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二项式定理


二项式定理

1. 二项式定理 (a+b) =C na +Cn a
n
0

n

1

n -1

n -k k n * b1 +?+Ck b +?+Cn na n b (n∈N ).

这个公式所表示的定理叫做二项式定理, 右边的多项式叫

做(a+b)n 的二项展开式, 其中 的系数 C n(k=0,1,2,?,n)叫做二项式系数.式中的 C na 用 Tk +1 表示,即展开式的第 k+1 项;Tk +1 =Cknan -k bk . 2. 二项展开式形式上的特点 (1)项数为 n+1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n,即 a 与 b 的指数的和为 n. (3)字母 a 按降幂排列,从第一项开始,次数由 n 逐项减 1 直到零;字母 b 按升幂排列, 从第一项起,次数由零逐项增 1 直到 n.
n -1 (4)二项式的系数从 C0n,C1 ,Cn n ,一直到 Cn n. k k n -k

bk 叫做二项展开式的通项,

3. 二项式系数的性质 (1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即 C n=Cn . (2)增减性与最大值:二项式系数 C n,当 k< 二项式系数是递减的. 当 n 是偶数时,中间的一项 C n 取得最大值. 2 当 n 是奇数时,中间两项 C (3)各二项式系数的和 (a+b) 的展开式的各个二项式系数的和等于 2 ,即 Cn +Cn +C n+?+Cn +?+Cn =2 .
5 二项展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即 C 1n+C3 n +Cn 2 4 n -1 +?=C0 . n +C n+Cn +?=2

m

n -m

k

n+1
2

时,二项式系数是递增的;当 k>

n+1
2

时,

n

n-1
2
n

和C

n+1
2
n

相等,且同时取得最大值.

n

n

0

1

2

k

n

n

[难点正本 疑点清源] 1. 二项式的项数与项 (1)二项式的展开式共有 n+1 项,Cn a
k n -k n -k k bk 是第 k+1 项.即 k+1 是项数,Ck b 是项. na

n -k k (2)通项是 Tk +1 =Ck b (k=0,1,2,?,n).其中含有 Tk +1 ,a,b,n,k 五个元素,只 na

要知道其中四个即可求第五个元素. 2. 二项式系数与展开式项的系数的异同
n -k k 在 Tk +1 =Ck b 中,Ck na n 就是该项的二项式系数,它与 a,b 的值无关;而 Tk +1 项的系数是

指化简后字母外的数.

1

3. 二项式定理的应用 (1)通项的应用:利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等. (2)展开式的应用:利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式;②可证明不等式;③ 可证明整除问题;④可做近似计算等.

2 1. (2011·广东)x?x- ?7 的展开式中,x4 的系数是______.(用数字作答)

?

x?

2. (2012·陕西)(a+x)5 展开式中 x2 的系数为 10,则实数 a 的值为________. 3. (2012·安徽)(x +2) A.-3
2

? 1 -1? 5 的展开式的常数项是 ?x2 ?
B.-2 C.2 D.3

(

)

1 4. 若?3x- ?n 展开式中各项系数之和为 32,则该展开式中含 x3 的项的系数为

? ? ?

x?

(

)

A.-5 5. 若 x- A. 1 32 1 64

B.5

C.-405

D.405 )

1?n 的展开式中第 3 项的二项式系数是 15,则展开式中所有项系数之和为( 2? B. D. 1 64 1 128

C.-

题型一 例1

求二项展开式的指定项或指定项系数

?3 1 ? ? ? n 的展开式中,第 6 项为常数项. x - 已知在 ? 3 ? ? 2 x?
(1)求 n; (2)求含 x2 的项的系数; (3)求展开式中所有的有理项.

2

? (1)(2012·重庆)? x+ ?
( A. 35 16 ) B. 35 8 2?6

2 x?

1 ?8

? 的展开式中常数项为

C.

35 4

D.105

(2)(2012·上海)在 x-

? ?

x?

的二项展开式中,常数项等于________.

题型二 例2

求最大系数或系数最大的项 已知( 3

x2+3x2 )n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992.

(1)求该展开式中的二项式系数最大的项; (2)求该展开式中的系数最大的项.

已知 f(x)=(1+x)m +(1+2x)n (m,n∈N* )的展开式中 x 的系数为 11. (1)求 x2 的系数取最小值时 n 的值; (2)当 x2 的系数取得最小值时,求 f(x)展开式中 x 的奇次幂项的系数之和.

题型三 例3

二项式定理的应用 (1)已知 2n +2 ·3n +5n-a 能被 25 整除,求正整数 a 的最小值;

(2)求 1.028 的近似值.(精确到小数点后三位)

3

求证:(1)3

2 n +2

-8n-9 能被 64 整除(n∈N );

*

(2)3n >(n+2)·2n -1 (n∈N* ,n>2).

