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高中数学 (3.3.1 两条直线的交点坐标)示范教案 新人教A版必修2


3.3

直线的交点坐标与距离公式 两条直线的交点坐标
整体设计

3.3.1

教学分析 本节课从知识内容来说并不是很难, 但从解析几何的特点看, 就需要培养学生如何利用 直线方程来讨论其特点, 得到直线交点, 以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系. 在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭

示两直线方程联立解的情况, 从而 判定两直线的位置特点, 设置平面内任意两直线方程组解的情况的讨论, 为课题引入寻求理 论上的解释,使学生从熟悉的平面几何的直观定义深入到准确描述这三类情况.在教学过程 中,应强调用交点个数判定位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的一致性. 三维目标 1.掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系, 并且会通过直线方程 系数判定解的情况,培养学生树立辩证统一的观点. 2.当两条直线相交时,会求交点坐标.培养学生思维的严谨性,注意学生语言表述能力的训 练. 3.学生通过一般形式的直线方程解的讨论,加深对解析法的理解,培养转化能力. 4.以“特殊”到“一般”, 培养学生探索事物本质属性的精神, 以及运动变化的相互联系的 观点. 重点难点 教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点. 教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.作出直角坐标系中两条直线,移动其中一条直线,让学生观察这两条直线的位置关 系. 课堂设问:由直线方程的概念,我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系,那如果 两直线相交于一点, 这一点与这两条直线的方程有何关系?你能求出它们的交点坐标吗?说 说你的看法. 思路 2.你认为该怎样由直线的方程求出它们的交点坐标?这节课我们就来研究这个问题. 推进新课 新知探究 提出问题 ①已知两直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,如何判断这两条直线的关系? ②如果两条直线相交,怎样求交点坐标?交点坐标与二元一次方程组有什关系? ③解下列方程组(由学生完成):

?2 x ? 6 y ? 3 ? 0, ?2 x ? 6 y ? 0, ?3x ? 4 y ? 2 ? 0, ? ? (ⅰ) ? ; (ⅱ) ? ; (ⅲ) ? 1 1 1 1 . y ? x ? y ? x ? ?2 x ? y ? 2 ? 0 ? ? 3 2 3 2 ? ?
如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系?

1

④当 λ 变化时, 方程 3x+4y-2+λ (2x+y+2)=0 表示什么图形, 图形有什么特点?求出图形的 交点坐标. 讨论结果:①教师引导学生先从点与直线的位置关系入手,看下表,并填空. 几何元素及关系 点A 直线 l 点 A 在直线上 直线 l1 与 l2 的交点 A ②学生进行分组讨论,教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组的关 系. 设两条直线的方程是 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, 如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯一 公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线 l1 和 l2 的交点,因此,两条直线是否有交点,就要 看这两条直线方程所组成的方程组 ? 代数表示 A(a,b) l:Ax+By+C=0

? ? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, 是否有唯一解. ? ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0

(ⅰ)若二元一次方程组有唯一解,则 l1 与 l2 相交; (ⅱ)若二元一次方程组无解,则 l1 与 l2 平行; (ⅲ)若二元一次方程组有无数解,则 l1 与 l2 重合.即

?l1、l 2 相交, ?唯一解 转化 ? ? 直线 l1、l2 联立得方程组 ?无穷多解? ?l1、l 2 重合, ?无解 ? ? ?l1、l 2 平行.
(代数问题) (几何问题) ③引导学生观察三组方程对应系数比的特点: (ⅰ)

2 ?6 3 2 ?6 1 3 4 ? ;(ⅲ) ? ≠ ;(ⅱ) ? ≠ . 1 1 1 2 1 ?1 ?1 1 3 2 3 2

一般地,对于直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B2C2≠0),有

? A1 B ? 1 ? l1 l 2 相交, ?唯一解 ? A2 B2 ? ? A1 B C ? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0? ? 方程组 ? ? 1 ? 1 ? l1 l 2 重合, . ?无穷多解 ? A2 B2 C 2 ? ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0? ? A B C ?无解 ? 1 ? 1 ? 1 ? l1 l 2 平行. ? A2 B2 C 2 ?
注意:(a)此关系不要求学生作详细的推导,因为过程比较繁杂,重在应用. (b)如果 A1,A2,B1,B2,C1,C2 中有等于零的情况, 方程比较简单, 两条直线的位置关系很容易确 定. ④(a)可以用信息技术,当 λ 取不同值时,通过各种图形,经过观察,让学生从直观上得出 结论,同时发现这些直线的共同特点是经过同一点. (b)找出或猜想这个点的坐标,代入方程,得出结论.
2

(c)结论:方程表示经过这两条直线 l1 与 l2 的交点的直线的集合. 应用示例 例 1 求下列两直线的交点坐标,l1:3x+4y-2=0,l2:2x+y+2=0. 解:解方程组 ?

