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山东省青岛二中2013届高三10月数学理试题


山东省青岛二中 2013 届高三 10 月份阶段性检测试题

理科数学试题
说明:本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 150 分;答题时间 120 分钟。

第Ⅰ卷
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的 括号内(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分)

。 1. ( x 2 ? 2)(

1 ? 1)5 的展开式的常数项是 2 x





A.-3 B.-2 C.2 D.3 2.四棱锥的 8 条棱代表 8 种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的, 没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的 4 个仓库存放这 8 种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为 ( ) A.96 B.48 C.24 D.0 3.甲:A1、A2 是互斥事件;乙:A1、A2 是对立事件,那么 ( ) A.甲是乙的充分但不必要条件 B.甲是乙的必要但不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件 4.采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查,为此将他们随机编号为 1,2,…,960,分组后在 第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32 人中,编号落入区间 ?1, 450 ? 的人做问卷

A ,编号落入区间 ? 451, 750? 的人做问卷 B ,其余的人做问卷 C .则抽到的人中,做问卷 B 的人数
为 ( A.7 B.9 C.10 D.15 5.在正方体上任选 3 个顶点连成三角形,则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为 ( A. ) )

1 7

B.

2 7

C.

3 7

D.

4 7

6.在三维柱形图中,主对角线上两个柱形高度的乘积与副对角线上的两个柱形的高度的乘积相差越大两 个变量有关系的可能性就 ( ) A.越大 B.越小 C.无法判断 D.以上都不对 7.小波一星期的总开支分布图如图 1 所示,一星期的食品开支如图 2 所示,则小波一星期的鸡蛋开支占 总开支的百分比为 ( )

A.30% B.10% C.3% D.不能确定 8.某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数为 10, 方差为 2,则|x-y|的值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 9.在一组样本数据(x1,y1)(x2,y2) , ,…, n,yn) (x (n≥2,x1,x2,…,xn 不全相等)的散点图中,若所有样 1 本点(xi,yi) (i=1,2,…,n)都在直线 y=2x+1 上,则这组样本数据的样本相关系数为 ( A.-1 10.设不等式组 ? B.0 1 C.2 D.1 )

?0 ? x ? 2, ,表示平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大 ?0 ? y ? 2
( B. )

于 2 的概率是 A.

? 4
2 2

? ?2
2

C.

? 6

D.

4 ?? 4

11.方程 ay ? b x ? c 中的 a, b, c ?{?3, ?2,0,1, 2,3} ,且 a, b, c 互不相同,在所有这些方程所表示的曲线 中,不同的抛物线共有 A.60 条 B.62 条 C.71 条 D.80 条 12.在半径为 R 的圆周上任取 A、B、C 三点,试问三角形 ABC 为锐角三角形的概率 A. ( ( ) )

3 10

1 B. 4

C.

2 5

D.

4 5

第Ⅱ卷
二、填空题:请把答案填在题中横线上(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 。 13.某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 1 人),其中甲和乙不同去,甲和丙只 能同去或同不去,则不同的选派方案共有 种。 14.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛,若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项 目完全相同的概率是 (结果用最简分数表示) 。 15.下图是根据部分城市某年 6 月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直方图,其中平均 气温的范围是[20.5,26.5] ,样本数据的分组为 [20.5,21.5) ,[21.5,22.5) ,[22.5,23.5) ,[23.5,24.5) , [24.5,25.5) , [25.5,26.5] .已知样本中平均气温低于 22.5℃的城市个数为 11,则样本中平均气温不 低于 25.5℃的城市个数为 ;

16.某渔船要对下月是否出海做出决策,如出海后遇到好天气,可得收益 6000 元,如出海后天气变坏将 损失 8000 元,若不出海,无论天气如何都将承担 1000 元损失费,据气象部门的预测下月好天的概率 为 0.6,天气变坏的概率为 0.4,则该渔船应选择_____________(填“出海”或“不出海”) . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 个大题,共 76 分) 。 17. (12 分)假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解他们的使用寿命,现从两 种品牌的产品中分别随机抽取 100 个进行测试,结果统计如下:

(Ⅰ)估计甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率; (Ⅱ)这两种品牌产品中, ,某个产品已使用了 200 小时,试估计该产品是甲品牌的概率。

18. (12 分)某单位最近组织了一次健身活动,活动分为登山组和游泳组,且每个职工至多参加了其中一 组。在参加活动的职工中,青年人占 42.5%,中年人占 47.5%,老年人占 10%。登山组的职工占 参加活动总人数的

1 ,且该组中,青年人占 50%,中年人占 40%,老年人占 10%。为了了解各组不 4

同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度,现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个 容量为 200 的样本。试确定 (Ⅰ)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别所占的比例; (Ⅱ)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数。

