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2005年北京市中学生数学竞赛(高一)


中等数学

2005年北京市中学生数学竞赛(高一)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.如果S={1,2,3,4,5},M={l,3,4},

一的茗:∈[口,6],使得丛兰二#墅生:c,则
称函数.厂(石)在[o,6]上的“均值”为C.那么, 函数f(菇)=lg戈在[10,100]上的均值为

). (A)10

N={2,4,5},那么,(C。肘)n(C。Ⅳ)等于
( ). (A)f2j(B){l,3}

(C){4}

(D){2,5}

2.已知a、b都是整数.命题甲:Ⅱ+b不 是偶数,则口、6都不是偶数;命题乙:口+b 不是偶数,则a、b不都是偶数.则( (A)甲真,乙假 (c)甲真,乙真
). (B)甲假,乙真

(B)南

(c)吾
).

(D);

5.在三角形中,三条边长成等差数列是
三边的比为3:4:5的(

(D)甲假,乙假

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (c)充分必要条件 (D)既不充分也不必要的条件 二、填空题(每小题7分,共35分) 1.在平面直角坐标系中,横、纵坐标都是 整数的点称为整点,如(一1,7)就是一个整

3.若c、d是不共线的两个非零平面向 量,则下面给出的四组a、b中,不共线的一
组是( ). (A)口=一2(c+d),b=2(c+d) (B)口=c—d,b=一2c+2d
,’ 1

(c)口=4c一号d,b=c一亩d
(D)口=c+d,b=2c一2d

点.若直线z过点A(虿1,了1)和曰(百1,了1),则
在z上与点A距离最近的整点是——.
2.在△ABC中,船=√6+√2,么ACB=
另一方面,式②右边的不等式等价于
u一2“2≥3".

4.对定义在区间[a,b]上的函数f(z), 若存在常数c,对于任意的戈,∈[口,6]有唯
六、设口=c,Ja,b=c膏卢,c=c瑟y,则
0≤口、b、c≤1。且o+b+c=1.

从而,原不等式等价于
0≤11.4+64+c4—2(02+b2+c2)+l
≤n6+6c+ca+abe.

因11,~2扩=u(1—2u) ?=(n6+6c+c口)(口2+62+c2) ①

令曲+k+Ca=11,,abc=口,则
口2+b2+C2=1—2“. 口4+b4+C4=2u2—4u+4口+1.

≥(n6+be+∞).鱼掣
≥喜×3,丽.3,蕊


=_1r(ab+6c+∞)(口+b+c)

于是,式①等价于
0咤<2U2+4"≤“+凹.



=3abe=3v.

因为//,≥0,”≥0,所以,式②的左边显然成立,

所以,式②右边成立,即式②成立. 从而,式①成立.

且仅当“=”=0,即a、p、y中两个取罢、--'i'IR
时等号成立.



故原不等式成立.
(刘康宁提供)

万方数据  

2006年第1期

30。.则AC+BC的最大值是——.
3.2

(1)当P是质数时,PId;
(2)当P=15时,d>30
000.

005个实数菇l,茗2,…,菇2嘶满足

I菇I一茗2 I+I髫2一省3 I+…+
z2

004一石2 005

I+I石2 005一戈l l=1.

参考答案
一、1.A. 易知C。肘={2,5},C。N={l,3},所以, (C。肘)n(C。N)=f2j.
2.B.

则I菇l

I+I

x2

I+…+I"920晒I的最小值等

于——.

以z)=一{sirI髫,cos x,塑詈)
的最大值与最小值的和等于——.
5.把单位正方体的六个面分别染上6种 颜色,并画上个数不同的金鸡,各面的颜色与 金鸡的个数对应如表1:
表1

4.已知名∈R.则函数

口、b都是整数,Ⅱ+b不是偶数,则n+b是奇 数,口、b必一奇一偶.所以,“8、b都不是偶数”的结 论不真;“a、b不都是偶数”的结论为真.
3.D.

由a=一2(c+d)=一b,知a、b共线,排除选 项(A);



面上所染颜色
















绿


口=c—d:一{(一2c+2d):一.寻西,知口、b
共线,排除选项(B);

I该面上的金鸡个数
个如图1所示的
水平放置的长方

取同样的4个上述的单位正方体拼成一

口=4c一号d=4(c一击d)=4b,知口、6共线,
排除选项(C). 事实上,c、d是不共线的两个平面向量.则a=

体.则这个长方 体的下底面总计
图1

c+d是非零向量.若a、b共线,则存在唯一的实数
.=I,使得a=2b,故

共画有——个金鸡.

c+d=A(2c一2d)铮(1—22)c=一(2A+1)d.
当1—22=0时,d为零向量,与已知不符.当
1-2),≠0

数八戈)=僦2+bx+c满足厂(半)=
的根. 明:

三、(10分)已知口、b、C是实数,二次函

EI,-j",c=嚣暑d,这表明c、d是共线的两

个非零平面向量,仍与已知不符.所以,a、b不共线.
4.C.

