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函数与导数解题方法知识点技巧总结


函数与导数解题方法知识点技巧总结 1. 高考试题中,关于函数与导数的解答题(从宏观上)有以下题型: (1)求曲线 y ? f ( x) 在某点出的切线的方程 (2)求函数的解析式 (3)讨论函数的单调性,求单调区间 (4)求函数的极值点和极值 (5)求函数的最值或值域 (6)求参数的取值范围 (7)证明不等式 (8)函数应用问题 2. 在解题中常用的有关结论(需要熟记) : (1

)曲线 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的切线的斜率等于 f ?( x0 ) ,且切线方程为 y ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ? f ( x0 ) 。 (2)若可导函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处取得极值,则 f ?( x0 ) ? 0 。反之不成立。 (3)对于可导函数 f ( x ) ,不等式 f ?( x) ? 0( ? 0) 的解是函数 f ( x ) 的递增(减)区间。 (4)函数 f ( x ) 在区间 I 上递增(减)的充要条件是: ?x ? I , f ?( x) ? 0(? 0) 恒成立( f ?( x ) 不恒为 0 ). (5)若函数 f ( x ) 在区间 I 上有极值,则方程 f ?( x) ? 0 在区间 I 上有实根且非二重根。 (若 f ?( x ) 为二次 函数且 I ? R ,则有 ? ? 0 ) 。 (6)若函数 f ( x ) 在区间 I 上不单调且不为常量函数,则 f ( x ) 在 I 上有极值。 (7)若 ?x ? I , f ( x) ? 0 恒成立,则 f ( x)min ? 0 ;若 ?x ? I , f ( x) ? 0 恒成立,则 f ( x)max ? 0 (8)若 ?x0 ? I 使得 f ( x0 ) ? 0 ,则 f ( x)max ? 0 ;若 ?x0 ? I 使得 f ( x0 ) ? 0 ,则 f ( x)min ? 0 . (9)设 f ( x ) 与 g ( x) 的定义域的交集为 I ,若 ?x ? I , f ( x) ? g ( x) 恒成立,则有 [ f ( x) ? g ( x)]min ? 0 . (10)若对 ?x1 ? I1 , x2 ? I 2 , f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立,则 f ( x)min ? g ( x)max . 若对 ?x1 ? I1 , ?x2 ? I 2 ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,则 f ( x)min ? g ( x)min . 若对 ?x1 ? I1 , ?x2 ? I 2 ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,则 f ( x)max ? g ( x)max . ( 11 ) 已知 f ( x ) 在区间 I1 上 的值域为 A , g ( x) 在区间 I 2 上 值域为 B ,若对 ?x1 ? I1 , ?x2 ? I 2 使得

f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则 A ? B 。
(12)若三次函数 f ( x ) 有三个零点,则方程 f ?( x) ? 0 有两个不等实根 x1 , x2 且 f ( x1 ) f ( x2 ) ? 0 (13)证题中常用的不等式: ① ln x ? x ? 1( x ? 0) (仅当 x ? 1 时取“ ? ” )
1

② ln( x ? 1) ? x( x ? ?1) (仅当 x ? 0 时取“=” ) ③ ln(1 ? x2 ) ? x( x ? 0)

ln x x ? 1 ? ( x ? 1) x ?1 2 ln x 1 1 ⑤ 2 ? ? 2 ( x ? 0) x 2 2x
④ ⑥ e ? 1? x
x

⑦e

?x

? 1? x

3. 函数与导数解答题常见题型的解法 (1)已知曲线 y ? f ( x) (含参数)的切线方程为 y ? kx ? b ,求参数的值 【解法】先设切点坐标为 ( x0 , y0 ) ,求出切线方程 再与已知切线方程比较系数得: ?

y ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ? f ( x0 )

? f ?( x0 ) ? k , 解此方程组可求参数的值 ?? xf ?( x0 ) ? f ( x0 ) ? b

(2)已知函数 y ? f ( x) (含参数) ,讨论函数的单调性 【解法】先确定 f ( x ) 的定义域,并求出 f ?( x ) ,观察 f ?( x ) 能否恒大于或等于(恒小于或等于) 0 ,如果 能, 则求参数的范围, 讨论便从这里开始, 当参数在上述范围以外取值时, 令 f ?( x) ? 0 , 求根 x1 , x2 . 再分层讨论,是否在定义域内或讨论 x1 , x2 的大小关系, 再列表讨论,确定 f ( x ) 的单调区间。 (大 多数函数的导函数都可以转化为一个二次函数,因此讨论函数单调性问题又往往是讨论二次函数 在某一区间上的符号问题) (3)已知函数 y ? f ( x) (含参数)在区间 I 上有极值,求参数的取值范围. 【解法】函数 f ( x ) 在区间 I 上有极值,可转化为方程 f ?( x) ? 0 在区间 I 上有实根,且为非二重根。 从而确定参数(或其取值范围) 。 (4)可导函数 f ( x ) (含参数)在区间 I 上无极值,求参数的取值范围 【解法】 f ( x ) 在区间 I 上无极值等价于 f ( x ) 在区间在上是单调函数,进而得到 f ?( x ) ? 0 或 f ?( x ) ? 0 在

I 上恒成立
(5) 函数 f ( x ) (含单个或多个参数)仅在 x ? x0 时取得极值,求参数的范围 【解法】先由 f ?( x) ? 0 ,求参数间的关系,再将 f ?( x ) 表示成 f ?( x ) = ( x ? x0 ) g ( x) ,再由 g ( x) ? 0 (? 0)
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恒成立,求参数的范围。 (此类问题中 f ?( x ) 一般为三次多项式函数) (6) 函数 f ( x ) (含参数)在区间 I 上不单调,求参数的取值范围 【解法一】转化为 f ( x ) 在 I 上有极值。 (即 f ?( x) ? 0 在区间 I 上有实根且为非二重根) 。 【解法二】从反面考虑:假设 f ( x ) 在 I 上单调则 f ?( x ) ? 0 (? 0) 在 I 上恒成立,求出参数的取值范围, 再求参数的取值范围的补集

( ? 0) (7)已知函数 f ( x ) (含参数) ,若 ?x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? 0 成立,求参数的取值范围.
【解法一】转化为 f ( x ) 在 I 上的最大值大于 0 (最小值小于 0 ) 【解法二】从反面考虑:假设对 ?x ? I,f ( x) ? 0(? 0) 恒成立则 f ( x)max ? 0 ( f ( x)min ? 0 ),求参数 的取值范围,再求参数的取值范围的补集 (8)含参数的不等式恒成立,求参数的取值范围 【解法一】分离参数求最值 【解法二】构造函数用图像 注:对于多变量不等式恒成立,先将不等式变形,利用函数的最值消变元,转化为单变量不等式恒成立 问题 (9)可导函数 f ( x ) (含参数)在定义域上存在单调递增(减)区间, 求参数的范围.

( ? 0) ( ? 0) 【解法】等价转化为 f ?( x ) ? 0 在定义域上有解即 ?x0 ? I 使 f ( x0 ) ? 0 成立
(1)可用分离参数法(2)利用图像及性质 (10)证明不等式 【解法】构造函数 f ( x ) 并确定定义域 I ,考察在 I 上的单调性(注意区间端点的函数值)或者求 f ( x ) 在

I 上的最值
注:对于含有正整数 n 的带省略号的不定式的证明,先观察通项,联想基本不定式,确定要证明的函数不

2, 定式,再对自变量 x 赋值,令 x 分别等于 1,

,n ,把这些不定式累加,可得要证的不定式。 )

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