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2014-2015学年江西省宜春市丰城中学高二(下)第一次月考数学试卷(文科) Word版含解析


2014-2015 学年江西省宜春市丰城中学高二(下)第一次月考数 学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个题给出的四个选项中,有 且只有一项是符合题目要求的,请将答案填写在答题卡上) 1.在复平面内,复数 A. 第一象限 ﹣i 对应的点位于( B. 第二象限
3

) C. 第三象限 D. 第四象限

2.甲、乙两位同学在高二 5 次月考的数学成绩统计如茎叶图所示,若甲、乙两人的平均成 绩分别是 、 ,则下列正确的是( )

A. C.

< >

,甲比乙成绩稳定 ,甲比乙成绩稳定

B. D.

> <

,乙比甲成绩稳定 ,乙比甲成绩稳定

3.一个袋中装有大小相同的 5 个白球和 3 个红球,现在不放回的取 2 次球,每次取出一个 球,记“第 1 次拿出的是白球”为事件 A,“第 2 次拿出的是白球”为事件 B,则事件 A 与 B 同 时发生的概率是( ) A. B. C. D.

4.若 x1,x2,x3,x2015 的方差为 3,则 3(x1﹣2) ,3(x2﹣2) ,3(x3﹣2) ,3(x2015﹣2) 的方差为( ) A. 3 B. 9 C. 18 D. 27 5.小赵和小王约定在早上 7:00 至 7:30 之间到某公交站搭乘公交车去上学.已知在这段 时间内,共有 3 班公交车到达该站,到站的时间分别为 7:10,7:20,7:30,如果他们约 定见车就搭乘,则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为( ) A. B. C. D.

6.若 α 与 β 为△ ABC 的内角,则“α=β”是“sinα=sinβ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

7.有如下命题:命题 p:设集合 M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},则“a∈M”是“a∈N”的充分而 不必要条件;命题 q:“?x0∈R,x0 ﹣x0﹣1>0”的否定是“?x∈R,x ﹣x﹣1≤0”,则下列命题 中为真命题的是( ) A. p∧q B. p∧(¬q) C. p∨q D. p∨(¬q)
2 2

8.如果方程

表示双曲线,则实数 m 的取值范围是(

) C. (﹣1,﹣1)

A. (﹣2,﹣1) B. (﹣∞,﹣2)∪(﹣1,+∞) D. (﹣3,﹣2)

9.下面程序框图,如果输入三个实数 a、b、c,要求输出这三个数中最大的数,那么在空 白的判断框中,应该填入下面四个选项中的( )

A. c>x

B. x>c

C. c>b

D. b>c ) D.

10.数列 1, , , , , , , , , ,…的前 100 项的和等于( A. B. C.

11.已知椭圆 C 的中心在原点,左焦点 F1,右焦点 F2 均在 x 轴上,A 为椭圆的右顶点,B 为椭圆短轴的端点, P 是椭圆上一点, 且 PF1⊥x 轴, PF2∥AB, 则此椭圆的离心率等于 ( ) A. B. C. D.

12.如果函数 y=f(x)的图象如图,那么导函数 y=f′(x)的图象可能是(



A.

B.

C.

D.

二.填空题(共?小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷上) 13.命题 A:|x﹣1|<3,命题 B: (x+2) (x+a)<0,若 A 是 B 的充分而不必要条件,则 a 的取值范围是 .

14.若函数 f(x)=
3

在 x=1 处取极值,则 a=
2



15.已知函数 f(x)=x +x +mx+1 在区间(﹣1,2)上不是单调函数,则实数 m 的取值范 围是 . 16.已知命题 p:“若 m≤0,则 x ﹣2x+m=0 有实数解”的逆命题;命题 q:“若函数 f(x)=lg 2 (x +2x+a)的值域为 R,则 a>1”.以下四个结论: ①p 是真命题; ②p∧q 是假命题; ③p∨q 是假命题; ④¬q 为假命题. 其中所有正确结论的序号为 .
2

三、解答题(共 6Z 小题,第 17-21 题各 12 分,第 22 题 10 分,共 70 分请将答案填写在答 题卡上)

