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高二数学第二章 推理与证明测试题选修2-2


高二数学第二章 推理与证明测试题选修 2-2
一、选择题 1、等比数列 ?an ? , a2 ? 9, a5 ? 243 则其前 4 项和为( 中 , A 81 B 120 C 168 ( D ) ) 192

2、设 a, b, c ? (?? ,0), 则a ?

1 1 1 ,b ? ,c ? b c a

A 都不大于-2 B 都不小于-2 C 至少有一个不大于-2 D 至少有一个不小于-2 3、若三角形能剖分为两个与自身相似的三角形,那么这个三角形的形状为( ) A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 不能确定 4、函数 f ( x) ? 3 sin( 4 x ? A

?

)在[0, ] 内( 4 2

?

) C 只有最大值或只有最小值 D 既有最大值又有最小值 ) D

只有最大值 B 只有最小值

4、函数 y ? x cos x ? sin x 在下列哪个区间内是增函数( A

? 3? ( , ) 2 2
1 log2
11

B

(? ,2? )

C

(

3? 5? , ) 2 2
,则( )

(2? ,3? )

5、设 P ? A

?

1 log
11 3

?

1 log4
11

?

1 log5
C
2
11

0 ? P ?1

B

1? P ? 2
2

2?P?3


D

3? P ? 4

6、已知 x, y ? R, 则" xy ? 1"是" x ? y ? 1" 的( A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C

充要条件 D 既不充分也不必要条件 )

7、等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1536,公比 q ? ? A

1 ,用 Pn 表示数列的前 n 项的积,则 Pn 中最大的是( 2

P9

B

P10

C

P11

D

P12

8、已知正六边形 ABCDEF,在下列表达式① BC ? CD ? EC ;② 2BC ? DC ;③ FE ? ED ; ④ 2 ED ? FA 中,与 AC 等价的有( A 1个 B 2个 C ) 3个 D 4个

9、正数 a, b 满足 a A

ln b

? b lg a ,则有( A
B

) C

a ? 1或b ? 1

a ? 1, b ? 1

b ? 1, a ? 1

D

a ? b ?1

10、正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, P, Q, R 分别是 AB, AD, B1C1 的中点,那么,正方体的过 P, Q, R 的 截面图形是( D A 三角形 B ) 四边形 C 五边形 D 六边形 B D )

11、如果 a1 , a2 ,? ? ?a8 为各项都大于零的等差数列,公差 d ? 0 ,则( A

a1a8 ? a4 a5

B

a1a8 ? a4 a5

C

a1 ? a8 ? a4 ? a5

a1a8 ? a4 a5

12、若 a ?

c?a?b b?a?c A D 13、不共面的四个定点到平面 ? 的距离都相等,这样的平面 ? 共有( D ) A 3个 B 4个 C 6个 D 7个
14、对任意的锐角 ? , ? ,下列不等式关系中正确的是( A C D )

ln 2 ln 3 ln 5 ,b ? ,c ? ,则( C 2 3 5 a?b?c c?b?a B C



sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? sin ? ? sin ?

B D

sin(? ? ? ) ? cos? ? cos ? cos(? ? ? ) ? cos? ? cos ?

15、给出下列三个命题:①若 a ? b ? ?1, 则 则 m( n ? m) ?

a b ? ;②若正整数 m和n 满足 m ? n , 1? a 1? b

n 2 2 2 2 ;③设 P( x1 , y1 )为圆O1 : x ? y ? 9 上任意一点,圆 O2 以 Q (a, b) 为圆心且半径为 1。当 (a ? x1 ) ? (b ? y1 ) ? 1 时,圆 2

O1与圆O2 相切。
其中假命题的个数是( B ... A 0 B 1 16、若函数 f ( x ) ? log a
( x 3 ? ax )

) C 2 D 3 )

1 ( a ? 0, a ? 1) 在区间 (? ,0) 内单调递增,则 a 的取值范围是( B 2

A

1 [ ,1) 4

B

3 [ ,1) 4

C

9 ( ,?? ) 4

D

9 (1, ) 4

17、已知直线 m、n 与平面 ? , ? ,给出下列三个命题: ①若 m // ? , n // ? , 则m // n; ③若 m ? ? , m // ? , 则? ? ? . 其中真命题的个数是( C ) A.0 B.1 18、函数 f ( x) ? a A. a ? 1, b ? 0
x ?b

