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第一讲 集合


遥行教育 2015 暑期班

高一数学

邢老师

第一讲 集合的含义与表示

集合

一、知识点 1.集合的概念 把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合; 例子:高一(9)班的全体学生;我国古代的四大发明;2,4,6,8,10,12,14

2.集

合的特性:确定性,互异性,无序性; 3.集合的表示方法: 例举法,描述法,图示法; 4.元素与集合的关系:属于?,不属于∈; 5.集合的分类:有限集,无限集,空集¢; 6.常用数集的符号 * 非负整数集N,正整数集N 或N+ ,整数集Z,有理数集Q,实数集R,复数集C 二、典型例题 考点一、集合的概念 【例题 1】下列说法正确的是( ) A “整数集”可以写成{N}或{整数集} B {1,2,3,4}与{1,3,4,2}是两个不同的集合 C 小于π 的全体实数组成一个集合 D 充分接近π 的实数组成一个集合 【例题 2】定义集合运算:A*B={z|z=xy ,x ∈ A, y ∈ B }设 A={1,2},B={2,4},则集合 A*B 的所有元素之和为( ) A 2 B 4 C 14 D 18 【例题 3】有三个实数的集合,既可以表示为{a,a , 1},也可以表示为{ a ,a+b,0},则 a
2009

b

2

+b

2009

=____

考点二、集合的表示方法 【例题 1】集合 A={1,-3,5,-7,9,-11, 。 。 。}用描述法表示正确的是( n ① {x|x=2 ±1,n∈N } n ② {x∣x=(-1) (2n-1),n∈N } n ③ {x∣x=(-1) (2n+1),n∈N } n-1 ④ {x∣x=(-1) (2n-1),n∈N } A 只有②④ B ①④ C ②④ D ③④

D )

1

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【例题 2】用列举法表示下列集合 (1){x∣3?x ∈Z ,x∈Z}
6

(2){x∣x=a ,a∈Z ,∣a∣<2,b∈N 且 b≤3} )

b

*

【例题 3】设集合 M={m∣m≤2 3},又 x=2 2,那么下列关系正确的是( A x?M B {x}∈M C x∈M D 以上都不对

考点三、集合的分类 【例题 1】在(1) {0} , (2) { ¢ } ,(3){ x∣3m<x<m } , (4) {x∣a+2<x<a}, 2 (5) {x∣x +1=0,x∈R}中表示空集的是

当堂检测 1.下列各项中,不可以组成集合的是 A.所有的正数 B.约等于 2 的数 x ? y ?2 2.方程组 x ? y ?0 的解构成的集合是 C.接近于 0 的数 ( D.不等于 0 的偶数 ( C. (1,1) D. {1} . ) )

{

A. {(1,1)}
2

B. {1,1}

3. 知集合 A ? {x | ax ? 3x ? 2 ? 0}至多有一个元素,则 a 的取值范围 4. 已知 A ? {?2,?1,0,1} , B ? {y | y ? x , x ? A} ,则 B= 5. 若 A ? {?2,2,3,4} , B ? {x | x ? t , t ? A} ,用列举法表示 B
2

. .

6.数集 A 满足条件:若 a ? A, a ? 1 ,则

1 ?A. 1? a

①若 2 ? A ,则在 A 中还有两个元素是什么; ②若 A 为单元集,求出 A 和 a .

7.用描述法表示图中的阴影部分(包括边界) y 1

—1

o

3 2

x

?