17. 设命题 p: 函数 ( f x) =lg (x ﹣x+

2

a) 的定义域为 R, q: ?m∈[﹣1, 1], a ﹣5a﹣3≥

2

2

恒成立,如果命题“p∨q”为真命题,且“p∧q”为假命题,求实数 a 的取值范围. 18.高二某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部都介于 13 秒到 18 秒之间,将测试结 果按如下方式分成五组,第一组[13,14) ,第二组[14,15)…第五组[17,18],如图是按上 述分组方法得到的频率分布直方图. (1)若成绩大于等于 14 秒且小于 16 秒规定为良好,求该班在这次百米测试中成绩为良好 的人数. (2)请根据频率分布直方图,估计样本数据的众数和中位数(精确到 0.01) . (3)设 m,n 表示该班两个学生的百米测试成绩,已知 m,n∈[13,14)∪[17,18],求事 件“|m﹣n|>2”的概率.

19.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,CC1⊥底面 ABC,AC=BC,M,N 分别是 CC1,AB 的中点. (Ⅰ)求证:CN⊥AB1; (Ⅱ)求证:CN∥平面 AB1M.

20.设 f(x)=﹣ x + x +2ax (1)若 f(x)在( ,+∞)上存在单调递增区间,求 a 的取值范围. (2)当 0<a<2 时,f(x)在[1,4]的最小值为﹣ ,求 f(x)在该区间上的最大值.

3

2

21.抛物线 C1:x =4y 在点 A,B 处的切线垂直相交于点 P,直线 AB 与椭圆 C2: 相交于 C,D 两点.

2

+

=1

(1)求抛物线 C1 的焦点 F 与椭圆 C2 的左焦点 F1 的距离; (2)设点 P 到直线 AB 的距离为 d,试问:是否存在直线 AB,使得|AB|,d,|CD|成等比数 列?若存在,求直线 AB 的方程;若不存在,请说明理由.

22. (选做题)设函数 f(x)=|x+1|+|x﹣a|. (Ⅰ)若 a=2,解不等式 f(x)≥5; (Ⅱ)如果?x∈R,f(x)≥3,求 a 的取值范围.

2014-2015 学年江西省宜春市丰城中学高二(下)第一次 月考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个题给出的四个选项中,有 且只有一项是符合题目要求的,请将答案填写在答题卡上) 1.在复平面内,复数 A. 第一象限 ﹣i 对应的点位于( B. 第二象限
3

) C. 第三象限 D. 第四象限

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:用两个复数代数形式的乘除法法则,化简复数得到 a+bi 的形式,从而得到复数在复 平面内的对应点的坐标,得到位置. 解答: 解:复数 ﹣i =
3

+i=1+2i,

复数的在复平面内的对应点(1,2) . 在复平面内,复数 ﹣i 对应的点位于第一象限.
3

故选:A. 点评:本题考查两个复数代数形式的乘除法, 两个复数相除, 分子和分母同时乘以分母的共 轭复数,考查复数与复平面内对应点之间的关系,是一个基础题. 2.甲、乙两位同学在高二 5 次月考的数学成绩统计如茎叶图所示,若甲、乙两人的平均成 绩分别是 、 ,则下列正确的是( )

A. C.

< >

,甲比乙成绩稳定 ,甲比乙成绩稳定

B. D.

> <

,乙比甲成绩稳定 ,乙比甲成绩稳定

考点:茎叶图. 专题:概率与统计. 分析:根据茎叶图中的数据,求出甲、乙同学的平均值与方差,即可得出正确的结论. 解答: 解:根据茎叶图中的数据,得;

甲同学的平均成绩为 乙同学的成绩 甲的方差为 乙的方差为

= (72+77+78+86+92)=81,

= (78+88+88+91+90)=87; = [(﹣9) +(﹣4) +(﹣3) +5 +11 ]= = [(﹣9) +1 +1 +4 +3 ]=
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2





∴甲的平均值小于乙的平均值,甲的方差大于乙的方差, 乙比甲稳定. 故选:D. 点评:本题考查了求平均数与方差的应用问题,是基础题目. 3.一个袋中装有大小相同的 5 个白球和 3 个红球,现在不放回的取 2 次球,每次取出一个 球,记“第 1 次拿出的是白球”为事件 A,“第 2 次拿出的是白球”为事件 B,则事件 A 与 B 同 时发生的概率是( ) A. B. C. D.

