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安徽省黄山市2013届高三上学期第一次联考数学(理)试卷


黄山市 2013 届高中毕业班第一次质量检测 数学(理科)试题 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡 上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的 地方填写姓名和座位号后两位. 2.答第Ⅰ

卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 3.答第Ⅱ卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔 迹清晰. 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字 笔描清楚. 必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、 草稿纸上答题无效. 4.考试结束,务必将试卷和答题卡一并上交. 参考公式:如果事件 A、 B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) .

第Ⅰ 卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.

? 3. m 、 n 是不同的直线, ? 、 ? 、 是不同的平面,有以下四命题:
① 若 ? // ? , ? // ? ,则 ? // ? ; ③ 若 m ? ? , m // ? ,则 ? ? ? ; 其中真命题的序号是 ( ) A.①③ B.①④ C.②③ ②若 ? ? ? , m // ? ,则 m ? ? ; ④若 m // n, n ? ? ,则 m // ? .

D.②④

f ( x) ? 3 cos(2 x ? ? ) ? sin(2 x ? ? ) (| ? |?
4.设函数 图 ( 象 ) 关 于 直 线

?

) 2 ,且其
, 则

x?0





(0, ) 2 上为增函数 A. y ? f ( x) 的最小正周期为 ? ,且在 (0, ) 2 上为减函数 B. y ? f ( x) 的最小正周期为 ? ,且在

?

?

? ? (0, ) y ? f ( x) 的最小正周期为 2 ,且在 4 上为增函数 C. ? ? (0, ) 4 上为减函数 D. y ? f ( x) 的最小正周期为 2 ,且在
5.如右图,若程序框图输出的 S 是 126,则判断框① 中应为 A. n ? 5 ? C. n ? 7 ? B. n ? 6 ? D. n ? 8 ? ( )

6.若定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? x, 则方 程

f ( x) ? log3 | x | 的解个数是
A.0 个 B.2 个 C.4 个 D.6 个 7.若 的 前 n 项和





{an } 是等差数列,首项公差 d ? 0 , a1 ? 0 ,且 a2013 (a2012 ? a ) ? 0 ,则使数列 {an } 2013
Sn ? 0 成立的最大自然数 n 是





A.4027 B.4026 C.4025 D.4024 8.已知

M ( x0 , y0 ) 为圆 x2 ? y 2 ? a2 (a ? 0) 内异于圆心的一点,则直线 x0 x ? y0 y ? a2 与
( C、相离 D、相切或相交 )

该圆的位置关系是 A、相切 B、相交

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ... ? ? 2( ? ? ... ? ) 2 3 4 n ?1 n?2 n?4 2n 9. 已知 n 为正偶数, 用数学归纳法证明
时,若已假设 n ? k (k ? 2 为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证 n ? ( )时

等 (

式 ) C. n ? 2k ? 2

成 D. n ? 2(k ? 2)



A. n ? k ? 1 B. n ? k ? 2

? ? ? ?? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ?? ?? ? ? 、? 、? 满足 | ? |? 1 ,| ? ? ? |?| ? | ,(? ? ? ) ? ( ? ? ? ) ? 0 . 10. 已知向量 若对每一确定的 ? , | ? |

的最大值和最小值分别为 m 、 n ,则对任意 ? , m ? n 的最小值是

??





1 A. 2

B.1

C.2

D. 2

第Ⅱ 卷(共 100 分) 二、填空题:本大题共共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 11.为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况,某市卫生部门对本地区 9 月份至 11 月份注射 疫苗的所有养鸡场进行了调查, 根据下图表提供的信息, 可以得出这三个月本地区每月注射 了疫苗的鸡的数量平均为 万只.

? 2 2 ? ?x ? ? ? ? x ? 展开式中的第________项是常数项. 12.二项式 ?
13.一个几何体的三视图如右图所示,主视图与俯视图都是一边 长为 3cm 的矩形,左视图是一个边长为 2cm 的等边三角形,则这 个几何体的体积为________. 主视图 侧视图 3

10

? y ? x, ? ? x ? y ? 2, ? x ? a, 14.已知 z=2x +y,x,y 满足 ? 且 z 的最大值是最小值
的 4 倍,则 a 的值是 . 15.给出如下四个结论: ① 若“ p 且 q ”为假命题,则 p 、 q 均为假命题;

俯视图

a b a b ② 命题“若 a ? b ,则 2 ? 2 ? 1 ”的否命题为“若 a ? b ,则 2 ? 2 ? 1 ”;

③ 若随机变量 ? ~ N (3, 4) ,且 P(? ? 2a ? 3) ? P(? ? a ? 2) ,则 a ? 3 ; ④ 过点 A(1,4),且横纵截距的绝对值相等的直线共有 2 条. 其中正确结论的序号是______________________________.