0.求证:一1与1中至少有一个是f(戈)=0 四、(15分)圆内接凸四边形ABCD的面 积记为S,AB=o,BC=b,CD=C,DA=d.证

设对于任意的茗。∈[10,100],有唯一的z:∈ [10,100],使得茗。x:=103.从而,

八x1)+八戈2)lg戈l+lg石2 —
2 lg
zl石2

2 lg l∥ 3

其中P:型尘掣;
证:

(1)S= ̄/(P—o)(p—b)(P—c)(P—d),

一一一芝一一———j厂一一芝‘
5.B.

三角形的三条边长为4、5、6戚等差数列,其比
不等于3:4:5;反过来,一个三角形三边的比为3:4: 5,设三边长为3矗、4七、5k(k>O),则成公差为后的等 差数列.所以,在三角形中,三条边长成等差数列是 三边的比为3:4:5的必要而不充分条件. 二、1.(一2,一1). 设直线z的方程为Y=h+b,由题意得

(2)如果四边形ABCD同时具有外接圆
和内切圆,则s=√abcd.

五、(15分)设P个质数口.,口:,…,%构 成公差为d(d>0)的等差数列,且口。>P.求

万方数据  

中等数学

f{=吉矗+6’ 【吾={七地 解得七=吾,6=去.
则直线z的方程为y=丽8
显然,(一2,一1)在l上.

贝Ⅱ1=I髫I一省2 I+I并2一戈3

I+…+


I算2州一菇2瞄I+I X2临一茗l
≤I髫l I+I菇2 I+I戈2 I+1名3 I+…+ l
x2 00I

l+I X2晰I+I

X2伽5

I+I石l

=2(1髫l

I+l戈2 I毒…+I X2似I+l I+I

X2咄1).

x+去.
恰有

所以,I算I

z2

l+…+I石2

o晒I≥百1.

事实上,当xl=去,筇2=算3=…=X2嘶=0时,
将算=一l,0,1,2,3分别代入y=露8戈+匹1,求 得对应的Y值都不是整数.所以,在l上距离点A最
近的整点是(一2,一1).
’R-4-4.压
I戈l I+I菇2 I+…+J

X2晒l=_}.

如图2,延长朋
到点P使得PC=AC, 联结AP,则么APB= 15。,故点P在以AB=P

所以,‰I+I勉I+…+l&嘶I的最小值等于去.

4.1一皂.
注意到

√6+√2为弦含弓形角
等于15。的弓形弧上. 要AC+BC的值 最大,也就是要PB的
图2

以小一{sin

x,cos算,半)

=一{sinⅢ08 x,盛n(斛号)),
显然,以茗)的最大值为1.可以通过作出Y=sin茹,
y=COS茗的图像得到max{sin髫,COS戈}的最小值为

五币;2i丽i‘
如图3,延长

AB

拓+压

一丝2,在x=等时,达到最小值一譬.而在x=等
时,sin(x+号)的值为一1.所以,厂(并)的最小值为
压 一i‘

淼MP




=,联 ,则么

NP姜K
15。

P么2 M盈K




5.17.

D—一一J』t一一●:J—=二_———』r “
图3

,r币7。/蒜



由于4个上述的单位正方体完全相同,观察判 定:红色面的4个相邻面的颜色分别为蓝、黄、青、

=15。.易知tan
2+43

紫,所以,红色面相对面的颜色是绿色.而黄色面的
4个相邻面的颜色分别为青、蓝、红、绿,因此,黄色 面相对面的颜色是紫色.剩下的只能是青色面的相 对面蓝色,即长方体的上底面的颜色,对应的下底面 的颜色和该面上的金鸡数为:

:—L:2一以.

NV3,,sin

15。=篱=厕1=学.

. ’

蕊AB:嬲4—('-石r+ut2)84f3sin

15 。一√石一√芝一

上底(黄)一下底(紫)一5个; 上底(紫)一下底(黄)一2个; 上底(红)一下底(绿)一6个; 上底(蓝)一下底(青)一4个. 故这个长方体的下底面总计共画有17个金鸡.
似2+如+c有零点.