考点:相互独立事件的概率乘法公式. 专题:概率与统计. 分析:由题意求得 P(A)和 P(B)的值,再根据相互独立事件的概率乘法公式求得事件 A 与 B 同时发生的概率是 P(A)?P(B)的值. 解答: 解:由题意可得 P(A)= ,P(B)= , ∴事件 A 与 B 同时发生的概率是 P(A)?P(B)= = ,

故选:D. 点评:本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用,属于基础题. 4.若 x1,x2,x3,x2015 的方差为 3,则 3(x1﹣2) ,3(x2﹣2) ,3(x3﹣2) ,3(x2015﹣2) 的方差为( ) A. 3 B. 9 C. 18 D. 27 考点:极差、方差与标准差. 专题:计算题;概率与统计. 分析:由已知中 x1,x2,x3,…,x2015 的方差为 3,根据一组数据同时减小 2,数据的方差 不变,求出(x1﹣2) , (x2﹣2) , (x3﹣2) ,…, (x2015﹣2)的方差,进而根据一组数据扩大 2 a 倍,则方差扩大 a 倍,得到 3(x1﹣2) ,3(x2﹣2) ,3(x3﹣2) ,…,3(x2015﹣2)的方 差. 解答: 解:∵x1,x2,x3,…,x2015 的方差为 3, ∴(x1﹣2) , (x2﹣2) , (x3﹣2) ,…, (x2015﹣2)的方差为 3, ∴3(x1﹣2) ,3(x2﹣2) ,3(x3﹣2) ,…,3(x2015﹣2)的方差为 27, 故选:D.

点评:本题考查的知识点是方差,其中一组数据同时减小 a,数据的方差不变,一组数据扩 大 a 倍,则方差扩大 a 倍,是解答此类问题的关键. 5.小赵和小王约定在早上 7:00 至 7:30 之间到某公交站搭乘公交车去上学.已知在这段 时间内,共有 3 班公交车到达该站,到站的时间分别为 7:10,7:20,7:30,如果他们约 定见车就搭乘,则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为( ) A. B. C. D.
2

考点:几何概型. 专题:概率与统计. 分析:设甲到达汽车站的时刻为 x,乙到达汽车站的时刻为 y,利用满足条件的不等式,求 出对应的平面区域的面积,利用几何概型的概率公式即可得到结论. 解答: 解:如图,设甲到达汽车站的时刻为 x,乙到达汽车站的时刻为 y, 则 7≤x≤7 ,7≤y≤7 , 甲、乙两人到达汽车站的时刻(x,y)所对应的区域在平面直角坐标系中画出(如图所示) 是大正方形.将 3 班车到站的时刻在图形中画出,则甲、乙两人要想乘同一班车,

必须满足{(x,y)|

,或



},

即(x,y)必须落在图形中的 3 个带阴影的小正方形内,

如图所以由几何概型的计算公式得 P=



故选 A.

点评:本题主要考查几何概型的概率计算,求出对应的区域面积是解决本题的关键. 6.若 α 与 β 为△ ABC 的内角,则“α=β”是“sinα=sinβ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.

专题:简易逻辑. 分析:根据充分条件和必要条件的定义结合正弦定理进行判断即可. 解答: 解:在△ ABC 内,若 α=β,则设 α,β 对应的边分别为 a,b, 则 a=b,由正弦定理得 ,

即 sinα=sinβ,反之也成立, 即“α=β”是“sinα=sinβ”的充要条件, 故选:C 点评:本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据正弦定理是解决本题的关键. 7.有如下命题:命题 p:设集合 M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},则“a∈M”是“a∈N”的充分而 不必要条件;命题 q:“?x0∈R,x0 ﹣x0﹣1>0”的否定是“?x∈R,x ﹣x﹣1≤0”,则下列命题 中为真命题的是( ) A. p∧q B. p∧(¬q) C. p∨q D. p∨(¬q) 考点:复合命题的真假;命题的否定. 专题:简易逻辑. 分析:首先判断出命题 p 的真假,进一步判断出命题 q 的真假,最后利用真值表求出结论 解答: 解:命题 p:设集合 M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2}, 则“a∈M”是“a∈N”的充分而不必要条件. p 是假命题. 2 命题 q:“?x0∈R,x0 ﹣x0﹣1>0”的否定是: 2 “?x∈R,x ﹣x﹣1≤0”, 则:q 是真命题. 所以:p∨q 是真命题. 故选:C. 点评:本题考查的知识要点:命题真假的判断,及真值表的应用.属于基础题型.
2 2

