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2015年诸暨市高一数学竞赛模拟试题11


2015 年诸暨市高一数学竞赛模拟试题(11)
(满分:150 分 时间:120 分钟) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A ? ??1,1? , B ? ? x ax ? 1 ? 0? ,若 B ? A ,则实数 a 的所有可能取值的集合为
A. ??1?

B. ?1? C. ??1,1? D. ??1,0,1? ( )

2.设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 A.

S3 1 S ? ,则 6 ? ( ) S6 3 S12
D.

3 10

B.

1 3

C.

1 8

1 9

3.已知 cos(
A. 24 25

?
4

?? ) ?

4 13? , 则 cos( ? 2? ) ? 5 2 7 24 B. C. ? 25 25


D. ? 7 25



4.已 知 数 列 ?an ?? 、 bn ? 都 是 公 差 为 1 的 等 差 数 列 , b1 是 正 整 数 , 若 a1 ? b1 ? 10 , 则

ab1 ? ab2 ? . . . . ? . .a .b9 ?
A.81 B.99 C.108





D.117 ? ? ? 5.已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0,? ? ? ? ) 的最小正周期是 ? ,且当 x ? 时, f ( x) 取 12 2 2 ? ? 得最大值,则 f ( ? x) ? f ( ? x) ? ( ) 3 3 A.-1 B.1 C.0 D.2
6.在?ABC中,AB ? AC, AC边上的中线长为 9,当?ABC的面积最大时, AB的长为(

)

A.9 3

B.9 5

C.6 3

D.6 5

7.已知 f ( x) 是定义在[-4,4]上的奇函数, 当 x>0 时,f ( x) ? ? x 2 ? 4 x ,则不等式 f [ f ( x)] ? f ( x) 的 解集为
A.(?3,0) ? (3,4] C.(?1,0) ? (1,2) ? (2,3)


B.(?4,?3) ? (1,2) ? (2,3) D.(?4,?3) ? (?1,0) ? (1,3)



8.在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,如果 A. a, b, c 依次成等差数列 C. a , b , c 依次成等差数列
2 2 2

1 1 1 , , 依次成等差数列,则 ( tan A tanB tanC

)

B. a , b , c 依次成等比数列 D. a , b , c 依次成等比数列 )
2 2 2

1 9.若不等式 4 x 2 ? loga x ? 0 对任意 x ? (0, ) 恒成立,则实数 a 的取值范围为( 4

A. [

1 ,1) 256
?

B. (

1 ,1) 256

C. (0,
?

1 ) 256

D. (0,
? ?

1 ] 256
? ?
? ?

n * 10.已 知 e 和 f 是 互相 垂直的 单位 向量, an 满 足 : e ? an ? n, f ? an ? 2 , n ? N . 设 ? n 为 an ?1 ? an 和

?

an ? 2 ? an ?1 的夹角,则
A. ? n 随着 n 的增大而增大 C.随着 n 的增大, ? n 先增大后减小

?

?

( B. ? n 随着 n 的增大而减小



D.随着 n 的增大, ? n 先减小后增大

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 8 分,共 56 分。
11.已知 p : x ? 1; q : ( x ? 2)(x ? a) ? 0(a ? 2) .若 a ? 3 ,则 p 是 q 的_____________条件;若 p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件,则 a 的取值范围是_____________.
x ? 4 y ? ?3 表示的平面区域为 M ,若直线 l : y ? k ( x ? 2) 上存在区域 M 内的 12. 设 不 等 式 组 ? ? 3 x ? 5 y ? 25 ? ?x ? 1 ?

点,则 k 的取值范围是______.

?2 x ? t , x ? 0, 13.已知t ? R,函数f ( x) ? ? 为奇函数,则 t ? ____,g ( f (?2)) ? ______ 。 ? g ( x), x ? 0
14.在边长为 1的正?ABC中,点P1 , P2满足 BP . 1 ? P 1P 2 ? P 2C , 则 AB? AP 1 ? AP 1 ? AP 2 ? AP 2 ? AC的值为 _______
? ? ? ? ? ? ? ? ?

15.在平行四边形 ABCD 中, 则平行四边形 ABCD 的面积为________. AB? AC ? AD? AC ? 8, AB? AD ? ?12 ,
2 16.若存在 x0 ? [1,3] ,使得不等式 x0 ? ax 0 ? 4 ? 3 x0 成立,则实数 a 的取值范围是_____________.

?

?

?

?

?

?

17.如图,过点 P(1,1)作直线交 x 轴于点 A( a ,0),交直线 y ? 点 B (b ,

4 x于 3

4 b ) ,若 a ? 0, b ? 0 ,则 OA ? OB 的最小值是____________. 3 三、解答题:本大题共 5 小题,18 题 14 分,19、20 题 15 分,共 44 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算过程.

18.在?ABC 中,角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c,已知 sin A ? sin C ? p sin B( p ? R), 且ac ? 5 (1)当p ? ,b ? 1时,求 a, c的值; (2)若角 B为锐角,求 p的取值范围 . 4

1 2 b . 4

19.已知函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c, g ( x) ? f ( x) ? x . (1)记函数 f ( x) 在区间[1,2]内的最大值为 M,最小值为 m,求 M-m 的最小值与此时对于的 b 的值;(2)若 g (0) ? 0, g (1) ? 0, g ( ) ? 0, 且函数 f ( x) 有两个不同零点,求证: f ( x) 的零点都 在区间(-1,0)内.
1 2

20.在数列 {an } 中, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时,满足 an ? an?1 ? 2an ? an?1 ? 0 . (Ⅰ)求证:数列 { 1 } 是等差数列,并求数列 {an } 的通项公式; an (Ⅱ)令 bn ?
an ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,求使得 2Tn (2n ? 1) ? m(n 2 ? 3) 对所有 n ? N ? 都成立 2n ? 1

的实数 m 的取值范围.


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