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函数值域


湖南省示范高中——岳阳市岳化一中 2008 级高一数学培优材料

第二讲
一、配方法:
2

函数值域的求法

【例 1】求二次函数 y = ? x + 4 x ? 2 ( x ∈ [1, 4] )的值域. 【例 2】求函数 y = e
? x 2 + 4 x ?3

值域.

【例 3】求函数 y = 4? x ? 2? x + 1, x ∈ [ ?3, 2] 的最大值与最小值. 【例 4】求函数 y = log 2

x x ? log 2 ( x ∈ [1,8]) 的最大值和最小值. 2 4
x? 1 2

【例 5】已知 x ∈ [ 0, 2] ,求函数 f ( x) = 4

? 3 ? 2 x + 5 的值域.

二、换元法:
【例 6】求函数 y = x + 1? 2x 的值域. 【例 7】已知函数 f (x ) 的值域为 ? 3 , 5 ? ,求函数 y = f ( x) + 1 ? 2 f ( x) 的值域. ?8 9 ? ? ?

三、单调性法: 【例 8】求函数 y = 2 x ? 3 + x ? 1 的值域.
【例 9】求函数 y = 2 x ?5 + log 3 【例 10】求函数 y = 【例 11】求函数 y =

x ? 1(2 ≤ x ≤ 10) 的值域.

3 x + 6 ? 8 ? x 的值域.

x + 1 ? x ? 1 的值域.

【例 12】求函数 y = x ? 1 ? 2 x 的值域. 【例 13】求函数 f ( x ) =

x2 + 5 x2 + 4

( x ∈ R )的值域.

【例 14】求函数 f ( x ) = 【例 15】求函数 y =

( x + 5 )( x + 2 ) ( x ≠ ?1 )的值域.
x +1
的值域.

x+2 x +1

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湖南省示范高中——岳阳市岳化一中 2008 级高一数学培优材料

【例 16】求函数 y =

x2 +2 x+2 x +1

的值域.

四、判别式法:
【例 17】求函数 y = 【例 18】求函数 y =

5x 2 + 8x + 5 的值域. x2 + 1
x +1 x2 +2 x+2

的值域.
ax 2 + 8 x + b

【例 19】函数 f ( x ) = log 3

x 2 +1

的定义域为 ( ?∞, +∞ ) ,值域为 [0, 2] ,求 a, b 的值.

【例 20】设函数 y = f ( x ) = ax + b 的值域为 [? 1,5] ,求 a,b . x2 + 2
2 【例 21】已知函数 y=f(x)= 2 x + bx + c (b < 0) 的值域为[1,3],求实数 b,c 的值.

x2 + 1

五、方程有解法:用方程法求解函数值域是指利用方程有解的条件求函数值的取值范围 即值域的方法,其理论依据是:定理 1:函数 y = f (x ) (定义域为 D f )的值域是使关于 定理 :

x 的方程 f ( x) = y 有属于 D f 的解的 y 值的集合 定理 2:若 值的集合. :
函数 y =

f ( x) 为最简有理分式, 为最简有理分式,则 g ( x)

f ( x) 值的集合. 的值域是使关于 x 的方程 y ? g ( x ) = f ( x ) 有解的 y 值的集合 g ( x)
ex ?1 的值域. ex + 1

【例 22】求函数 y =

【例 23】求函数 y =

1? x 的值域. 2x + 5

六、数形结合法: 【例 24】求函数 y = x ? 1 + x ? 3 的值域.
【例 25】求函数 y = x ? 3 ? x + 1 的值域. 【例 26】求函数 y =

x 2 + 4 x + 5 + x 2 ? 4 x + 8 的值域. x 2 + 2 x + 5 ? x 2 + 2 x + 2 的最大值.

【例 27】求函数 f ( x ) =

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