集合间的基本关系
一、考点分析 1. 子集和真子集
2

1 2

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如: (1)中 A ? B 若集合 A ? B , 但存在元素 x ? B, 且x ? A , 则称集合 A 是集合 B 的真子集 (proper subset) 。 记作:A B(或 B A) 读作:A 真包含于 B(或 B 真包含 A) 2. 集合相等 如果 A 是集合 B 的子集,且集合 B 是集合 A 的子集,则集合 A 与集合 B 中的元素是一样 的,因此集合 A 与集合 B 相等,即若 A ? B且B ? A ,则 A ? B 。 3. 集合之间的关系 (一) 几个重要的结论: (1) 空集是任何集合的子集; (2) 空集是任何非空集合的真子集; (3) 任何一个集合是它本身的子集; 对于集合 A,B,C,如果 A ? B ,且 B ? C ,那么 A ? C (二) 易错点 注意集合与元素是“属于” “不属于”的关系,集合与集合是“包含于” “不包含于”的 关系; 在分析有关集合问题时,要注意空集的地位。 4. 集合中子集的个数 (1)由 n 个元素组成的集合 A,则有: n ①A 的子集个数是 2 ; n ②A 的真子集个数是 2 -1; n ③A 的非空子集个数是 2 -1; n ④A 的非空真子集个数是 2 -2; 二、典型例题 【例题 1】填空: ? {2} (1) . 2 N; N;
2

A;

(2) .已知集合 A={x|x -3x+2=0},B={1,2},C={x|x<8,x∈N},则 A B; A C; {2} C; 2 C 【例题 2】若集合 A ? x x ? x ? 6 ? 0 , B ? x mx ? 1 ? 0 , B
2

?

?

?

?

A,求 m 的值。

【例题 3】已知集合 A ? x ?2 ? x ? 5 , B ? x ? m ? 1 ? x ? 2m ? 1 且 A ? B , 求实数 m 的取值范围。 【例题 4】 设 A、 B 为两个非空数集, 定义: A+B={a+b∣a∈A,b∈B },若 A={0,2,5}, B={1,2,6} 则 A+B 子集的个数是 【例题 5】 (1) 集合 A 中有 m 个元素, 若 A 中增加一个元素, 则它的子集增加的个数是 ( ) m A m B m+1 C 2 D 2m (2) m,n 为自然数, m>n,集合 A={1,2,3, ?, m} B={1,2,3,?,n},满足 B∩C≠¢ 的 A 的子集 C 共有 个
3

?

?

?

?

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当堂检测 1.下列关系正确的是 A. 3 ?{ y | y ? x ? ? , x ? R}
2





B. {( a, b)}= {(b, a)} C. {( x, y) | x ? y ? 1 }
2 2
2

{( x, y) | ( x 2 ? y 2 ) 2 ? 1}
( )

D. {x ? R | x ? 2 ? 0} = ? 2.下面关于集合的表示正确的个数是 ① {2,3} ? {3,2}; ② {( x, y) | x ? y ? 1} ? { y | x ? y ? 1} ; ③ {x | x ? 1} = { y | y ? 1} ; ④ {x | x ? y ? 1} ? { y | x ? y ? 1} ; A.0 B.1 C.2 D.3

3. 以下四个关系: ? ? {0} , 0 ? ? ,{ ? } ? {0} , ?
A.1 B.2

{0} ,其中正确的个数是 (



C.3 D.4 4. 设集合 M ? {x | x ? k ? 1 , k ? Z } , N ? {x | x ? k ? 1 , k ? Z } ,则 4 2 2 4 A. M ? N B. M





N

C. N

M

D. M ? N ? ?

5. (1)P={x|x2-2x-3=0},S={x|ax+2=0},S ? P,求 a 取值?
(2)A={-2≤x≤5} ,B={x|m+1≤x≤2m-1},B ? A,求 m?

