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2009届揭阳市华侨中学高三数学月考试题及答案(文科)(1)


2008~2009 学年高三第一次月考

数 学 试 题(文)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分. 本试题满分共 150 分.考试时间 120 分钟.

第 I 卷(60 分)
一、选择题(5 × 12=60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的, , 请将正确选项填在答卷纸的相应位置上。 ) 1.已知 f ( x) = x 2 + x 1 ,集合 M = {x | x = f ( x )}, N = { y | y = f ( x )} ,则 A.M=N B.M=R C.M∩N=φ D.M∪N=N

2.下列各组函数中表示同一函数的是( ) A. f ( x ) = x 与 g ( x) = ( x ) 2 B. f ( x) = x | x | 与 g ( x ) =

x 2 ( x > 0) x 2 ( x < 0)

C. f ( x ) =| x | 与 g ( x ) =

3

x

3

x2 1 D. f ( x ) = 与 g (t ) = t + 1(t ≠ 1) x 1

3. lg x, lg y , lg z 成等差数列是 x, y , z 成等比数列的 A.充分不必要条件 C.充要条件
x

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

1 4.已知函数 f ( x ) = ,其反函数为 g (x ) ,则 g ( x 2 ) 是 2
A.偶函数,在区间 (∞,0) 上单调递增 B.奇函数,在区间 (∞,0) 上单调递减 C.奇函数,在区间 (0,+∞) 上单调递减 D.偶函数,在区间 (0,+∞) 上单调递增 5.已知等腰 △ ABC 的腰为底的 2 倍,则顶角 A 的正切值是 A.

3 2

B. 3

C.

15 8

D.

15 7

6.已知 a ∈ R ,函数 f ( x) = sin x | a |, x ∈ R 为奇函数,则 a 等于
三校联考数学试题(文) 第 1 页 (共 7 页) 1

A.0

B.1
n

C.-1

D.±1

7.设集合 M = {m | m = 7 n + 2 , n ∈ N *, 且m < 200} ,则 M 中所有元素的和为 A.273 B.275 C.450 D.762

8.设等差数列 {a n } 的公差为 2,前 n 项的和为 Sn ,则下列结论中正确的是 A. S n = nan 2n( n 1) C. S n = nan + n( n 1) 9.已知 ω > 0 ,若函数 f ( x ) = 4 sin 是 A. (0, ) B. S n = nan + 2n( n 1) D. S n = nan n( n 1)

ωx
2

cos

ωx
2

在 [

π π

, ] 上单调递增,则 ω 的取值范围 4 3
D. [2, +∞)

2 3

B. (0, ]

3 2

C. (0, 2]

10.设 a = sin 13° + cos 13° , b = sin 17° + cos 17° , c = sin 15° + cos15° ,则 a, b, c 的大小 关系是 A. a < b < c B. a < c < b C. b < c < a
'

D b<a<c

11.设 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数当 x < 0 时, f ( x ) > 0 且 f ( 2) = 0 ,则不等式

x f ( x) > 0 的解集是
A.(-2,0)∪(0,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) 12.化简 2 1 sin 8 + A. 2 sin 4 4 cos 4 C. 2 sin 4 B.(-2,0)∪(0,2) D.(-∞,-2)∪(0,2)

2 + 2 cos 8 等于
B. 2 sin 4 4 cos 4 D. 4 cos 4 2 sin 4

第Ⅱ卷(90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 ) 13.已知 α ∈ (

π

3 π , π ), sin α = , 则 tan(α + ) 等于 2 5 4

14.已知角 α 终边上一点 A(2 sin 3, 2 cos 3) ,则角 α 的弧度数为______

三校联考数学试题(文)

第 2 页 (共 7 页)

2

15.在数列 {an } 和 {bn } 中, bn 是 an和 an +1 的等差中项, a1 = 2 且对于任意 n ∈ N * 都有

3an +1 an = 0 ,则 {bn } 的通项 bn = _______
16.三角形 ABC 的三个内角 A、B、C 的对边的长分别为 a、b、c,有下列两个条件: (Ⅰ)a、b、c 成等差数列; (Ⅱ)a、b、c 成等比数列,现给出三个结论: , ①0 < B ≤

π
3



② a cos

2

C A 3b + c cos 2 = ; 2 2 2

③1 <

1 + sin 2 B ≤ 2. cos B + sin B

请你选取给定的两个条件中的一个条件为条件,三个结论中的两个为结论,组建一个你 (填上恰当的序号) 认为正确的命题_________ ..... 三、解答题(本大题 6 小题共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。) 17. (本小题满分 12 分) 已知四个正数,前三个数成等差数列,其和为 48,后三个数成等比数列,其最后一个数 为函数 y = 21 4 x x 2 的最大值,求这四个数.