混淆二项展开式的系数与二项式系数致误 3 典例:(12 分)已知( x+x2 )2 n 的展开式的二项式系数和比(3x-1)n 的展开式的二项式系数和 1 大 992.求在?2x- ?2 n 的展开式中,

?

x?

(1)二项式系数最大的项; (2)系数的绝对值最大的项.

方法与技巧
n -k k 1. 二项展开式的通项 Tk +1 =Ck b 是展开式的第 k+1 项, 这是解决二项式定理有关问题的 na

基础. 2. 求指定项或指定项的系数要根据通项公式讨论对 k 的限制.
-k 3. 性质 1 是组合数公式 Ckn=Cn 的再现,性质 2 是从函数的角度研究二项式系数的单调性, n

性质 3 是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和. 4. 因为二项式定理中的字母可取任意数或式,所以在解题时根据题意,给字母赋值,是求 解二项展开式各项系数和的一种重要方法. 5. 二项式定理的应用主要是对二项展开式正用、逆用,要充分利用二项展开式的特点和式 子间的联系.

4

1. 答案

84 解析

2 2 7 -r x ?x- ?7 的展开式的通项是 Tr +1 =xCr ·?- ?r =Cr7(-2)r x8 -2 r .令 8- 7x ? x? ? x?

2r=4,得 r=2,故 x4 的系数是 C2 7 ·4=84. 2. (2012·陕西)(a+x) 展开式中 x 的系数为 10,则实数 a 的值为________. 答案 解析 1 (a+x) 的展开式的通项公式为 Tr +1 =C5a
5 5 2

r

5 -r

xr .

当 r=2 时,由题意知 C25a3 =10,∴a3 =1,∴a=1. 3. (2012·安徽)(x +2) A.-3 答案 解析 D 1 二项式? 2 -1?5 展开式的通项为:
2

? 1 -1? 5 的展开式的常数项是 ?x2 ?
B.-2 C.2 D.3

(

)

?x

?

Tr +1 =Cr5? 2 ?5 -r ·(-1)r =Cr5·x2 r -10 ·(-1)r . ?x ?
1 当 2r-10=-2,即 r=4 时,有 x ·C5x ·(-1) =C5 ×(-1) =5;
0 5 当 2r-10=0,即 r=5 时,有 2·C5 5 x ·(-1) =-2. 2 4 -2 4 4 4

∴展开式中的常数项为 5-2=3,故选 D. 1 4. 若?3x- ?n 展开式中各项系数之和为 32,则该展开式中含 x3 的项的系数为

?

x?

(

)

A.-5 答案 解析 C

B.5

C.-405

D.405

根据已知,令 x=1,得 2n =32,即 n=5.

1 5 -r 二项展开式的通项公式是 Tr +1 =Cr ·?- ?r =(-1)r 35 -r Cr5x5 -2 r , 令 5-2r=3, r=1, 5 (3x)

? x?

此时的系数是-34 ×5=-405. 1 5. 若?x- ?n 的展开式中第 3 项的二项式系数是 15,则展开式中所有项系数之和为( ? 2? A. 1 32 1 64 B 由题意知 C n=
2

)

B. D.

1 64 1 128

C.- 答案 解析

n n-
2

=15,所以 n=6,故 x-

? ?

1?n ? 1?6 = x- ,令 x=1 得所有 2? ? 2?
5

项系数之和为

?1?6 = 1 . ?2? 64

题型一 例1

求二项展开式的指定项或指定项系数

?3 1 ? ? ? n 的展开式中,第 6 项为常数项. x - 已知在 ? 3 ? ? 2 x?
(1)求 n; (2)求含 x 的项的系数; (3)求展开式中所有的有理项. 思维启迪:先根据第 6 项为常数项利用通项公式求出 n,然后再求指定项. 解 (1)通项公式为
2

Tk +1 =Cknx

n-k? 1?k

k k ? 1?k n-2k - x- =Cn - x . 3 ? 2? 3 ? 2? 3

因为第 6 项为常数项, 所以 k=5 时, (2)令

n-2×5
3

=0,即 n=10.

10-2k =2,得 k=2, 3

1 45 故含 x2 的项的系数是 C210?- ?2 = . ? 2? 4 10-2k ? ? 3 ∈Z (3)根据通项公式,由题意? 0≤k≤10 ? ?k∈N 令



10-2k 3 =r (r∈Z),则 10-2k=3r,k=5- r, 3 2

∵k∈N ,∴r 应为偶数. ∴r 可取 2,0,-2,即 k 可取 2,5,8, ∴第 3 项,第 6 项与第 9 项为有理项, 1 ? 1?5 ,C810?-1?8 x-2 . 它们分别为 C210?- ?2 x2 ,C5 10 - ? 2? ? 2? ? 2? 探究提高 求二项展开式中的特定项,一般是利用通项公式进行,化简通项公式后,令

字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数

k+1,代回通项公式即可.
6

? (1)(2012·重庆)? x+ ?
( A. 35 16 ) B. 35 8 2?6

2 x?

