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29-第29课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质(II)


第 29 课时 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与性质(II)
一、学习要求 1.能用函数 y=Asin(ωx+φ)描述周期现象. 2.能将一些复杂的三角函数式化归为 y=Asin(ωx+φ)+b 的形式,并由此解决周期、最值、 单调区间等问题. 二、课前预习 1.求下列函数的最小正周期: π 2? (1) y=3cos( -3x),T=_ _; 3 3 ? π (

2) y=2tan( x+ ),T=_2_; 2 3

? (3) y=(1+ 3tanx)cosx,T=_2?_;(4) y=sin(2x- )-2 2sin2x,T=_?_. 4 π 5 ? 2.函数 y=sin(2x- )的单调增区间为_[- +k?, ?+k?],k∈Z_,为了得到它的图象, 3 12 12 π ? 只需把函数 y=sin(2x+ )的图象_向左平移 个单位_. 6 4 π 4 3. 若函数 y=sin(?x+ )+2 (其中?>0)的图象向右平移 ?个单位后与原图象重合, 则?的最 3 3 3 小值为_ _. 2 4 2k? 4 提示 kT= ?,即 = ?,k∈Z. 3 ? 3 4.某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5cm,秒针均匀地绕点 O 旋转,当时间 t=0 时,点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合.将 A,B 两点间的距离 d(cm)表示成 t(s)的函数,则 d ? =_10|sin t|_,其中 t∈_[0,+∞)_. 60 提示 2? 2? 2? ? ?= t,由余弦定理得,d2=25+25-50cos t=50-50cos t=100sin2 t. 60 60 60 60

5.如图,某地一天从 6~14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(ωx+?)+b.这段曲线 ? 3 的函数解析式是_y=10sin( x+ ?)+20,6≤x≤14_. 8 4 【知识与方法】 函数 y=Asin(ωx+φ)的实际应用,注意定义域. 三、典型例题 1 ? 例 1 已知函数 f(x)=cos2(x+ ),g(x)=1+ sin2x. 12 2 (1)设 x=x0 是函数 f(x)图象的一条对称轴,求 g(x0)的值; (2)求函数 h(x)=f(x)+g(x)的单调区间. 1 π 1 π 1 ? 解 (1) f(x)=cos2(x+ )= [1+cos(2x+ )]= cos(2x+ )+ . 12 2 6 2 6 2

π π 由题意,令 2x0+ =k?,解得 2x0=- +k?,k∈Z. 6 6 1 1 π g(x0)=1+ sin2x0=1+ sin(k?- ), 2 2 6 1 π 5 若 k 为奇数,g(x0)=1+ sin(?- )= ; 2 6 4 1 π 3 若 k 为偶数,g(x0)=1+ sin(- )= . 2 6 4 1 π 1 1 (2) h(x)=f(x)+g(x)= cos(2x+ )+ +1+ sin2x 2 6 2 2 1 π 1 3 1 3 3 = cos(2x+ )+ sin2x+ = sin2x+ cos2x+ 2 6 2 2 4 4 2 1 π 3 = sin(2x+ )+ . 2 3 2 π ? 5 ? ? 令- +2k?≤2x+ ≤ +2k?,解得- ?+k?≤x≤ +k?, 2 3 2 12 12 5 ? 所以函数 h(x)的单调增区间为[- ?+k?, +k?],k∈Z; 12 12 7 ? 单调减区间为[ +k?, ?+k?],k∈Z. 12 12 例 2 一半径为 3m 的水轮如图所示,水轮圆心 O 距离水面 2m,已知水轮每分钟转动 4 圈, 如果当水轮上点 P 从水中浮现(图中点 P0)开始计算时间. (1)将点 P 距离水面的高度 z(m)表示为时间 t(s)的函数; (2)点 P 第一次到达最高点大约要多少时间? 解 (1)不妨设水轮沿逆时针方向旋转,以水轮圆心 O 为 原点,水平方向为 x 轴方向,建立平面直角坐标系. π 设角?(- <?<0)是以 Ox 为始边,OP0 为终边的角. 2 4× 2π 2π 由 OP 在 ts 内转过的角为( )t= t, 60 15 2π 由(*)可知以以 Ox 为始边,OP 为终边的角为 t+?. 15 2π 2π 故 P 点的纵坐标为 3sin( t+?),则 z=3sin( t+?)+2. 15 15 2 当 t=0 时,z=0,可得 sin?=- , 3 π 2π 因为- <?<0,所以?≈-0.73,故所求函数关系式为 z=3sin( t-0.73)+2,t≥0. 2 15 2π 2π (2)令 z=3sin( t-0.73)+2=5,得 3sin( t-0.73)=1. 15 15 取 2π π t-0.73= ,解得 t≈5.5, 15 2