三、解答题:本大题共共 6 小题,共 75 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤 16. (本小题满分 12 分)

已知函数

f ? x ? ? 3sin x cos x ? cos2 x ? m (m? R)

π M ( , 0) 12 的图象过点 .

(Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)在△ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c .若 ccosB + bcosC = 2acosB , 求 f ( A) 的取值范围.

17.(本小题满分 12 分)
x 已知函数 f ( x) ? e ? tx (e 为自然对数的底数).

(Ⅰ)当 t ? ?e 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若对于任意 x ? (0, 2] ,不等式 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 t 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分) 如图, 已知多面体 ABCDE 中, AB⊥平面 ACD, DE⊥平面 ACD, AC=AD=CD=DE=2, AB=1, F 为 CD 的中点. (Ⅰ)求证:AF⊥平面 CDE; (Ⅱ)求面 ACD 和面 BCE 所成锐二面角的大小. 19.(本小题满分 12 分) 某高校设计了一个实验学科的实验考查方案:考生从 6 道备选题中 一次性随机抽取 3 题,按照题目要求独立完成全部实验操作。规定: 至少正确完成其中 2 题的便可提交通过。已知 6 道备选题中考生甲
2

有 4 道题能正确完成,2 道题不能完成;考生乙每题正确完成的概率都是 3 ,且每题正确完 成与否互不影响。 (Ⅰ)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算数学期望; (Ⅱ) 试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成 2 题的概率分析比较两位考生 的实验操作能力. 20.(本小题满分 13 分) 已 知 F (1, 0 ) P 是 平 面 上 一 动 点 , P 到 直 线 l : x ? ?1 上 的 射 影 为 点 N , 且 满 足 ,

? ? ?? 1 ? ? ?? ? ? ?? ( P N ? N F) ? N F? 0 2
(Ⅰ)求点 P 的轨迹 C 的方程;

(Ⅱ)过点 M (1, 2) 作曲线 C 的两条弦 MA, MB , 设 MA, MB 所在直线的斜率分别为 当

k1 ,k2 ,

k1 ,k2 变化且满足 k1 ? k2 ? ?1 时,证明直线 AB 恒过定点,并求出该定点坐标.

21. (本小题满分 14 分)

?a ? 已知数列 n 满足:
(Ⅰ)求数列

a1 ?

a2

?

?

?

a3
2

? ... ?

?

an
n ?1

? n 2 ? 2n

(其中常数 ? ? 0, n ? N ).
*

?an ? 的通项公式;

?a ? (Ⅱ)求证:当 ? ? 4 时,数列 n 中的任何三项都不可能成等比数列;
(Ⅲ)设

Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和.求证:若任意 n ? N * , (1 ? ? )Sn ? ?an ? 3

参考答案 一、ACABB CDCB A

1 二、11,90;12,九;13, 3 3cm ;14, 4 ;15,②④
3

f ( x) ?
16.解:(Ⅰ)由

3 1 ? 1 sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? m ? sin(2 x ? ) ? m ? 2 2 6 2 ……… 3 分

? ? ? 1 M ( , 0) sin(2 ? ? ) ? m ? ? 0 12 12 6 2 因为点 在函数 f ( x ) 的图象上,所以
m?
解得:

1 2

……………………5 分

(Ⅱ)因为 c cos B ? b cos C ? 2a cos B ,所以 sin C cos B ? sin B cos C ? 2sin A cos B 所以 sin( B ? C ) ? 2sin A cos B ,即 sin A ? 2sin A cos B

又因为 A ? (0, ? ) ,所以 sin A ? 0 ,所以

cos B ? 2? 3

1 2

…………………… 9 分

又因为 B ? (0, ? ) ,所以

B?