1 ?8

? 的展开式中常数项为

C.

35 4

D.105

(2)(2012·上海)在 x- 答案 解析 (1)B (2)-160
r

? ?

x?

的二项展开式中,常数项等于________.

(1)Tr +1 =C 8( x)

8 -r

r r 1 4 -r ? 1 ?r 1 r ? ? = r C8 x4- - = r Cr .令 4-r=0,则 r=4, 8x 2 2 2 ?2 x? 2

1 1 35 ∴常数项为 T5 = 4 C4 ×70= . 8= 2 16 8 (2)方法一
3

利用计数原理及排列、组合知识求解.
3

常数项为 C 6x - 方法二

? 2?3 =20x3 ?- 8 ?=-160. ? x? ? x3 ?

利用二项展开式的通项求解.

2 Tr +1 =Cr6x6 -r?- ?r =(-2)r Cr6x6 -2 r , ? x? 令 6-2r=0,得 r=3. 所以常数项为 T4 =(-2)3 C3 6 =-160. 题型二 例2 求最大系数或系数最大的项 已知( 3

x2+3x2 )n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992.

(1)求该展开式中的二项式系数最大的项; (2)求该展开式中的系数最大的项. 思维启迪:可先根据条件列方程求 n,然后根据二项式系数的性质及系数的大小关系求 二项式系数最大的项、系数最大的项. 解
1 2 令 x=1,得各项的系数之和为(1+3)n =4n ,而二项式系数之和为 C0 n +Cn +C n+?+

n n n n n Cn n =2 .根据题意,4 =2 +992,得 2 =32 或 2 =-31(舍去),所以 n=5.

(1)二项式系数最大的项为第 3 项和第 4 项,

T3 =C25( x2 )3 (3x2 )2 =90x6 , T4 =C35( x2 )2 (3x2 )3 =270x .
r ?C5 ·3r ≥C5r +1·3r +1 , ? (2)设第 r+1 项系数最大,则? r r r -1 r -1 ?C5 ·3 ≥C5 ·3 , ?

3 3

22 3

7

1 3 ? ≥ ?5-r r+1, 即? 3 1 ≥ ? ?r 6-r,

7 9 解得 ≤r≤ . 2 2

26 又 r∈N ,得 r=4,所以系数最大的项为 T5 =405x . 3 探究提高 展开式的系数和与展开式的二项式系数和是不同的概念,二项式系数最大的

项与系数最大的项也是不同的概念, 解题时要注意辨别. 第(2)小题解不等式时可将组合 数展开为阶乘形式. 已知 f(x)=(1+x)m +(1+2x)n (m,n∈N* )的展开式中 x 的系数为 11. (1)求 x2 的系数取最小值时 n 的值; (2)当 x 的系数取得最小值时,求 f(x)展开式中 x 的奇次幂项的系数之和. 解 (1)由已知 C1m+2C1 n =11,∴m+2n=11,
2

2 2 x2 的系数为 C2 m +2 Cn =

m m-
2

+2n(n-1)



m2 -m
2
*

+(11-m)

?11-m-1?=?m-21?2 +351. ? 2 ? ? 4 ? 16

∵m∈N , ∴m=5 时,x2 的系数取得最小值 22,此时 n=3. (2)由(1)知,当 x2 的系数取得最小值时,m=5,n=3, ∴f(x)=(1+x)5 +(1+2x)3 . 设这时 f(x)的展开式为

f(x)=a0 +a1 x+a2 x2 +?+a5 x5 ,
令 x=1,a0 +a1 +a2 +a3 +a4 +a5 =25 +33 , 令 x=-1,a0 -a1 +a2 -a3 +a4 -a5 =-1, 两式相减得 2(a1 +a3 +a5 )=60, 故展开式中 x 的奇次幂项的系数之和为 30. 题型三 例3 二项式定理的应用 (1)已知 2
8

n +2

·3 +5n-a 能被 25 整除,求正整数 a 的最小值;

n

(2)求 1.02 的近似值.(精确到小数点后三位) 思维启迪:(1)将已知式子按二项式定理展开,注意转化时和 25 的联系;(2)近似值计算 只要看展开式中的项的大小即可. 解 (1)原式=4·6 +5n-a=4(5+1) +5n-a
n n

n 1 n -1 -1 =4(C0 +?+Cnn-2 52 +Cn 5+Cnn)+5n-a n 5 +Cn 5 n n 1 n -1 =4(C0 +?+Cnn-2 52 )+25n+4-a, n 5 +Cn 5