8.如果方程

表示双曲线,则实数 m 的取值范围是(

) C. (﹣1,﹣1)

A. (﹣2,﹣1) B. (﹣∞,﹣2)∪(﹣1,+∞) D. (﹣3,﹣2)

考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:分别讨论方程表示焦点在 x 轴上和 y 轴上的双曲线,列出不等式,解出它们,再求并 集即可. 解答: 解:①当方程 表示焦点在 x 轴上的双曲线,

则为



=1,

所以



解得﹣2<m<﹣1, 则 m 的取值范围为: (﹣2,﹣1) ; ②当方程 表示焦点在 x 轴上的双曲线,

则为



=1,

所以



无解. 综上所述,则 m 的取值范围为: (﹣2,﹣1) . 故选:A. 点评:本题考查方程表示的图形,考查双曲线方程的特点,考查运算能力,属于基础题. 9.下面程序框图,如果输入三个实数 a、b、c,要求输出这三个数中最大的数,那么在空 白的判断框中,应该填入下面四个选项中的( )

A. c>x

B. x>c

C. c>b

D. b>c

考点:排序问题与算法的多样性. 分析:根据流程图所示的顺序,逐框分析程序中各变量、各语句的作用,由于该题的目的是 选择最大数, 因此根据第一个选择框作用是比较 x 与 b 的大小, 故第二个选择框的作用应该 是比较 x 与 c 的大小,而且条件成立时,保存最大值的变量 X=C. 解答: 解:由流程图可知: 第一个选择框作用是比较 x 与 b 的大小, 故第二个选择框的作用应该是比较 x 与 c 的大小, ∵条件成立时,保存最大值的变量 X=C 故选 A.

点评:算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程序 填空也是重要的考试题型, 这种题考试的重点有: ①分支的条件②循环的条件③变量的赋 值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解流 程图的含义而导致错误.

10.数列 1, , , , , , , , , ,…的前 100 项的和等于( A. B. C.

) D.

考点:数列的求和. 专题:计算题. 分析:由于数列中,1 有一项,和为 1, 有两项,和为 1,前 100 项中, 1, 解答: 解: =1× 故选 A. 点评:本题是数列求和的基本运算,关键是要准确判断数列中形如 的项出现的次数. ,代入求出前 100 项的和. 有 13 项,和为

11.已知椭圆 C 的中心在原点,左焦点 F1,右焦点 F2 均在 x 轴上,A 为椭圆的右顶点,B 为椭圆短轴的端点, P 是椭圆上一点, 且 PF1⊥x 轴, PF2∥AB, 则此椭圆的离心率等于 ( ) A. B. C. D.

考点:椭圆的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:先画出图形,设椭圆方程为 PF2∥AB 即可得 该椭圆的离心率 . 解答: 解:如图, 设椭圆方程为: ; ,求出 P,F2,A,B 四点的坐标,从而根据
2 2 2

,从而可得到 b=2c,根据 a =b +c 即可得出

,从而得到

∴x=﹣c 时,

,∴

,F2(c,0) ;

又 A(a,0) ,B(0,b) ,PF2∥AB; ∴ ∴ ∴b=2c; ; ∴ ; . ; ;

即椭圆的离心力为: 故选 D.

点评:考查椭圆的标准方程, 根据椭圆标准方程可表示椭圆的焦点及顶点坐标, 根据椭圆的 方程,已知椭圆上点的横坐标能求其纵坐标,根据两点坐标求直线斜率,以及两平行直线的 斜率关系,椭圆离心率的概念及计算. 12.如果函数 y=f(x)的图象如图,那么导函数 y=f′(x)的图象可能是( )

A.

B.

C.

D.