②若 m // ? , n ? ? , 则n ? m;

C.2

D.3 D )

的图象如图,其中 a、b 为常数,则下列结论正确的是 ( C. 0 ? a ? 1, b ? 0 D. 0 ? a ? 1, b ? 0

B. a ? 1, b ? 0

19、 f (x) 是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,且 f (2) ? 0 在区间(0,6)内解的个数的最小值是 D A.2 B.3
2 2

C.4

D.5 ( D. ? C )

20、设 a, b ? R, a ? 2b ? 6, 则a ? b 的最小值是 A. ? 2 2 B. ?

5 3 3

C.-3 ( B )

7 2

21、下列结论正确的是 A.当 x ? 0且x ? 1时, lg x ? 1 ? 2 lg x C. 当x ? 2时, x ?

B. 当x ? 0时, x ? 1 ? 2 x

1 1 的最小值为 2 D.当 0 ? x ? 2时, x ? 无最大值 x x

22、在 y ? 2 x , y ? log2 x, y ? x 2 , y ? cos2 x 这四个函数中,当 0 ? x1 ? x2 ? 1 时,使 f ( ( B ) A.0 23、若 0 ? x ?

x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) )? 恒成立的函数的个数是 2 2

B.1

C.2 ( D )

D.3

, 则2 x与3 sin x 的大小关系 2 A. 2 x ? 3 sin x B. 2 x ? 3 sin x C. 2 x ? 3 sin x
3

?

D.与 x 的取值有关

24、在函数 y ? x ? 8x 的图象上,其切线的倾斜角小于 A.3 B.2 C.1

? 的点中,坐标为整数的点的个数是( D 4
D.0



1 a 1 b 25、已知实数 a, b 满足等式 ( ) ? ( ) , 下列五个关系式 2 3
①0<b<a ②a<b<0 ③0<a<b 其中不可能成立的关系式有( B ) ... A.1 个 26、函数 f ( x ) ? ? B.2 个 C.3 个 ④b<a<0 D.4 个 ⑤a=b

?sin ?x 2 ,?1 ? x ? 0;
x ?1 ?e , x ? 0

,若 f (1) ? f (a ) ? 2, 则 a 的所有可能值为( C )

A

1

B

?

2 2

C

1或 ?

2 2

D

1或

2 2

27、在坐标平面内,与点 A(1,2)距离为 1,且与点 B(3,1)距离为 2 的直线共有 ( B ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 28、设函数 f ( x)(x ? R) 为奇函数, f (1) ? A.0 B.1

1 , f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2), 则 f (5) ? ( C ) 2 5 C. D.5 2

29、若 f (x) 和 g(x)都是定义在实数集 R 上的函数,且方程 x ? f [ g ( x)] ? 0 有实数解, 则 g[ f ( x)] 不可能是(D) ...

A

x2 ? x ?

1 5

B x ?x?
2

1 5

C

x2 ?

1 5

D

x2 ?

1 5

30、设 f ?(x) 是函数 f (x) 的导函数, y ? f ?(x) 的图象如图所示,则 y ? f (x) 的图象最有可能的是( B )

31、在△ABC 中,给出下列四个式子①sin(A+B)+sinC ③sin(2A+2B)+sin2C (A)①② (B)②③

②cos(A+B)+cosC )

④cos(2A+2B)+cos2C,其中为常数的是( B (C)③④ (D)以上都不对

32、设函数 f ( x ) ? ? A. a B. b

?? 1, x ? 0 (a ? b ) ? (a ? b ) ? f (a ? b ) (a ? b) 的值为(D )txjy , 则 2 ?1, x ? 0
C. a, b 中较小的数 D. a, b 中较大的数

33、设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,令 Tn ?