即点 P 第一次到达最高点大约要 5.5s. 例 3 如图,在半径为 2、圆心角为 45?的的扇形 AB 弧上任取一点 P,作扇形的内接平行四 边形 PNMQ,使点 Q 在 OA 上,点 M,N 在 OB 上,求这个内接平行四边形面积的最大值 及相应的∠BOP 的值.

解 过 P,Q 分别作 OB 的垂线,垂足为 P',Q'. π 设∠BOP=?,其中 0<?< . 4 因为 OP=2,则 PP'=2sin?=QQ'=OQ',OP'=2cos?. 此时,S=P'Q'× PP' =(2cos?-2sin?)2sin? =4sin?cos?-4sin2? O =2sin2?-2(1-cos2?) π =2 2sin(2?+ )-2. 4 π π π 3 2 π 因为 0<?< ,所以 <2?+ < ?,即 <sin(2?+ )≤1. 4 4 4 4 2 4 π ? π 故当 2?+ = ,即?= 时,Smax=2 2-2. 4 2 8 Q ? M Q'

A

P

N

P' B

第 29 课时 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与性质(II)
π ? 1.函数 f(x)=sin2(2x- )的最小正周期为_ _. 4 2 k π 2.已知函数 f(x)=2cos( x+ )-5 的最小正周期不大于 2,则正整数 k 的最小值为_13_. 4 3 π π π π π 3.已知 f(x)=sin(?x+ ) (其中?>0)满足 f( )=f( ),且 f(x)在区间( , )内有最小值,无最 3 6 3 6 3 14 大值,则?=_ _. 3 T ? ≥ , ? 2 12 π 区间内有一条对称轴方程为 x= ,则? 4 ? ? ? ?4?+3=-2+2k?,k∈Z,

提示

? ??≤12, 10 解得? ??=8k- 3 ,k∈Z. ?
2 π 2 3 4.函数 f(x)=sin( x+ )+sin x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是_ ?_. 3 2 3 2 5.已知函数 f(x)= 3sin?x+cos?x (其中?>0)的图象与直线 y=2 的两个相邻交点的距离等 π 2 于?,则 f(x)的单调减区间为_[ +k?, ?+k?],k∈Z_. 6 3 6.已知函数 f(x)=Acos(?x+?)的图象如图所示, 2 2 ? f( )=- ,则 f(0)=_ _. 2 3 3 11 7 2 提示 T=2( ?- ?)= ?,解得?=3. 12 12 3 7 7 3 3 2 ? ? ? ? 2 当 x= ?时, ?× 3+?= ?,解得?=- .则 f( )=Acos( ?- )=- ,即 Asin = . 12 12 2 4 2 2 4 3 4 3 或解 2 7 ? 2 f(0)=f( ?),而 与 ?关于点 ?对称. 3 2 3 12