考点:函数的单调性与导数的关系. 专题:压轴题. 分析:由 y=f(x)的图象得函数的单调性,从而得导函数的正负. 解答: 解:由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负, 故选 A. 点评:导数的正负决定函数的单调性. 二.填空题(共?小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷上) 13.命题 A:|x﹣1|<3,命题 B: (x+2) (x+a)<0,若 A 是 B 的充分而不必要条件,则 a 的取值范围是 (﹣∞,﹣4) . 考点:绝对值不等式的解法;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:计算题. 分析:通过绝对值不等式的解法求出集合 A,利用 A 是 B 的充分而不必要条件则说明 A 是 B 的真子集,推出集合 B,求解 a 的范围即可. 解答: 解:根据题意,由于命题 A:|x﹣1|<3,得到﹣2<x<4, 命题 B: (x+2) (x+a)<0, A 是 B 的充分而不必要条件则说明 A 是 B 的真子集, 那么可知集合 B:﹣2<x<﹣a,则可知参数 a<﹣4, 故答案为: (﹣∞,﹣4) . 点评:本题主要是考查了绝对值不等式的解法,充分条件的运用,属于基础题.

14.若函数 f(x)=

在 x=1 处取极值,则 a= 3 .

考点:利用导数研究函数的极值. 专题:计算题;压轴题. 分析:先求出 f′(x) ,因为 x=1 处取极值,所以 1 是 f′(x)=0 的根,代入求出 a 即可. 解答: 解:f′(x)= = .

因为 f(x)在 1 处取极值, 所以 1 是 f′(x)=0 的根, 将 x=1 代入得 a=3. 故答案为 3 点评:考查学生利用导数研究函数极值的能力. 15.已知函数 f(x)=x +x +mx+1 在区间(﹣1,2)上不是单调函数,则实数 m 的取值范 围是 ﹣16<m< .
3 2

考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:计算题. 分析:对函数进行求导,令导函数等于 0 在区间(﹣1,2)上有解,然后建立关系式,解之 即可. 2 解答: 解:y′=3x +2x+m 3 2 ∵函数 f(x)=x +x +mx+1 在区间(﹣1,2)上不是单调函数 2 ∴y′=3x +2x+m=0 在区间(﹣1,2)上有解,即△ =4﹣12m>0,f(2)>0 ∴﹣16<m< . 故答案为:﹣16<m< . 点评:本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系. 即当导数大于 0 是原函数 单调递增,当导数小于 0 时原函数单调递减,在区间(a,b)上存在极值,则在区间(a,b) 上不单调. 16.已知命题 p:“若 m≤0,则 x ﹣2x+m=0 有实数解”的逆命题;命题 q:“若函数 f(x)=lg 2 (x +2x+a)的值域为 R,则 a>1”.以下四个结论: ①p 是真命题; ②p∧q 是假命题; ③p∨q 是假命题; ④¬q 为假命题. 其中所有正确结论的序号为 ②③ . 考点:命题的真假判断与应用. 专题:探究型. 分析:根据二次方程根与△ 的关系及四种命题的定义, 可判断命题 p 的真假; 根据对数函数 和二次函数的图象和性质, 可判断命题 q 的真假; 进而由复合命题真假判断的真值表分析四 个结论的正误,可得答案. 2 2 解答: 解:“若 m≤0,则 x ﹣2x+m=0 有实数解”的逆命题为“若 x ﹣2x+m=0 有实数解,则 m≤0” 由 x ﹣2x+m=0 有实数解,则△ =4﹣4m≥0 得,m≤1,此时 m≤0 不一定成立 故命题 p 为假命题,即命题 p 为假命题, 2 函数 f(x)=lg(x +2x+a)的值域为 R,则 a≤1,故命题 q 为假命题,
2 2