?
3

, A?C ?

0? A?
所以

? ? 1 ? 2? ? ? 7? sin(2 A ? ) ? ? ? ,1? , ? ? 2A ? ? 6 ? 2 ? 3 6 6 6 ,所以

? 1 ? ? ? ,1? 所以 f ( A) 的取值范围是 ? 2 ?

……………………12 分

x x ? 17.解:(Ⅰ)当 t ? ?e 时, f ( x) ? e ? ex , f ( x) ? e ? e .
x x ? ? 由 f ( x) ? e ? e > 0 ,解得 x ? 1 ; f ( x) ? e ? e < 0 ,解得 x ? 1 .

∴函数 f ( x) 的单调递增区间是 (1, ??) ;单调递减区间是 (??,1) . (Ⅱ)依题意:对于任意 x ? (0, 2] ,不等式 f ( x) ? 0 恒成立,

……………… 5 分

x 即 e ? tx ? 0 即

t??

ex x 在 x ? (0, 2] 上恒成立.



g ( x) ? ?

ex (1 ? x)ex g ?( x) ? x ,∴ x2 .

? ? 当 0 ? x ? 1 时, g ( x) ? 0 ;当 1 ? x ? 2 时, g ( x) ? 0 .

∴函数 g ( x) 在 (0,1) 上单调递增;在 (1, 2) 上单调递减. 所以函数 g ( x) 在 x ? 1 处取得极大值 g (1) ? ?e ,即为在 x ? (0, 2] 上的最大值. ∴实数 t 的取值范围是 (?e, ??) . …………………… 12 分

18.解:(Ⅰ)∵DE⊥平面 ACD,AF ? 平面 ACD,∴DE⊥AF. 又∵AC=AD,F 为 CD 中点,∴AF⊥CD, 因 CD∩DE=D,∴AF⊥平面 CDE. ……………… 4 分 (Ⅱ)取 CE 的中点 Q,连接 FQ,因为 F 为 CD 的中点,则 FQ∥DE,故 DE⊥平面 ACD, ∴FQ⊥平面 ACD,又由(Ⅰ)可知 FD,FQ,FA 两两垂直,以 O 为坐标原点,建立如图 坐标系, ??? ? ??? ? 1 2E ? ) , ( 则F (0, 0) C ?1 , 0) A 0, ,( 0, ,(0, 3 ) B 0, ,(0, 3 ) E 1, , (1, 0) C ?,,(3 0C 2, .B 1 ,)

? 设面 BCE 的法向量 n ? ( x, y, z) ,则
? x ? y ? 3z ? 0, ? ? ? n ? (1, ?1,0) . ?2 x ? 2 y ? 0, ? 即 取

? ??? ? ?n ? CB ? 0, ? ? ? ? ??? ?n ? CE ? 0, ?

………………6 分

??? ? 又平面 ACD 的一个法向量为 FQ ? (0,1,0) ,



???? ? ???? ? FQ ? n 0 ?1 ? 0 2 cos ? FQ, n ? ? ???? ? ? ? 2 | FQ || n | 2



∴面 ACD 和面 BCE 所成锐二面角的大小为 45° . 19,解:(Ⅰ)设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为 ? ,? ,则 ? 的取值分别为 1、 2、3,? 的取值分别,0、1、2、3,

P(? ? 1) ?

1 2 C4C2 1 C 2C1 3 C 3C 0 1 ? , P(? ? 2) ? 4 3 2 ? , P(? ? 3) ? 4 3 2 ? 3 C6 5 C6 5 C6 5

所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为:

?
P

1

2

3

1 5

3 5

1 5
………………5 分

1 3 1 E (? ) ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 5 5 5

? ~ B(3, )
因为

2 3 ,所以考生乙正确完成实验操作的题数的概率分布列为:
0 1 2 3

?
P

1 27

6 27

12 27

8 27
………………8 分

E (? ) ? 0 ?