S1 ? S 2 ? ? ? S n ,称 Tn 为数列 a1 , a2 ,??, an 的“理想数” ,已知数列 a1 , a2 ,??, a500 的“理 n
C )

想数”为 2004,那么数列 2, a1 , a2 ,??, a500 的“理想数”为(

A 、2008 B、 2004 C、 2002 D 、2000 34、数列 2,5,11,20, x ,47?中的 x 等于( B ) A 28 B 32 C 33 D 27 35、对“ a、b、c 是不全相等的正数” ,给出下列判断:

① ③

(a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ? 0 ;②

a ? b与a ? b及a ? b 中至少有一个成立;
C )

a ? c, b ? c, a ? c 不能同时成立,其中判断正确的个数是(

A 0 B 1 C 2 D 3 36、数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,?的第 1000 项是( B A 42 B 45 C 48 D 51 y ? x 为相同函数的是( D ) 37、与函数 A



y ? x2

B

y?

x2 x

C

y ? e ln x

D

y ? log2

2x

38、计算机中常用的十六进制是逢 16 进 1 的计数制,采用数字 0~9 和字母 A~F 共 16 个计数符号,这些符号与十进制的数字的对应关系如下表: 十六进制 十进制 十六进制 十进制 例如,用十六进制表示 E+D=1B,则 A ? B ? ( A A 6E B 72 C 5F 0 0 8 8 ) D 1 1 9 9 B0 B ) 2 2 A 10 3 3 B 11 4 4 C 12 5 5 D 13 6 6 E 14 7 7 F 15

39、若数列 ?an ? 的前 8 项的值各异,且 a n ?8 ? a n 对任意的 n ? N ? 都成立,则下列数列中,可取遍 ?an ? 的前 8 项值的数列是( A

?a2k ?1 ?

B

?a3k ?1 ?

C

?a4k ?1 ?

D )

?a6k ?1 ?

40、已知函数 f ( x) ? lg A
0

b

1? x ,若 f (a ) ? b ,则 f (?a) 等于( B 1? x 1 1 ?b ? B C D b b
B )

41、 tan15 ? cot15 等于(
0

A

2

B

2? 3

C

4

D

4 3 3
a c ? ?( x y
B )

42、设 a, b, c 三数成等比数列,而 x, y 分别为 a, b 和 b, c 的等差中项,则

A

1

B

2

C

3

D

不确定

43、已知 ? , ? 表示平面, a, b 表示直线,则 a // ? 的一个充分条件是( D ) A

? ? ?,a ? ?

B

? ? ? ? b, a // b C a // b, b // ?

D

? // ? , a ? ?

? 1 ,x≠1 ? 2 2 2 2 44、设定义域为 R 的函数 f(x)=?|x-1| ,若关于 x 的方程 f (x)+bf(x)+c=0 有 3 个不同的实数解 x1、x2、x3,则 x1 ? x2 ? x3 等于(D) ?1 ,x=1 ?
A.5 2b +2 B. 2
2

b

C.13

3c +2 D. 2

2

c

45、已知 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图象如图所示,则函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的图象可以是 A
y

y

y=f(x)
O

y=g(x)
x

O

x
y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

46、正实数 x1 , x2 及函数 f ( x ) 满足 4 ?
x

1 ? f ( x) ,且 1 ? f ( x)

A. 的最小值为 ( C )

B.

C.

D.

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 ,则 f ( x1 ? x2 )

( A) 4
二、填空题 1、若正整数 m 满足 10

(B) 2

(C )

4 5

( D)

1 4

m?1

? 2512 ? 10m ,则 m ? __________ ____.(lg2 ? 0.3010 (155) )

2、过原点作曲线 y ? e 的切线,则切点坐标是______________,切线斜率是_________.( (1, e), e )
x

3、设函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且 y ? f (x) 的图像关于直线 x ?

1 对称,则 2

f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) ? __________ ____. (0)

4、在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a2 ? 2, an?2 ? an ? 1 ? (?1) n (n ? N * ) ,则 S10 ? __________(35) . 5、把下面不完整的命题补充完整,并使之成为真命题: 若函数 f ( x) ? 3 ? log2 x 的图象与 g (x) 的图象关于 对称,则函数 g (x) =

。 (注:填上你认为可以成为真命题的一件情形即可,不必考虑所有可能的情形). 6、设平面内有 n 条直线(n≥3) ,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点,若用 f(n)表示 n 条直线交点的个数,则 f(4)= 当 n>4 时,f(n)= ( 5,

,

1 (n ? 2)( n ? 1) ) 2

7、若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{an}是公比为 q 的无穷等比数列,下列{an}的四组量中,一定能成为该数列“基本 量”的是 第 ①S1 与 S2; 组.(写出所有符合要求的组号)(①、④) ②a2 与 S3; ③a1 与 an; ④q 与 an.

