的中心在原点,焦点在 x 轴上,点 F 是它的一个顶点,且椭圆的离 心率为 e ?
3 2

(1)求椭圆 C 2 的方程; (2)过 A, B 点分别作抛物线 C1 的切线 l1 , l2 l1 与 l 2 相交于点 M .求证: AB ? MF (3)椭圆 C 2 上是否存在点 M ' ,经过点 M ' 作抛物线 C1 的两条切线 M ' A' , M ' B ' ( A' , B ' 为切点),使得直线 A' B ' 过点 F ?若存在,求出切线 M ' A' , M ' B ' 的方程; 若不存在说明理由。

四:圆锥曲线的中点弦,切线方程,切点弦方程问题 x0 x y0 y x2 y 2 ? 2 ? 1. 1: P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 上,则过 P 0 的椭圆的切线方程是 a b a2 b
2: 若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 直线方程是

x2 y 2 ? ? 1外 , 则过 P 则切点弦 P1 P2 的 0 作椭圆的两条切线切点为, a 2 b2

x0 x y0 y ? 2 ?1 a2 b 2 x y2 3 : AB 是 椭 圆 2 ? 2 ? 1 的 不 平 行 于 对 称 轴 的 弦 , M ( x 0 , y 0 ) 为 AB 的 中 点 , 则 a b 2 b2 x b kO M ? k A B? ? 2 ,即 K AB ? ? 2 0 。 a a y0
4 : 若 P0 ( x0 , y0 )在 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1 内 , 则 被 P0 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是 a 2 b2

x0 x y0 y x0 2 y0 2 ? 2 ? 2 ? 2 a2 b a b

1 :若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ?a ? 0, b ? 0? 上,则过 P0 的双曲线的切线方程是 a 2 b2

x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b
x2 y 2 2:若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1 ?a ? 0, b ? 0? 外 ,则过 P0 作双曲线的两条切线切点 a b x0 x y0 y ? 2 ? 1. 为P 1P 2 的直线方程是 1, P 2 ,则切点弦 P a2 b 2 2 x y 3:AB 是双曲线 2 ? 2 ? 1 ?a ? 0, b ? 0? 的不平行于对称轴的弦, M ( x 0 , y 0 ) 为 AB 的中点, a b b2 x b2 则 K OM ? K AB ? 2 ,即 K AB ? 2 0 。 a a y0
4:若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ?a ? 0, b ? 0? 内,则被 P0 所平分的中点弦的方程是 a 2 b2

x0 x y0 y x0 2 y0 2 ? 2 ? 2 ? 2 . a2 b a b 例 1.有如下结论:“圆 x 2 ? y 2 ? r 2 上一点 P( x0 , y 0 ) 处的切线方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0)上一点P( x0 , y0 ) 处 a2 b2 x0 x y0 y x2 ? y 2 ? 1 的右准线 l 上任意一点 M 的切线方程为 2 ? 2 ? 1 ”,过椭圆 C : 4 a b 引椭圆 C 的两条切线,切点为 A, B . (1)求证:直线 AB 恒过一定点; (2)当点 M 在的纵坐标为 1 时,求 ?ABM 的面积
x0 y ? y0 y ? r 2 ”,类比也有结论:“椭圆

例 2:已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆 C 的离心率为

1 ,一个焦点和抛 2

物线 y 2 ? ?4 x 的焦点重合,过直线 l : x ? 4 上一点 M 引椭圆 C 的两条切线,切 点分别是 A, B 。
(1)求椭圆的方程 (2)若在椭圆

xx yy x2 y2 ? 2 ? 1 上的点 ? x0 , y0 ? 处的切线方程是 20 ? 20 ? 1 ,求证:直线 AB 2 a b a b

恒过定点 P ,并求出定点 P 的坐标。 (3)是否存在实数 ? ,使得 AP ? BP ? ? AP ? BP 恒成立?(点 P 为直线 AB 恒过的定 点)若存在,求出 ? 的值,若不存在,说明理由。