故①“p 是真命题”错误;②“p∧q 是假命题”正确;③“p∨q 是假命题”正确;④“¬q 为假命 题”错误. 故正确结论的序号为②③ 故答案为:②③ 点评:本题以命题的真假判断为载体考查了四种命题,二次方程,对数函数,二次函数的图 象和性质,难度中档. 三、解答题(共 6Z 小题,第 17-21 题各 12 分,第 22 题 10 分,共 70 分请将答案填写在答 题卡上) 17. 设命题 p: 函数 ( f x) =lg (x ﹣x+
2

a) 的定义域为 R, q: ?m∈[﹣1, 1], a ﹣5a﹣3≥

2

2

恒成立,如果命题“p∨q”为真命题,且“p∧q”为假命题,求实数 a 的取值范围. 考点:复合命题的真假. 专题:简易逻辑. 分析:求出命题 p,q 成立的等价条件,结合命题“p∨q”为真命题,且“p∧q”为假命题,得到 p,q 一真一假,然后进行求解即可. 解答: 解:命题 p:若函数 f(x)=lg(x ﹣x+ 则 x ﹣x+
2 2

a )的定义域为 R,

2

a >0 恒成立,
2

2

即判别式△ =1﹣ a <0, 即 a >4,解得 a>2 或 a<﹣2.…(1 分) 命题 q:∵m∈[﹣1,1],∴ ∈[2 ,3]. 恒成立,可得 a ﹣5a﹣3≥3,
2 2

∵对 m∈[﹣1,1],不等式 a2﹣5a﹣3≥
2

即 a ﹣5a﹣6≥0, ∴a≥6 或 a≤﹣1. 故命题 q 为真命题时,a≥6 或 a≤﹣1.…(3 分) 命题“p∨q”为真命题,且“p∧q”为假命题,则 p,q 一真一假…(4 分) (1)若 p 真 q 假,则 ,解得 2<a<6 …(8 分)

(2)若 p 假 q 真,则

,解得﹣2≤a≤﹣1

…(10 分)

综上(1) (2)所述:﹣2≤a≤﹣1 或 2<a<6 为所求的取值范围.…(12 分) 点评:本题主要考查复合命题的真假的判断, 求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关 键.

18.高二某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部都介于 13 秒到 18 秒之间,将测试结 果按如下方式分成五组,第一组[13,14) ,第二组[14,15)…第五组[17,18],如图是按上 述分组方法得到的频率分布直方图. (1)若成绩大于等于 14 秒且小于 16 秒规定为良好,求该班在这次百米测试中成绩为良好 的人数. (2)请根据频率分布直方图,估计样本数据的众数和中位数(精确到 0.01) . (3)设 m,n 表示该班两个学生的百米测试成绩,已知 m,n∈[13,14)∪[17,18],求事 件“|m﹣n|>2”的概率.

考点:古典概型及其概率计算公式;频率分布直方图. 专题:概率与统计. 分析: (1)根据频率分布直方图能求出成绩在[14,16)内的人数,由此得到该班在这次 百米测试中成绩为良好的人数. (2)由频率分布直方图能求出众数落在第二组[15,16)内,由此能求出众数;数据落在第 一、二组的频率是 0.22<0.5,数据落在第一、二、三组的频率是 0.6>0.5,所以中位数一定 落在第三组中,假设中位数是 x,则 0.22+(x﹣15)×0.38=0.5,由此能求出中位数. (3)成绩在[13,14)的人数有 2 人,成绩在[17,18)的人数有 3 人,由此能求出结果. 解答: 解: (1)根据频率分布直方图知成绩在[14,16)内的人数为: 50×0.18+50×0.38=28 人. ∴该班在这次百米测试中成绩为良好的人数为 28 人. (2)由频率分布直方图知众数落在第三组[15,16)内, 众数是 .

∵数据落在第一、二组的频率=1×0.04+1×0.18=0.22<0.5, 数据落在第一、二、三组的频率=1×0.04+1×0.18+1×0.38=0.6>0.5, ∴中位数一定落在第三组中, 假设中位数是 x,则 0.22+(x﹣15)×0.38=0.5, 解得 x= ,

∴中位数是 15.74. (3)成绩在[13,14)的人数有 50×0.04=2 人, 成绩在[17,18)的人数有;50×0.06=3 人, 设 m,n 表示该班两个学生的百米测试成绩 ∵m,n∈[13,14)∪[17,18], ∴事件“|m﹣n|>2”的概率

p=

= .

点评:本题考查众数、中位数的求法,考查概率的计算,是中档题,解题时要认真审题,注 意频率分布直方图的合理运用. 19.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,CC1⊥底面 ABC,AC=BC,M,N 分别是 CC1,AB 的中点. (Ⅰ)求证:CN⊥AB1; (Ⅱ)求证:CN∥平面 AB1M.