其中 n 为大于 1 的整数, Sn 为{an}的前 n 项和. 8、定义“等和数列” :在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公 和. 已知数列 {a n } 是等和数列, a1 ? 2 , 且 公和为 5, 那么 a18 的值为______________, 这个数列的前 n 项和 S n 的计算公式为________________ . 3 n 为偶数时, S n ? ( 当

5 5 1 n ;当 n 为奇数时, S n ? n ? ) 2 2 2
发送 解密密钥密码

9、为了保证信息安全传输,有一种称为秘密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem),其加密、解密原理如下图: 明文 加密密钥密码 密文 密文 明文

现在加密密钥为 y ? log a ( x ? 2) ,如上所示,明文“6”通过加密后得到密文“3” ,再发送,接受方通过解密密钥解密得到明文“6” .问:若接受方 接到密文为“4” ,则解密后得明文为 ▲ .

解析:运用映射概念,体现 RMI 原则,实质上当 x=6 时,y=3,可得 a=2,从而当 y=4 时,

x=24-2=14。
10、同住一间寝室的四名女生,她们当中有一人在修指甲,一人在看书,一人在梳头发,另一人在听音乐。 ①A 不在修指甲,也不在看书 ②B 不在听音乐,也不在修指甲 ③如果 A 不在听音乐,那么 C 不在修指甲 ④D 既不在看书,也不在修指甲

⑤C 不在看书,也不在听音乐 若上面的命题都是真命题,问她们各在做什么? A在 B在 C在 D在 A 在听音乐 B 在看书 C 在修指甲 D 在梳头发 11、由图(1)有面积关系: S ?PA?B ? ? PA? ? PB ?, 则由(2) 有体积关系: S ?PAB PA ? PB

.

VP ? A?B ?C ? ? VP ? ABC

.
A'
'

B

B
A' C'

C



PA ? PB ? PC ) PA ? PB ? PC
' '

P B'
图(1)

A

P B'
图(2)

A

12、连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 ①菱形 ②有 3 条边相等的四边形 ④平行四边形 ⑤有一组对角相等的四边形

(填写 ③梯形

所有正确选项的序号). (②③⑤)

13、已知平面 ? , ? 和直线,给出条件:① m // ? ;② m ? ? ;③ m ? ? ;④ ? ? ? ;⑤ ? // ? . (i)当满足条件 时,有 m // ? ; (ii)当满足条件 时,有 m ? ? .

(填所选条件的序号) (③⑤ ②⑤) 14、已知直线 m、n 及平面 ? ,其中 m∥n,那么在平面 ? 内到两条直线 m、n 距离相等的点的集合可能是: (1)一条直线; (2)一个平面; (3)一 个点; (4)空集. 其中正确的是 .(1) (4) ( (2) ) 15、在某学校,星期一有15名学生迟到,星期二有12名学生迟到,星期三有9名学生迟到,如果有22名学生在这三天中至少迟到一次,则三天都迟 到的学生人数的最大可能值是 ___________.(7) 16、从 1 ? 1 ,2 ? 3 ? 4 ? 3 ,3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 5 中,克的一般性结论是________________
2 2 2

_________________ (

n ? (n ? 1) ? ? ? ? ? (3n ? 2) ? (2n ? 1) 2 )
1 2 ? 2
x

17、设 f ( x) ?

,利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法,可求得

f (?5) ? f (?4) ? ? ? ? ? f (0) ? ? ? ? ? f (5) ? f (6) 的值是________________.( 3 2 )
18、已知数列 ?an ? 的通项公式 a n ?