3呵1.
对任意的正整数i、j,总有

三、(1)由“警)=o,知二次函数“戈)=

若二次函数八茹)=似2+如+c只有唯一的零

万方数据  

2006年第1期 点,则这个零点就是抛物线的顶点.于是,有

害=一刍,解得口=c.
Cn Zn

=[(口+6)2一(c—d)2][(c+d)2一(n一6)2] =(Ⅱ+b+c—d)(o+b—c+d)? (c+d+口一6)(C+d一口+6) =16(p一Ⅱ)(P—b)(p—c)(p—d). 所以,S=√(P~o)(p—b)(P—c)(p—d). (2)四边形ABCD具有外接圆,根据(1)应有 S= ̄/(P—o)(JD—b)(P—c)(p—d). 又四边形ABCD同时具有内切圆,因此,
口+c=6+d


由△=0,有b2—4a2=0,则b=±2a.故抛物线

的顶点横坐标为算=÷皇=去譬=-T-1.所以,原二
次函数变为f(戈)=似2±2ax+o=n(并±1)2,一1

与1中至少有一个是以搿)=0的根. 若二次函数以膏)=础2+bx+c有两个不同的
零点,因为

P。

“与窘)


=血杀丛+掣+c 。——瓦广+——磊一+。
40 4n
4n


故P一Ⅱ=c,P—b=d,P—c=Ⅱ,P—d=b.

代入(1)所证的圆内接四边形的面积公式,得
Js:/面盈.

一!壁=!二12:±至!!坚=!二1 2±兰竺
一!垒二!二1 2 1些=!二!±兰垒!±兰竺


五、(1)因为。l>P,d>0,所以,ol,02,…,% 都是大于P的质数.因此,每一个口j(i=1,2,…,P)
都不能被P整除. 而Ⅱ.,n:,…,%被P除时只能取P一1个不同 的余数,根据抽屉原理,至少有两个数被p除的余数 相同.设这两个数为am、口。(n>tO,).于是,


一(璺二丛二!:±兰竺一(璺±丛二!


4n

一!璺二!±£2 1壁±垒±12 一丛=1 2丛1 2


由“睾)=o,则 赵掣=o甘以一1)=o或以1)=0.
故一l与1中至少有一个是.厂(髫)=0的根.
四、(1)联结AC.由于四边形ABCD是圆内接四 边形,所以, 么B+么D=180。. 得cos
B=一cos D,sin B=sin

4n

—4a

%一‰=(n—m)d 能被P整除.

但0<n—m<P,P为质数,所以,讣(n—m).
因此,PI
d.

(2)设P.,P:,…,P.,这15个质数构成公差为d (d>O)的等差数列.由于这15个质数必都是奇数, 所以,公差d为偶数,即2I
d.

由其中的P:,P,,P。这3个质数成等差数列,P: D.易知,’ >3,根据(1)中的结论,得3I
d.

S=Js△^lIc+.s伽
=i1(a/)sin
B+edsin B.

由P3,p4,P5,p6,P7这5个质数成等差数列,P3 >5,根据(1)中的结论,得5I D), 由2I
d,3I d. d.

d和5I d且(2,3,5)=1,可得301

即4S=2(n6+cd)sin 由余弦定理得

因此,由P。≥3知P2≥33.但P2为质数,所以, ①
P2≥37.

所以,16妒=4(拍.+耐)2《n2占.

于是,由P:,P,,…,P。这7个质数成等差数列, P。>7,根据(1)中的结论,得7l
d.

02+b2—2abcos B=AC2=C2+d2—2edcos D.



n2+b2—2如COS曰=C2+d2+2cdcos B.

故口2+62一c2一d2=2(n6+cd)e 0:s 平方得

同理,由P:,P,,…,P。:这11个质数成等差数 列,P:>11,根据(1)中的结论,得11l ②
d.

B.

(n2+b2一c2一d2)2=4(Ⅱ6+cd)2eos2曰. ①+②得 16S2+(口2+b2一c2一d2)2=4(n6+耐)2. 故16S2=(2曲+2cd)2一(口2+b2一C2一d2)2 =(2ab+2ed+02+b2一C2一d2)?
(2口6+2cd—a2一b2+c2+d2)

由P:,P3,…,p,。这13个质数成等差数列,P2> 13,根据(1)中的结论,得13I
d.


因为(30,7,11,13)=1,所以,30x7×ll
即30030I d.

13Id,

故d≥30

030>30(100.

(周春荔提供)

万方数据  

2005年北京市中学生数学竞赛(高一)
刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 中等数学 HIGH-SCHOOL MATHEMATICS 2006(1)

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