例 3:设 F1 , F2 分别是椭圆 C: (1)设椭圆 C 上的点 ( 3,

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左右焦点 a 2 b2

3 ) 到 F1 , F2 两点距离之和等于 4,写出椭圆 C 的方程和 2

焦点坐标 (2)设 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 KF1 的中点 B 的轨迹方程 (3)设点 P 是椭圆 C 上的任意一点,过原点的直线 L 与椭圆相交于 M,N 两点, 当直线 PM ,PN 的斜率都存在,并记为 kPM , K PN 试探究 kPM ? K PN 的值是否与 点 P 及直线 L 有关,并证明你的结论。

x2 y2 ? ? 1 交于 A,B 两点, AB 的中点为 M ,若直 m n n 线 AB 和 OM ( O 为坐标原点)的斜率都存在,则 k AB ? kOM ? ? . m 这个性质称为有心圆锥曲线的“垂径定理”. (Ⅰ)证明有心圆锥曲线的“垂径定理”; (Ⅱ)利用有心圆锥曲线的“垂径定理”解答下列问题:

例 3:.已知直线 l 与曲线 C :

(1) 过点 P(1,1) 作直线 l 与椭圆 轨迹 W 的方程;

x2 y2 ? ? 1 交于 A,B 两点, 求 AB 的中点 M 的 4 2

(2)过点 P (1,1) 作直线 l ? 与有心圆锥曲线 C ? : kx 2 ? y 2 ? 1(k ? 0) 交于 E、F 两 点, 是否存在这样的直线 l ? 使点 P 为线段 EF 的中点?若存在, 求直线 l ? 的方 程;若不存在,说明理由.

例 4:.已知椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? ,以 F1 ?? c,0? 为圆心,以 a ? c 为半径作圆 a 2 b2

F1 ,过点 B2 ?0, b ? 作圆 F1 的两条切线,设切点为 M , N

(1)若过两个切点 M , N 的直线恰好经过点 B1 ?0,-b ? 时,求此椭圆的离心率; (2)若直线 MN 的斜率为-1,且原点到直线 MN 的距离为 4( 2 -1),求此时的 椭圆方程; (3)是否存在椭圆 E ,使得直线 MN 的斜率 k 在区间(- 2 ,? 3 )内取值?若
2 3

存在,求出椭圆 E 的离心率 e 的取值范围;若不存在,请说明理由.

例 5.直线 AB 过抛物线 x 2 ? 2 py? p ? 0? 的焦点 F ,并与其相交于 A, B 两点。Q 是 线段 AB 的中点, M 是抛物线的准线与 y 轴的交点. O 是坐标原点. (I)求 MA ? MB 的取值范围; ( Ⅱ ) 过 A, B 两点分剐作此撒物线的切线,两切线相交于 N 点.求证:
MN ? OF ? 0, NQ ∥ OF ;

x2 y 2 ? 1 的上、 例 6.已知椭圆 ? 下焦点分别为 M 、N , 点 P 为坐标平面内的动点, 12 16 ???? ? ???? ???? ? ??? ? 满足 | MN | ? | MP | ? MN ? NP ? 0 (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 A(3, ?2) 作曲线 C2 的两条切线,切点分别为 H、I ,求直线 HI 的方程:

(3)在直线 l : x ? y ? 0 上否存在点 Q ,过该点作曲线 C 的两条切线,切点分别 ??? ? ???? ??? ? ???? 为 B、C ,使得 | QB ? QC |?| QB ? QC | ,若存在,求出该点的坐标;若不存在,试 说明理由。

例 7. 已 知 抛 物 线 x 2 ? 8 y 的 焦 点 为 F , A, B 是 抛 物 线 上 的 两 动 点 , 且 ??? ? ??? ? AF ? ? FB(? ? 0), 过 A, B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为 M ???? ? ??? ? (1)证明线段 FM 被 x 轴平分 (2)计算 FM ? AB 的值 (3)求证 | FM |2 ?| FA | ? | FB |

1 例 8:已知抛物线 C : y ? ax2 ,直线 y ? ax ? 过抛物线 C 的焦点 4 (1)求抛物线 C 的方程

(2)在直线上 x ? y ? 1 ? 0 任取一点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,切点分别为
A, B ,证明:弦 AB 所在的直线恒过定点.


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