18. (本小题满分 12 分) 求值: (1)sin690°sin150°+cos930°cos(-870°)+tan120°tan1050°. cos10° (2)(cot80° 3 ) sin50°

19. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) = 5 x 的反函数满足条件: f
1

(10) = a + 1

若 log 2 ( 2 x 1) + log 2 ( 2 x +1 2) ≤ 5 ;求函数 g ( x ) = 5 ax 4 x 的值域.

三校联考数学试题(文)

第 3 页 (共 7 页)

3

20. (本小题满分 12 分)已知 f ( x ) = 4 cos 2 x + 4 3a sin x cos x ,将 f (x) 图象按向量 对称. 12 (1)求实数 a 的值,并求 f (x) 取得最大值时 x 的集合; (2)求 f (x) 的单调区间.

b = (

π

4

,2) 平移后,图象关于直线 x =

π

21.(本题满分 12 分)在等差数列 {a n } 中,首项 a1 = 1 ,数列 {bn } 满足

1 1 bn = ( ) an , 且b1b2 b3 = . 2 64
(1)求数列 {a n } 的通项公式; (1) 求和: a1b1 + a 2 b2 + + a n bn .

22.(本题满分 14 分)设函数 f ( x) = x 3 + 2 x 2 + x 4, g ( x) = ax 2 + x 8 (1)求函数 f (x ) 极值; (2)当 x ∈ [0,+∞)时, 不等式f ( x) ≥ g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

三校联考数学试题(文)

第 4 页 (共 7 页)

4

2008~2009 学年高三第一次月考

数学试题答案(文)
一、选择题(本题每小题 5 分,共 60 分)
题号 答案 1 D 2 D 3 A 4 A 5 D 6 A 7 C 8 D 9 D 10 B 11 D 12 A

二、填空题(本题每小题 4 分,共 16 分) 1 π 4 13. 14. 3 15. n 16. (Ⅰ) ①②; (Ⅰ) ①③; 7 2 3 (Ⅱ) ①③ (答对其中一个即可) (Ⅰ) ②③; 三、解答题: (本题 6 小题,共 74 分)
17.解:设前三个数为 a d , a, a + d ,其和为 48, 即 a d + a + a + d = 48 ∴ a = 16 4分

又 y = 21 4 x x 2 = ( x + 2) 2 + 25 其最大值 y max = 25 ,即最后一个正数为 25 又后三个数成等比数列,所以 (16 + d ) 2 = 16 × 25 ∴ d = 4或d = 36 (舍去),故这四个正数分别为 12,16,20,25。 12 分 3 18.(12 分) (1)sin690°sin150°+cos930°cos(-870°)+tan120°tan1050°= ………5分 2 cos10° 解:(cot80°- 3) sin50° cos10° =(tan10°-tan60°) ………7 分 sin50° sin10° sin60° cos10° =( ) ………9 分 cos10° cos60° sin50° sin(-50°) cos10° = ………11 分 cos10°cos60° sin50° =-2 …………12′ 19.解:∵ f ( a + 1) = 10 , 5
a +1

8分

= 10, a + 1 = log 5 2 + 1 5a+1=10,∴ a = log 5 2

……4 分

5 a = 2 ; log 2 (2 x 1) + log 2 (2 x +1 2) ≤ 5 , log 2 (2 x 1) (2 x +1 2) ≤ log 2 32 ,

三校联考数学试题(文)

第 5 页 (共 7 页)

5

∴ 1 < 2 ≤ 5 ………8 分
x

∴ g ( x) = 5

ax

1 1 4 x = 2 x (2 x ) 2 = (2 x ) 2 + ∈ [20,0] ………12 分 2 4
π
4 ,2) )平移后为
2分

20...解: (1)函数 f ( x) = 2 3a sin 2 x 2 cos 2 x 2 按 b = (
g ( x) = f ( x +

π
4

) + 2 = 2 3a cos 2 x + 2 sin 2 x .