1 (n ? N ? ) ,记 (n ? 1) 2

f (n) ? (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ? ? ? (1 ? an ) ,试通过计算
f (1), f (2), f (3) 的值,推测出 f (n) ? __________ ______ ( f (n) ? .
19 、 从

n?2 ) 2(n ? 1)

1=1 , 1-4= ( 1+2 ) ,1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4), ? , 推 广 到 第 n 个 等 式 为 _________________________.
n?1

( 1 ? 4 ? 9 ? 16 ? ? ? ? ? (?1) 20、 f (n) ? 1 ?

n 2 ? (?1) n?1 (1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n) )

1 1 1 ? ? ? ? ? ? (n ? N ? ) ,经计算的 2 3 n 3 5 7 f (2) ? , f (4) ? 2, f (8) ? , f (16) ? 3, f (32) ? ,推测当 n ? 2 时,有___________ 2 2 2 n?2 n ______________.( f ( 2 ) ? ) 2
21、已知 a, b 是不相等的正数, x ? __________.
2 22、已知实数 a ? 0 ,且函数 f ( x) ? a( x ? 1) ? (2 x ?

a? b 2

, y ? a ? b ,则 x, y 的大小关系是________

1 ) 有最小值-1,则 a =__________. a

23、已知实数 a,b 满足等式 log2a=log3b,给出下列五个等式: ①a>b>1;②b>a>1;③a<b<1;④b<a<1;⑤a=b. 其中可能成立的关系式是 (填序号). ②④⑤) ( 24、设函数 f (x) =(x-a)(x-b)(x-c),(a,b,c 是两两不等的常数),则

a b c + / + / 的值是 f (a) f (b) f (c)
/

.( 0)

25、如果函数 f(x)的定义域为 R,对于

m, n ? R, 恒有f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ? 6, 且f (?1) 是不大于 5 的正整数,当 x>-1 时,f(x)>0. 那么具有这种性质的函数 f(x)=
( y ? x ? 6或y ? 2 x ? 6?(注:填上你认为正确的一个函数即可) ) 三、解答题 1、已知: sin 30 ? sin 90 ? sin 150 ?
2 ? 2 ? 2 ?



3 2

sin 2 5 ? ? sin 2 65 ? ? sin 2 125 ? ?

3 2 3 2
( * )

通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题: _____________________________________________________= 并给出( * )式的证明。 一般形式: sin ? ? sin (? ? 60 ) ? sin (? ? 120 ) ?
2 2 ? 2 ?

3 ???????? 4 分 2

证明

左边 =

1 ? cos 2? 1 ? cos(2? ? 120? ) 1 ? cos(2? ? 240? ) ? ? ?? 7 分 2 2 2

=

3 1 ? [cos 2? ? cos( 2? ? 120 ? ) ? cos( 2? ? 240 ? )] 2 2 3 1 ? [cos 2? ? cos 2? cos 120 ? ? sin 2? sin 120 ? ? cos 2 cos 240 ? ? = 2 2
??????????????????????? 9 分

sin 2? sin 240? ]
=

3 1 1 3 1 3 ? [cos2? ? cos 2? ? sin 2? ? cos 2? ? sin 2? ] ??? 2 2 2 2 2 2
3 ? 右边 2

11 分

=

∴原式得证?????????????????????????

12 分

3 2 ? 2 2 ? (将一般形式写成 sin (? ? 60 ) ? sin ? ? sin (? ? 60 ) ? , 2 3 sin 2 (? ? 240? ) ? sin 2 (? ? 120? ) ? sin 2 ? ? 等均正确,其证明过程可参照给分。 ) 2

2、设集合 M ? x x ? 1 ,在集合 M 中定义一种运算*,使得 a ? b ? (1)证明:若 a ? M , b ? M , 则a ? b ? M ; (2)证明: (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

?

?

a?b 1 ? ab

3、设函数 f ( x) ? 2 x 2 ? mx ? n ,求证: f (1) , f (2) , f (3) 中至少有一个不小于 1

4、记 min?x1 , x2 ,? ? ?xn ? x1 , x2 ,? ? ?xn 中最小的一个,求证: 为 (1)设 x ? R, min x , x ? 1 ? x ? 1 ;
2

?

?