考点:直线与平面垂直的性质;直线与平面平行的判定. 专题:证明题. 分析: (Ⅰ)因为三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中 CC1⊥底面 ABC,所以 BB1⊥平面 ABC,所 以 BB1⊥CN,由此利用直线垂直于平面的性质,能够证明 CN⊥AB1. (Ⅱ)法一:连接 A1B 交 AB1 于 P.因为三棱柱 ABC﹣A1B1C1,所以 P 是 A1B 的中点.再 利用直线平行于平面的判定理,能够证明 CN∥平面 AB1M. 法二: 取 BB1 中点 P, 连接 NP, CP. 因为 N, P 分别是 AB, BB1 的中点, 所以 NP∥AB1. 再 由平面与平面平行的性质定理,能够证明 CN∥平面 AB1M. 解答: 证明: (Ⅰ)因为三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中 CC1⊥底面 ABC, 所以 BB1⊥平面 ABC,所以 BB1⊥CN.…(1 分) 因为 AC=BC,N 是 AB 的中点, 所以 CN⊥AB. …(3 分) 因为 AB∩BB1=B,…(4 分) 所以 CN⊥平面 AB B1A1. …(5 分) 所以 CN⊥AB1. …(6 分) (Ⅱ)证法一:连接 A1B 交 AB1 于 P. …(7 分) 因为三棱柱 ABC﹣A1B1C1, 所以 P 是 A1B 的中点. 因为 M,N 分别是 CC1,AB 的中点, 所以 NP∥CM,且 NP=CM,…(9 分) 所以四边形 MCNP 是平行四边形,…(10 分) 所以 CN∥MP. …(11 分) 因为 CN?平面 AB1M,MP?平面 AB1M,…(12 分) 所以 CN∥平面 AB1M. …(14 分) 证法二:取 BB1 中点 P,连接 NP,CP. …(7 分)

因为 N,P 分别是 AB,BB1 的中点, 所以 NP∥AB1. 因为 NP?平面 AB1M,AB1?平面 AB1M, 所以 NP∥平面 AB1M. …(10 分) 同理 CP∥平面 AB1M. …(11 分) 因为 CP∩NP=P, 所以平面 CNP∥平面 AB1M. 因为 CN?平面 CNP, 所以 CN∥平面 AB1M. …(13 分) …(14 分)

点评:本题考查直线与直线垂直的证明和直线与平面的证明. 解题时要认真审题, 仔细解答, 注意合理地化立体问题为平面问题.
3 2

20.设 f(x)=﹣ x + x +2ax (1)若 f(x)在( ,+∞)上存在单调递增区间,求 a 的取值范围. (2)当 0<a<2 时,f(x)在[1,4]的最小值为﹣ ,求 f(x)在该区间上的最大值.

考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.

专题:计算题. 分析: (1)利用函数递增,导函数大于 0 恒成立,求出导函数的最大值,使最大值大于 0. (2)求出导函数的根,判断出根左右两边的导函数的符号,求出端点值的大小,求出最小 值,列出方程求出 a,求出最大值. 2 解答: 解: (1)f′(x)=﹣x +x+2a f(x)在 ∴f′(x)>0 在
2

存在单调递增区间 有解

∵f′(x)=﹣x +x+2a 对称轴为 ∴ ∴ 解得 . 递减

(2)当 0<a<2 时,△ >0; f′(x)=0 得到两个根为 ∵ ∴ 时,f′(x)>0; <f(1) 时,f′(x)<0 ; (舍)

当 x=1 时,f(1)=2a+ ;当 x=4 时,f(4)=8a 当 x=4 时最小∴ 所以当 x= = 解得 a=1 时最大为

点评:本题考查利用导函数求参数的范围、利用导函数求函数的单调性、求函数的最值.

21.抛物线 C1:x =4y 在点 A,B 处的切线垂直相交于点 P,直线 AB 与椭圆 C2:

2

+

=1

相交于 C,D 两点. (1)求抛物线 C1 的焦点 F 与椭圆 C2 的左焦点 F1 的距离; (2)设点 P 到直线 AB 的距离为 d,试问:是否存在直线 AB,使得|AB|,d,|CD|成等比数 列?若存在,求直线 AB 的方程;若不存在,请说明理由.