1 6 12 8 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ?2 27 27 27 27 P(? ? 2) ? 3 1 4 12 8 20 ? ? , P(? ? 2) ? ? ? 5 5 5 27 27 27

(Ⅱ)因为

所以 P(? ? 2) ? P(? ? 2)

………………10 分

从做对题的数学期望考察,两人水平相当;从至少正确完成 2 题的概率考察,甲通过的可能 性大,因此可以判断甲的实验操作能力较强。 ………………10 分

??? ? PN ? (?1 ? x,0), 20 解: (Ⅰ)设曲线 C 上任意一点 P(x,y), 又 F(1,0),N(-1,y),从而
???? 1 ???? ???? 1 ???? ???? 1 1 ??? ? PN ? NF ? (? x, ? y ) ( PN ? NF ) ? NF ? 0 ? ?2 x ? y 2 ? 0 NF ? (2, ? y) , 2 2 , 2 2
化简得 y2=4x, 即为所求的 P 点的轨迹 C 的对应的方程. ??????4 分

(Ⅱ)设

A x1 , y1 ) 、 B x2 , y2 ) 、 ( (

MB : y ? k2 ( y2 ?

4 ? 2 x ? 1) MB : y ? k2 ( x ?1) k2 、

2 k y ? 4 y ? 4k1 ? 8 ? 0 将 MB 与 y ? 4 x 联立,得: 1

2

y1 ?


4 ?2 k1 4 ?2 k2



y2 ?
同理



y ? y1 ?
而 AB 直线方程为: ??????8 分

y2 ? y1 yy 4 ( x ? x1 ) y? x? 1 2 x2 ? x1 y1 ? y2 y1 ? y2 ,即



k1 ? k2 2(k ? k ) ?4 4 6 ?4 ? ? 4, y1 y2 ? 4( ? 1 2 ? 1) ? 4( ? 1) k1k2 k1k2 k1k2 k1k2 k1k2 由①②:y1+y2= 4
代入③,整理得

k1k2 ( x ? y ? 1) ? 6 ? y ? 0 恒成立??????10 分

?x ? y ?1 ? 0 ? x ? 5 ?? ? ? y?6 ? 0 ? y ? ?6 故直线 AB 经过(5,-6)这个定点.. ??????13 分 则
21.解:(Ⅰ)当 n=1 时,a1=3. a2 a3 an 当 n≥2 时,因为 a1+ + +?+ =n2+2n, λ λ2 λn-1 an-1 a2 a3 所以 a1+ + +?+ =(n-1)2+2(n-1). λ λ2 λn-2 ②



an -②得 =2n+1,所以 an=(2n+1)·λn-1(n≥2,n∈N*).……………… 3 分 λn-1 又 a1=3 也适合上式, 所以 an=(2n+1)·λn-1 (n∈N*). …………………… 4 分 (Ⅱ)当 λ=4 时,an=(2n+1)· 4n-1. (反证法)假设存在 ar,as,at 成等比数列, 则[(2r+1) · 4r-1]· [(2t+1) · 4t-1]=(2s+1)2 ·42s-2. 整理得(2r+1) (2t+1) 4 r+t -2s=(2s+1)2. 由奇偶性知 r+t-2s=0. 所以(2r+1) (2t+1)=(r+t+1)2,即(r-t)2=0.这与 r≠t 矛盾, 故不存在这样的正整数 r,s,t,使得 ar,as,at 成等比数列. ……… 8 分 (Ⅲ)Sn=3+5λ+7λ2+?+(2n+1)λn-1. 当 λ=1 时,Sn=3+5+7+?+(2n+1)=n2+2n. ………… 10 分 当 λ≠1 时,Sn=3+5λ+7λ2+?+(2n+1)λn-1, λSn= 3λ+5λ2+?+(2n-1)λn-1+(2n+1)λn. λ(1-λn-1) (1-λ)Sn=3+2(λ+λ2+λ3++?+λn-1)-(2n+1)λn=3+2× -(2n+1)λn. 1-λ ①当 λ=1 时,左=(1-λ)Sn+λan=an=2n+1≥3,结论显然成立;

λ(1-λn-1) ②当 λ≠1 时,左=(1-λ)Sn+λan=3+2× -(2n+1)λn+λan 1-λ λ(1-λn-1) =3+2× 1-λ
n ?1 λ(1-λn-1) 而 ? ? 0 , 1 ? ? 和 1 ? ? 同号,故 ≥0 1-λ



(1 ? ? )Sn ? ?an ? 3 对任意 n ? N * 都成立

………… 14 分


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