集合的基本运算
一、考点分析 常见的五种交集的情况:

B

A

A(B)

A

B

A

B

A

B

讨论:A∩B 与 A、B、B∩A 的关系? A∩A= A∩Ф =

A∩B

B∩A

A∩B=A ? A∩B=B ? 二、典型例题 【例题 1】已知集合 A={x∣x≤1},B={x∣x≥a},且 A∪B=R,则实数 a 的取值范围


【例题 2】已知集合 A={ x∣x -2x-8=0},
2

B={x∣x +ax+a -12=0},求由满足 A∪B=

2

2

A 的 a 的值组成的集合。

4

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【例题 3】已知集合 A={x∣∣x+1∣<m},

B ={x∣(x +2x-8)(x +2x+4)<0},求分别满

2

2

足下列条件的 m 的取值范围: (1) A 是 B 的真子集; (2) A∩B=¢

【例题 4】设集合 A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=A∪B,则集合 CU(A∩

B)中元素的个数共有( ) A 3个 B 4个 C 5个 D 6个 【例题 5】某班共30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱乒乓球运动,8 人对这 两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数是
【当堂检测】

1. 设集合 U ? {2,3, a 2 ? 2a ? 3} , A ? {| 2a ? 1 |,2} , CU A ? {5} ,求实数 a 的值.

2. 设全集 U 为 R, A ? x x 2 ? px ? 12 ? 0 ,

?

?

B ? x x 2 ? 5x ? q ? 0 ,若

?

?

(CU A) ? B ? ?2?, A ? (CU B) ? ?4? ,求 A ? B 。

3. 全集 S ? ?1,3, x 3 ? 3 x 2 ? 2 x? , A ? ?1, 2 x ? 1 ? ,如果 C S A ? ?0?, 则这样的
实数 x 是否存在?若存在,求出 x ;若不存在,请说明理由。

【随堂练习】 一、选择题 1.下列各项中,不可以组成集合的是( A.所有的正数 C.接近于 0 的数 A. {x | x ? 3 ? 3} C. {x | x ? 0}
2



B.等于 2 的数 D.不等于 0 的偶数 )
2 2 2

2.下列四个集合中,是空集的是(

B. {( x, y) | y ? ? x , x, y ? R} D. {x | x ? x ? 1 ? 0, x ? R} 的解集是( ) D. ??5,?4??

3.下列方程组 ? A. ? 5, 4 ?

?x ? y ? 1
2 2 ?x ? y ? 9

B. ?5,?4?

C. ??? 5,4??

4.下面有四个命题: (1)集合 N 中最小的数是 1 ;
5

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(2)若 ?a 不属于 N ,则 a 属于 N ; (3)若 a ? N , b ? N , 则 a ? b 的最小值为 2 ; (4) x ? 1 ? 2 x 的解可表示为 ? 1,1? ;
2

其中正确命题的个数为( A. 0 个 B. 1 个

) D. 3 个

C. 2 个

5.若集合 M ? ?a, b, c? 中的元素是△ ABC 的三边长, 则△ ABC 一定不是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 6.若全集 U ? ?0,1, 2,3?且CU A ? ?2? ,则集合 A 的真子集共有( A. 3 个 B. 5 个 C. 7 个 D. 8 个 ) )

7.下列表示图形中的阴影部分的是( A. ( A C ) ( B C ) B. ( A

A

B

B) ( A C ) C. ( A B ) ( B C ) D. ( A B) C
8.若集合

C

M ? ?( x, y) x ? y ? 0? , N ? ( x, y ) x 2 ? y 2 ? 0, x ? R, y ? R
N ?M
B. M

?

? ,则有(
N ??




A. M

N?N

C. M

N ?M

D. M

9.若集合 A ? {?1,1} , B ? {x | mx ? 1} ,且 A ? B ? A ,则 m 的值为( A. 1 B. ? 1 C. 1 或 ? 1 10.下列表述中错误的是( ) A.若 A ? B, 则A ? B ? A B.若 A ? B ? B,则A ? B C. ( A ? B ) D. 1 或 ?1 或

A

( A ? B)

D. CU ? A ? B? ? ?CU A? ? ?CU B? 二、填空题 1.用符号“ ? ”或“ ? ”填空 (1) 0 ______ N , (2) ?

5 ______ N ,

16 ______ N

1 ______ Q, ? _______ Q, e ______ CR Q ( e 是个无理数) 2
6

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(3) 2 ? 3 ? 2 ? 3 ________ x | x ? a ? 6b, a ? Q, b ? Q

?