7.若某地温度 T 是以天为周期的函数,此函数可用函数 y=Asin(ωx+?)+b 近似表示,当 t =14 时达到最高温度 15oC,当 t=2 时达到最低温度 3oC,则温度 T(oC)和 t 之间的函数关系 π 2 是_ y=6sin( x- ?)+9,x≥0_. 12 3 15+3 π 提示 2A=15-3=12,B= =9,T=24,得?= . 2 12 8.半径为 20cm 的飞轮逆时针匀速旋转,旋转 1 周恰好需要 1 分钟.轮周上一点 1s 内经过 2 的路程为_ ? cm _. 3 9.如图所示,点 P 是半径为 rcm 的砂轮边缘上的一个质点,它从初始位 置 P0 开始(∠xOP0=?),按逆时针方向以角速度 ωrad/s 做圆周运动.则 点 P 的纵坐标 y 关于时间 t 的函数关系为_ y=rsin(ωt+?) ,t≥0_.

? 10.如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=- 对称,那么 a=_-1_. 8 π ? ? 提示 y=sin2x+acos2x= a2+1sin(2x+?),其中 tan?=a.当 x=- 时,- +?= . 8 4 2 ? 11.已知函数 f(x)=Asin(3x+?) (其中 A>0,0<?<?)在 x= 时取得最大值为 4. 12 (1) 求函数 f(x)的最小正周期; (2) 求函数 f(x)的解析式; 2? ? 12 (3) 若 f( + )= ,求 sinα 的值. 3 12 5 2? 解 (1)T= . 3 π ? ? ? (2)由题意,A=4,当 x= 时,3× +?= ,解得?= . 12 12 2 4 ? 所以 f(x)=4sin(3x+ ). 4 2? ? 2? ? π 12 3 ? (3) f( + )=4sin[3× ( + )+ ]=4sin(2?+ )= ,解得 cos2?= . 3 12 3 12 4 2 5 5 1 5 又 cos2?=1-2sin2?,所以 sin2?= ,即 sin?=± . 5 5 ? 12.已知函数 f(x)=sin(?x+?) (其中?>0,|?|< ). 2 π 3 (1)若 cos cos?-sin ?sin?=0,求?的值; 4 4 π (2)在(1)的条件下,若函数 f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离等于 ,求函数 f(x)的 3 解析式;并求最小正实数 m,使得函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数是偶函 数. π 3 π π π 解 (1)因为 cos cos?-sin ?sin?=cos cos?-sin sin?=cos( +?)=0, 4 4 4 4 4 π ? 所以 +?= +k?,k∈Z. 4 2 π ? 又|?|< ,所以?= . 2 4 π 2? π (2)f(x)=sin(?x+ ),由题意,T= =2× ,解得?=3, 4 3 ? π 所以 f(x)=sin(3x+ ). 4 π π f(x)的图象平移后得 g(x)=sin[3(x+m)+ ]=sin(3x+3m+ ). 4 4 π ? ? k 若 g(x)为偶函数,则 3m+ = +k?,解得 m= + ?,k∈Z. 4 2 12 3

又 m>0,所以 mmin=

? . 12

13.如图,ABCD 是一块边长为 100m 的正方形地皮,其中 ATPS 是一半径为 90m 的扇形小 ⌒ 山,P 是TS上一点,其余都是平地,现一开发商想在平地上建造一个有边落在 BC 与 CD 上 的长方形停车场 PQCR,求长方形停车场的最大面积. ? 解 设∠MAP=?,其中 0≤?≤ . 2 D S R C

由题意,AP=90,则 AM=90cos?,PM=90sin?. 故 S=PQ× PR =(100-90cos?)(100-90sin?) =8100sin?cos?-9000(sin?+cos?)+10000 A =4050[(sin?+cos?)2-1]-9000(sin?+cos?)+10000. π π π 3 ? 令 t=sin?+cos?= 2sin(?+ ),因为 0≤?≤ ,所以 ≤?+ ≤ ?, 4 2 4 4 4 即 1≤t≤ 2. 此时,S=4050t2-9000t+5950. 9000 10 因为对称轴 t= = ∈[1, 2], 8100 9 π 所以当 t= 2,即?= 时,Smax=14050-9000 2 (m2). 4

P MT

Q B


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