(2)设 a, b ? R * , min?a,

b ? ? 1 ? 2 2? ? 4a ? b ? 2

5、设数列 ?an ?满足 a1 ? a2 ? 1, a3 ? 2 ,且对任意正整数 n , 都有 an an?1an?2 ? 1, 又an an?1an?2 an?3 ? an ? an?1 ? an?2 ? an?3 ,求

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? a100 的值
(200) 6、已知正数 a, b, c 成等差数列,且公差 d ? 0 ,求证:

1 1 1 , , 不可能是等差数列。 a b c

7、等差数列的首项为 a1 ,公差为 d ,用记号 S n?m 表示这个数列的第 n 项到第 m 项共 m ? n ? 1 项的和。 (1)证明: S3?6 , S5?8 , S7?10 也成等差数列; (2)由(1)的启发,写出你发现的一般规律并予以证明。 8、等比数列的首项为 a1 ,公比为 q( q ? ?1) ,用记号 S n?m 表示这个数列的第 n 项到第 m 项共 m ? n ? 1 项的和。 (1)证明: S1?3 , S4?6 , S7?9 也成等比数列;

(2)由(1)的启发,写出你发现的一般规律并予以证明。 9、若数列 ?an ? 为等差数列,且 am ? a, an ? b(m ? n, m, n ? N ? ) ,则 a m ? n ?

bn ? am ,现已知数列 n?m
n

?bn ?(bn ? 0, n ? N ? ) 为等比数列,且 bm ? a, bn ? b(m ? n, m, n ? N ? ) ,类比以上结论,可得到什么命题?并证明你的结论. ( bm?n ? n?m bm
a
10、观察(1)



tan100 tan200 ? tan200 tan600 ? tan600 tan100 ? 1; (2) tan50 tan100 ? tan100 tan750 ? tan750 tan50 ? 1 由以上两式成立,推广到一般结论,写
出你的推论。 (如果 ? ? ? ? ? ?

?
2

, 且? , ? , ?都不为

?
2

,则

tan? tan ? ? tan ? tan? ? tan? tan? ? 1 )
11、在 Rt?ABC 中,若 ?C ? 90 , 则cos A ? cos B ? 1, 则在空间中类比给出四面体性质的猜想。
0 2 2

(四面体的三个侧面互相垂直,且与底面所成的角分别是 ? , ? , ? ,则

cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1 )
12、在 Rt?ABC 中,若 ?C ? 900 , AC ? b, BC ? a, 则三角形 ABC 的外接圆半径 r ?

a2 ? b2 ,把此结论类比到空间,写出类似的结论。 2

a2 ? b2 ? c2 (取空间三条侧棱互相垂直的四面体,三条侧棱长分别为 a, b, c ,则此三棱锥外接球的半径是 r ? 。 ) 2
13、已知函数 f ( x) ? (

1 1 ? )x3 . 2 ?1 2
x

(1)判断函数 f (x) 的奇偶性; (2)证明: f ( x) ? 0 . 14、设 f ( x) ? sin(2 x ? ? )(?? ? ? ? 0), f ( x) 图像的一条对称轴是 x ?

?
8

.

(1)求 ? 的值; (2)求 y ? f (x) 的增区间; (3)证明直线 5x ? 2 y ? c ? 0 与函数 y ? f (x) 的图象不象切. 15、设函数 f ( x) ? x sin x( x ? R) . (1)证明: f ( x ? 2k? ) ? f ( x) ? 2k? sin x, k ? Z ; (2)设 x0 为 f (x) 的一个极值点,证明 [ f ( x0 )]2 ? 16、求 a 的取值范围,使函数 f ( x) ? 17、若
4 x0 . 2 1 ? x0

x 2 ? 1 ? ax(a ? 0)在区间 0,??) 上是单调函数. [

a b ? ? 1(a, b, x, y ? 0, a ? b) ,求证: x ? y ? ( a ? b ) 2 . x y

2 18、已知直线 y ? kx 分抛物线 y ? x ? x 与 x 轴所围图形面积相等的两部分,求 k 的值.