考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)确定求抛物线 C1 的焦点 F、椭圆 C2 的左焦点 F1 的坐标,即可求抛物线 C1 的焦点 F 与椭圆 C2 的左焦点 F1 的距离; (Ⅱ)设直线 AB:y=kx+m,与抛物线方程联立,说明直线 AB 过抛物线 C1 的焦点 F,再 求出 P 的坐标,可得点 P(2k,﹣1)到直线 AB:kx﹣y+1=0 的距离,从而求出|CD|,再求 出|AB|,利用|AB|,d,|CD|成等比数列,即可得出结论. 解答: 解: (I)抛物线 C1 的焦点 F(0,1) ,…(1 分) 椭圆 C2 的左焦点 则 . ,…(2 分) …(3 分)

(II)设直线 AB:y=kx+m,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,y3) ,D(x4,y4) , 由 ,得 x ﹣4kx﹣4m=0,…(4 分)
2

故 x1+x2=4k,x1x2=﹣4m. 由 x =4y,得
2

, , , , …(7 分)

故切线 PA,PB 的斜率分别为 再由 PA⊥PB,得 kPAkPB=﹣1,即

故 m=1,这说明直线 AB 过抛物线 C1 的焦点 F.



,得



, 即 P(2k,﹣1) . …(8 分) 于是点 P(2k,﹣1)到直线 AB:kx﹣y+1=0 的距离 .…(9 分)



,得(1+2k )x +4kx﹣2=0,…(10 分)

2

2

从而 分) 2 同理,|AB|=4(1+k ) . 2 若|AB|,d,|CD|成等比数列,则 d =|AB|?|CD|,…(13 分) 即
4 2

,…(11

…(12 分)



化简整理,得 28k +36k +7=0,此方程无实根, 所以不存在直线 AB,使得|AB|,d,|CD|成等比数列. …(15 分) 点评:本题考查椭圆、抛物线的性质,考查直线与椭圆、抛物线的位置关系,考查等比数列 的性质,考查韦达定理的运用,属于中档题. 22. (选做题)设函数 f(x)=|x+1|+|x﹣a|. (Ⅰ)若 a=2,解不等式 f(x)≥5; (Ⅱ)如果?x∈R,f(x)≥3,求 a 的取值范围. 考点:带绝对值的函数. 专题:计算题;压轴题. 分析: (I)当 a=2,不等式即|x+1|+|x﹣2|≥5,根据绝对值的意义可得当 x≤﹣2 或 x≥3 时, |x+1|+|x﹣2|≥5 成立,由此求得不等式的解集. (II)若 a=﹣1,f(x)=2|x+1|,不满足题设条件.若 a<﹣1,求得 f(x)的最小值等于﹣ 1﹣a,若 a>﹣1,求得 f(x)的最小值等于 1+a,根据 f(x)≥3 的充要条件是|a+1|≥3,求 出 a 的取值范围. 解答: 解: (I)当 a=2,f(x)=|x+1|+|x﹣2|,不等式 f(x)≥5 即|x+1|+|x﹣2|≥5. 而|x+1|+|x﹣2|表示数轴上的 x 对应点到﹣1、2 对应点的距离之和,且﹣2 和 3 对应点到﹣1、 2 对应点的距离之和正好等于 5, 故当 x≤﹣2 或 x≥3 时,|x+1|+|x﹣2|≥5 成立. 综上,不等式的解集为{x|x≤﹣2 或 x≥3}. (5 分) (II)若 a=﹣1,f(x)=2|x+1|,不满足题设条件.

若 a<﹣1,f(x)=

,f(x)的最小值等于﹣1﹣a.

若 a>﹣1,

,f(x)的最小值等于 1+a.

所以?x∈R,f(x)≥3 的充要条件是|a+1|≥3,故有 a≤﹣4,或 a≥2,

从而 a 的取值范围是(﹣∞,﹣4]∪[2,+∞) . (10 分) 点评:本题主要考查绝对值的意义,带有绝对值的函数,函数最值及其几何意义,体现了分 类讨论的数学思想,属于中档题.


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