?3x ? y ? 2 ? 0, 得 x=-2,y=2,所以 l1 与 l2 的交点坐标为 M(-2,2). ?2 x ? y ? 2 ? 0,

变式训练 求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程.l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0. 解:解方程组 x-2y+2=0, 2x-y-2=0,得 x=2y=2,所以 l1 与 l2 的交点是(2,2). 设经过原点的直线方程为 y=kx,把点(2,2)的坐标代入以上方程,得 k=1,所以所求直线方程 为 y=x. 点评:此题为求直线交点与求直线方程的综合运用,求解直线方程也可应用两点式. 例 2 判断下列各对直线的位置关系.如果相交,求出交点坐标. (1)l1:x-y=0,l2:3x+3y-10=0. (2)l1:3x-y+4=0,l2:6x-2y-1=0. (3)l1:3x+4y-5=0,l2:6x+8y-10=0. 活动:教师让学生自己动手解方程组,看解题是否规范,条理是否清楚,表达是否简洁,然 后再进行讲评.

5 ? x ? , ? ? x ? y ? 0, ? 3 解:(1)解方程组 ? 得? ?3x ? 3 y ? 10 ? 0, ? y ? 5 . ? 3 ?
(2)解方程组 ?

所以 l1 与 l2 相交,交点是(

5 5 , ). 3 3

?3x ? y ? 4 ? 0, ?6 x ? 2 y ? 1 ? 0,

(1) (2)

①×2-②得 9=0,矛盾,方程组无解,所以两直线无公共点,l1∥l2. (3)解方程组 ?

?3x ? 4 y ? 5 ? 0, ?6 x ? 8 y ? 10 ? 0,

(1) (2)

①×2 得 6x+8y-10=0.

因此,①和②可以化成同一个方程,即①和②表示同一条直线,l1 与 l2 重合. 变式训练 判定下列各对直线的位置关系,若相交,则求交点. (1)l1:7x+2y-1=0,l2:14x+4y-2=0. (2)l1:( 3 - 2 )x+y=7,l2:x+( 3 + 2 )y-6=0. (3)l1:3x+5y-1=0,l2:4x+3y=5. 答案:(1)重合,(2)平行,(3)相交,交点坐标为(2,-1). 例 3 求过点 A(1,-4)且与直线 2x+3y+5=0 平行的直线方程. 解法一:∵直线 2x+3y+5=0 的斜率为-

2 2 ,∴所求直线斜率为- .又直线过点 A(1,-4), 3 3

由直线方程的点斜式易得所求直线方程为 2x+3y+10=0. 解法二:设与直线 2x+3y+5=0 平行的直线 l 的方程为 2x+3y+m=0,∵l 经过点 A(1,- 4),

3

∴2×1+3×(-4)+m=0.解之,得 m=10.∴所求直线方程为 2x+3y+10=0. 点评:解法一求直线方程的方法是通法,须掌握.解法二是常常采用的解题技巧.一般地,直 线 Ax+By+C=0 中系数 A、 B 确定直线的斜率.因此, 与直线 Ax+By+C=0 平行的直线方程可 设为 Ax+By+m=0,其中 m 待定.经过点 A(x0,y0),且与直线 Ax+By+C=0 平行的直线方程 为 A(x-x0)+B(y-y0)=0. 变式训练 求与直线 2x+3y+5=0 平行, 且在两坐标轴上截距之和为

5 的直线方程. 答案: 2x+3y-1=0. 6

知能训练 课本本节练习 1、2. 拓展提升 问题:已知 a 为实数,两直线 l1:ax+y+1=0,l2:x+y-a=0 相交于一点,求证:交点不可能在第 一象限及 x 轴上. 分析:先通过联立方程组将交点坐标解出,再判断交点横、纵坐标的范围.

a ?1 ? x?? , ? ?ax ? y ? 1 ? 0, a2 ?1 ? a ?1 解:解方程组 ? ,得 ? .若 >0,则 a>1. 2 a ?1 ?x ? y ? a ? 0 ? y ? a ? 1. ? a ?1 ?
当 a>1 时,-

a ?1 <0,此时交点在第二象限内. a ?1
2

又因为 a 为任意实数时,都有 a +1≥1>0,故 因为 a≠1(否则两直线平行,无交点), 所以交点不可能在 x 轴上,交点(-

a2 ?1 ≠0. a ?1

a ?1 a2 ?1 , )不在 x 轴上. a ?1 a ?1

课堂小结 本节课通过讨论两直线方程联立方程组来研究两直线的位置关系, 得出了方程系数比的 关系与直线位置关系的联系.培养了同学们的数形结合思想、 分类讨论思想和转化思想.通过 本节学习, 要求学生掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系, 并 且会通过直线方程系数判定解的情况,培养学生树立辩证统一的观点.当两条直线相交时, 会求交点坐标.注意语言表述能力的训练.通过一般形式的直线方程解的讨论, 加深对解析法 的理解,培养转化能力.以“特殊”到“一般”,培养探索事物本质属性的精神,以及运动 变化的相互联系的观点. 作业 课本习题 3.3 A 组 1、2、3,选做 4 题. 设计感想 本节课从知识内容来说并不是很难, 但从解析几何的特点看, 就需要培养学生如何利用 直线方程来讨论其特点, 得到直线交点, 以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系. 在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况, 从而 判定两直线位置特点, 其实质是直线方程 Ax+By+C=0 中 A、 B、 C 就表示了直线的本质属性. 还要注重研究方法的探讨,为学习下一章圆锥曲线时,对于曲线交点的研究打基础.

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