19、 ?ABC 的三个内角 A, B, C 成等差数列,求证:

1 1 3 ? ? a?b b?c a?b?c

20、已知数列 ?an ? 满足条件 (n ? 1)an?1 ? (n ? 1)(an ? 1), a2 ? 6, 令bn ? an ? n, 试猜想数列

?bn ?的通项公式,并用数学归纳法证明。
21、是否存在常数 a, b, c 使等式

1? (n 2 ? 12 ) ? 2(n 2 ? 2 2 ) ? ? ? ? ? n(n 2 ? n 2 ) ? an4 ? bn2 ? c 对一切正整数 n 都成立?证明你的结论。
22、用数学归纳法证明: (3n ? 1)7 ? 1(n ? N ? ) 能被 9 整除
n

23、用数学归纳法证明 2 ? 2n ? 1(n ? N ? , n ? 3)
n

24、求证: y ? ax2 ? 2bx ? c, y ? bx2 ? 2cx ? a, y ? cx 2 ? 2ax ? b(a, b, c 是互不相等的实数) ,三条抛物线至少有一条与 x 轴有两个交点。 25、设 a, b, c, d 是正实数,求证,下列三个不等式 a ? b ? c ? d , (a ? b)(c ? d ) ? ab ? cd ,

(a ? b)cd ? ab(c ? d ) 中至少有一个不正确。
26、设函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 中, a, b, c 均为整数,且 f (0), f (1) 均为奇数。 求证: f ( x) ? 0 无整数根。 27、已知 a, b, c 均为实数,且 a ? x ? 2 y ?
2

?
2

, b ? y 2 ? 2z ?

?
3

, c ? z 2 ? 2x ?

?
6



求证: a, b, c 中至少有一个大于 0 28、在三角形 ?ABC 内求一点 P,使 AP ? BP ? CP 最小。
2 2 2

解:设 CA ? a, CB ? b, CP ? x, 则AP ? x ? a, BP ? x ? b ,所以 AP ? BP ? CP ?
2 2 1 1 3[ x ? ( a ? b)] 2 ? a ? b ? ( a ? b) 2 ,故 P 为三角形重心 3 3

2

2

2

29、已知函数 f ( x) ? ax ? b ,当 x ?[a1 , b1 ] 时,值域为 [a2 , b2 ] ,当 x ?[a2 , b2 ] 时,值域 为 [a3 , b3 ] ,?,当 x ?[an?1 , bn?1 ] 时,值域为 [an , bn ] ,?.其中 a、b 为常数,a1=0,b1=1. (1)若 a=1,求数列{an}与数列{bn}的通项公式; (2)若 a ? 0, a ? 1 ,要使数列{bn}是公比不为 1 的等比数列,求 b 的值; 解:⑴∵a=1>0,∴f(x)=ax+b 在 R 上为增函数, ∴an=a·an-1+b=an-1+b,bn=bn-1+b(n≥2), ∴数列{an},{bn}都是公差为 b 的等差数列。 又 a1=0,b1=1,∴an=(n-1)b,bn=1+(n-1)b(n≥2) ???????????4 分 ⑵∵a>0,bn=abn-1+b,∴

bn b =a+ ,???????????6 分 bn-1 bn-1

由{bn}是等比数列知

b 为常数。又∵{bn}是公比不为 1 的等比数列,则 bn-1 不为常数, bn-1

∴必有 b=0。??????????????????????????8 分 30、已知数列{an}满足 Sn+an=2n+1, (1) 写出 a1, a2, a3,并推测 an 的表达式; (2) 用数学归纳法证明所得的结论。 解:

3 7 15 , a2= , a3= , 2 4 8 1 猜测 an=2- n 2
(1) a1= ②假设 n=k 时,命题成立,即 ak=2-

3分 5分 6分 8分

(2) ①由(1)已得当 n=1 时,命题成立;

1 , 2k

当 n=k+1 时, a1+a2+??+ak+ak+1+ak+1=2(k+1)+1, 且 a1+a2+??+ak=2k+1-ak ∴2k+1-ak+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3, ∴2ak+1=2+2-

1 1 , ak+1=2- k ?1 , k 2 2
13 分

即当 n=k+1 时,命题成立. 根据①②得 n∈N
+

1 , an=2- n 都成立 14 分 2


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