?

2.设集合 A ? {x ? 3 ? x ? 2} , B ? {x 2k ?1 ? x ? 2k ?1} ,且 A ? B , 则实数 k 的取值范围是 3.用列举法表示集合: M ? {m| 4.用适当的符号填空 (1) 3 ______ ?x | x ? 2?, ?1,2? ____??x, y? | y ? x ? 1? (2) 2 ? 5 _______x | x ? 2 ? 3 , (3) ? x |

10 ? Z , m ? Z} = m ?1

?

?

? ?

1 ? ? x, x ? R ? _______ ?x | x3 ? x ? 0? x ?

5.某班有学生 55 人,其中体育爱好者 43 人,音乐爱好者 34 人,还有 4 人既不爱好体育也不爱 好音乐,则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人。

三、解答题

1. 设 y ? x2 ? ax ? b, A ? ?x | y ? x? ? ?a?, M ? ?? a, b ??, 求M

2. 已知

A ? {x ? 2 ? x ? 5}



B ? {x m ?1 ? x ? 2m ?1}

, B ? A ,求 m 的取值范围。

3. 集合 A ? ? x | x 2 ? ax ? a 2 ? 19 ? 0? , B ? ? x | x 2 ? 5 x ? 6 ? 0? , C ? ? x | x 2 ? 2 x ? 8 ? 0?
满足 A

B ? ? , , A C ? ? , 求实数 a 的值。

4. 设 U ? R ,集合 A ? ? x | x 2 ? 3 x ? 2 ? 0? , B ? ? x | x 2 ? (m ? 1) x ? m ? 0? ;
若 (CU A) ? B ? ? ,求 m 的值。

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【课后考】
1、有三个实数的集合,既可以表示为{a,a , 1},也可以表示为{ a ,a+b,0},则 a 2、数集 A 满足条件:若 a ? A, a ? 1 ,则
b
2 2009

+b

2009

=____

1 ?A. 1? a

①若 2 ? A ,则在 A 中还有两个元素是什么; ②若 A 为单元集,求出 A 和 a .

3、m,n 为自然数,m>n,集合 A={1,2,3,?,m} B={1,2,3,?,n},满足 B∩C≠¢的 A 的子 集 C 共有 个

4、 (1)P={x|x2-2x-3=0},S={x|ax+2=0},S ? P,求 a 取值?
(2)A={-2≤x≤5} ,B={x|m+1≤x≤2m-1},B ? A,求 m?

5、设全集 U 为 R, A ? x x 2 ? px ? 12 ? 0 ,

?

?

B ? x x 2 ? 5x ? q ? 0 ,若

?

?

(CU A) ? B ? ?2?, A ? (CU B) ? ?4? ,求 A ? B 。
6、 全集 S ? ?1,3, x 3 ? 3 x 2 ? 2 x? , A ? ?1, 2 x ? 1 ? ,如果 C S A ? ?0?, 则这样的
实数 x 是否存在?若存在,求出 x ;若不存在,请说明理由。

7、已知

A ? {x ? 2 ? x ? 5}



B ? {x m ?1 ? x ? 2m ?1}

, B ? A ,求 m 的取值范围。

8、集合 A ? ? x | x 2 ? ax ? a 2 ? 19 ? 0? , B ? ? x | x 2 ? 5 x ? 6 ? 0? , C ? ? x | x 2 ? 2 x ? 8 ? 0?
满足 A

B ? ? , , A C ? ? , 求实数 a 的值。

9、设 U ? R ,集合 A ? ? x | x 2 ? 3 x ? 2 ? 0? , B ? ? x | x 2 ? (m ? 1) x ? m ? 0? ;
若 (CU A) ? B ? ? ,求 m 的值。 10、某班有学生 55 人,其中体育爱好者 43 人,音乐爱好者 34 人,还有 4 人既不爱好体育 也不爱好音乐,则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人。
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