8

显然正整数 a 的最小值为 4. (2)1.02 =(1+0.02) ≈C8 +C8 ·0.02+C 8·0.02 +C8 ·0.02 ≈1.172. 探究提高 (1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题, 整除问题中要
8 8 0 1 2 2 3 3

关注展开式的最后几项,而求近似值则应关注展开式的前几项. (2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理,注意选择合适的形式. 求证:(1)3 (2)3 >(n+2)·2 证明
n n -1
2 n +2

-8n-9 能被 64 整除(n∈N );

*

(n∈N ,n>2).

*

(1)∵32 n +2 -8n-9=32 ·32n -8n-9

=9·9n -8n-9=9(8+1)n -8n-9 =9(Cn 8 +Cn 8
0

n

1

n -1

+?+Cn ·8+Cn ·1)-8n-9

n -1

n

-2 2 =9(8n +C1n8n -1 +?+Cn 8 )+9·8n+9-8n-9 n

n -3 =9×82 (8n -2 +C1 +?+Cnn-2 )+64n n ·8

=64[9(8

n -2

+C n8

1

n -3

+?+Cn )+n],

n -2

显然括号内是正整数,∴原式能被 64 整除. (2)因为 n∈N* ,且 n>2,所以 3n =(2+1)n 展开后至少有 4 项. (2+1) =2 +Cn ·2
1

n

n

1

n -1

+?+C n ·2+1≥2 +n·2

n -1

n

n -1

+2n+1>2 +n·2

n

n -1

=(n+2)·2

n-

, 故 3n >(n+2)·2n -1 (n∈N* ,n>2).

混淆二项展开式的系数与二项式系数致误

3 典例:(12 分)已知( x+x2 )2 n 的展开式的二项式系数和比(3x-1)n 的展开式的二项式系数和 1 大 992.求在?2x- ?2 n 的展开式中,

?

x?

(1)二项式系数最大的项; (2)系数的绝对值最大的项. 易错分析 本题易将二项式系数和系数混淆,利用赋值来求二项式系数的和导致错误;

另外,也要注意项与项的系数,系数的绝对值与系数的区别. 规范解答 解 由题意知,22 n -2n =992,

即(2n -32)(2n +31)=0,∴2n =32,解得 n=5.[2 分] (1)由二项式系数的性质知,

?2x-1?10 的展开式中第 6 项的二项式系数最大, ? x?
9

即 C510=252.∴二项式系数最大的项为 1 T6 =C510(2x)5?- ?5 =-8 064.[6 分] ? x? (2)设第 r+1 项的系数的绝对值最大, ∴Tr +1 =C 10·(2x)
r
10 -r

·-

? 1?r ? x?

=(-1)r Cr10·210 -r ·x10 -2 r ,
r 10 -r -1 ? ≥Cr10 ·210 -r +1 ?C10 ·2 ∴? r 10 -r +1 10 -r -1 ?C10·2 ≥Cr ? 10 ·2 r r -1 ? ?C10 ≥2C10 ? 得 r r +1 ?2C10 ≥C10 ?



,即?
? ?

? ?11-r≥2r

r+

-r



8 11 解得 ≤r≤ ,[10 分] 3 3 ∵r∈Z ,∴r=3.故系数的绝对值最大的项是第 4 项,

T4 =-C310·27 ·x4 =-15 360x4 .[12 分]
温馨提醒 (1)本题重点考查了二项式的通项公式, 二项式系数、 项的系数以及项数和项

的有关概念. (2)解题时要注意区别二项式系数和项的系数的不同;项数和项的不同. (3)本题的易错点是混淆项与项数,二项式系数和项的系数的区别.

方法与技巧
n -k k 1. 二项展开式的通项 Tk +1 =Ck b 是展开式的第 k+1 项, 这是解决二项式定理有关问题的 na

基础. 2. 求指定项或指定项的系数要根据通项公式讨论对 k 的限制.
-k 3. 性质 1 是组合数公式 Ckn=Cn 的再现,性质 2 是从函数的角度研究二项式系数的单调性, n

性质 3 是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和. 4. 因为二项式定理中的字母可取任意数或式,所以在解题时根据题意,给字母赋值,是求 解二项展开式各项系数和的一种重要方法. 5. 二项式定理的应用主要是对二项展开式正用、逆用,要充分利用二项展开式的特点和式 子间的联系. 失误与防范 1.要把“二项式系数的和”与“各项系数和”, “奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和” 严格地区别开来.
10

2. 求通项公式时常用到根式与幂指数的互化,易出错.

11


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