∵ g (x) 图象关于 x =

对称,∴ g (0) = g ( ) , 12 6 则 2 3a = 3a + 3 , ∴ a = 1 , ∴ f ( x) = 4 sin( 2 x

π

π

5分 6分

π

6

)2.

π ,即 x ∈ x | x = kπ + , k ∈ Z . 8分 3 π π π π π (2)当 2kπ ≤ 2 x ≤ 2kπ + ,即 kπ ≤ x ≤ kπ + , k ∈ Z 时, f (x) 递增. 2 6 2 6 3 π π π 3π 5π 当 2kπ + ≤ 2 x ≤ 2kπ + 即 kπ + ≤ x ≤ kπ + , k ∈ Z 时, f (x) )递减. 2 6 2 3 6
当 f ( x) max = 2 时, 2 x
6 = 2kπ + 2

π

π

∴函数 f ( x ) 的单调递增区间为 [ kπ

π

[kπ +

π
3

, kπ +

5π ] (k ∈ Z ) 6

6

, kπ +

π

3

] ,单调递减区间为
12 分

21.解: (1)设等差数列 {a n } 的公差为 d, ∵ a1 = 1, bn = ( ) n ,
a

1 2

1 1 1 1 ∴ a1 = 1, bn = ( ) an ,∴ b1 = , b2 = ( )1+ d , b3 = ( )1+ 2 d . 2 2 2 2 1 由 b1b2 b3 = ,解得 d=1. 64 ∴ a n = 1 + (n 1) 1 = n.
(2)由(1)得 bn = ( ) .
n

6分

1 2

设 Tn = a1b1 + a 2 b2 + + a n bn = 1

1 1 1 1 + 2 ( ) 2 + 3 ( )3 + + n ( ) n , 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 4 1 n +1 则 Tn = 1 ( ) + 2 ( ) + 3 ( ) + + n ( ) . 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 3 1 n 1 n +1 两式相减得 Tn = + ( ) + ( ) + + ( ) n ( ) . 2 2 2 2 2 2
三校联考数学试题(文) 第 6 页 (共 7 页) 6

1 1 [1 ( ) n ] 1 1 n 2 ∴ Tn = 2 2 2n ( ) n +1 = 2 n 1 n 1 2 2 2 1 2
22. (1)∵f(x)=x3+2x2+x—4

12 分

∴ f ′(x ) =3x2+4x+1,………………………………………………2 分 令 f ′(x ) =0,得 x1= —1,x2= —

1 . 3 1 ) 3


x

(-∞,-1) +

-1 0 极大 f 极小=f(—

(-1,- —

1 3

(-

1 ,+∞) 3
+

f ′( x) f ( x)

0 极小

∴f 极大=f(—1)=—4.

1 112 )= …………………………6 分 3 27

(2)设 F(x)=f(x)—g(x)=x3+(2—a)x2+4

∵ F ( x) ≥ 0在[0,+∞)上恒成立, ∴ F ( x) min ≥ 0在x ∈ [0,+∞)上恒成立 若2 a ≥ 0显然F ( x) min = 4 > 0 …………………………………8分 若2 a < 0 ∴ F ′( x) = 3 x 2 + 2(2 a) x
2a 4 3

令F ′( x) = 0解得x1 = 0, x 2 = 当0 < x <

2a 4 时, F ′( x) < 0 3 2a 4 当x > 时, F ′( x) > 0 3 ∴当x ∈ [0,+∞)时F ( x) min = F ( 2a 4 ) ≥ 0即可 3 2a 4 3 2a 4 2 即: ( ) ( a 2) ( ) +4≥0 3 3
∴ 2<a ≤ 5 … … … 10 分 , 当 x=0 时 , F(x)=4 ∴ a 的 范 围 为

解得 a≤5

(∞,5] …………14分
三校联考数学试题(文) 第 7 页 (共 7 页) 7



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