19. (12 分)在某校举行的数学竞赛中,全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布 N (70,100) 。已知成 绩在 90 分以上(含 90 分)的学生有 12 名。

(Ⅰ) 、试问此次参赛学生总数约为多少人? (Ⅱ) 若该校计划奖励竞赛成绩排在前 50 名的学生, 、 试问设奖的分数线约为多少分?可共查阅的 (部分) 标准正态分布表 ?( x0 ) ? P( x ? x0 )

x0

0 0.88 49

1 0.88 69 0.90 49 0. 9207 0.97 19 0. 9778 0.982 6

2

3

4

5 0.89 44 0.91 15 0. 9265 0. 9744 0. 9798 0.98 42

6 0.896 2 0.91 31 0. 9278 0. 9750 0.98 03 0.98 46

7 0.89 80 0. 9147 0. 9292 0. 9756 0.98 08 0.98 50

8 0. 8997 0.916 2 0.93 06 0. 9762 0.98 12 0.98 54

9 0.90 15 0.91 77 0.93 19 0. 9767 0.981 7 0. 9857

1. 2 1. 3 1. 4 1. 9 2. 0 2. 1

0.90 32 0. 9192 0.97 13 0. 9772 0.982 1

0.888 0.90 66 0. 9222 0. 9726 0. 9783 0.98 30

0. 8907 0.908 2 0. 9236 0. 9732 0. 9788 0.98 34

0. 8925 0.90 99 0. 9251 0. 9738 0. 9793 0.98 38

20. (12 分)近年来,某市为了促进生活垃圾的风分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他 垃圾三类,并分别设置了相应分垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类 垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨) : “厨余垃圾”箱 厨余垃圾 可回收物 其他垃圾 400 30 20 “可回收物”箱 100 240 20 “其他垃圾”箱 100 30 60

(Ⅰ)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (Ⅱ)试估计生活垃圾投放错误额概率; (Ⅲ)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为 a, b, c 其中 a>0, ,并求此时 s 2 的 a ? b ? c =600。当数据 a, b, c 的方差 s 2 最大时,写出 a, b, c 的值(结论不要求证明) 值。 (注: s 2 ?

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ? ? ( xn ? x)2 ] ,其中 x 为数据 x1 , x2 ,? , xn 的平均数) n

21. (12 分)根据以往的经验,某工程施工期间的降水量 X(单位:mm)对工期的影响如下表: 历年气象资料表明,该工程施工期间降水量 X 小于 300,700,900 的概率分别为 0.3,0.7,0.9.求:

降水量 X 工期延误天数 Y

X ? 300

300 ? X ? 700

700 ? X ? 900

X ? 900

0

2

6

10

(Ⅰ)工期延误天数 Y 的均值与方差; (Ⅱ)在降水量 X 至少是 300 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率。

22. (14 分)某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是 A 类型试题,则使用后该试 题回库,并增补一道 A 类试题和一道 B 类型试题入库,此次调题工作结束;若调用的是 B 类型试题, 则使用后该试题回库, 此次调题工作结束。 试题库中现共有 n ? m 道试题, 其中有 n 道 A 类型试题和 m 道 B 类型试题,以 X 表示两次调题工作完成后,试题库中 A 类试题的数量。 (Ⅰ)求 X ? n ? 2 的概率; (Ⅱ)设 m ? n ,求 X 的分布列和均值(数学期望) 。

参考答案
一、选择题 1.D; 2.B;3.B;4.C;5.C;6.A;7.C;8.D;9.D;10.D;11.B; ;12.B; 二、填空题 13.600;14. 三、解答题 17.解:

2 ;15.9;16.出海; 3

18.解: (Ⅰ)设登山组人数为 x ,游泳组中,青年人、中年人、老年人各占比例分别为 a、b、c,则有

x ? 40% ? 3xb x ? 10% ? 3xc ? 47.5% , ? 10% ,解得 b=50%,c=10%. 4x 4x
故 a=100%-50%-10%=40%,即游泳组中,青年人、中年人、老年人各占比例分别为 40%、 50%、10%。 (Ⅱ)游泳组中,抽取的青年人数为 200 ? ? 40% ? 60 (人) ;

3 4

3 4 3 抽取的老年人数为 200 ? ? 10%=15(人) 。 4
抽取的中年人数为 200 ? ? 50%=75(人) ; 19.解: (Ⅰ)设参赛学生的分数为 ? ,因为 ? ~N(70,100) ,由条件知, P( ? ≥90)=1-P( ? <90)=1-F(90)=1- ? (

90 ? 70 ) =1- ? (2)=1-0.9772=0.228. 10

这说明成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生人数约占全体参赛人数的 2.28%,因此, 参赛总人数约为

12 ≈526(人) 。 0.0228

(Ⅱ)假定设奖的分数线为 x 分,则 P( ? ≥x)=1-P( ? <x)=1-F(90)=1- ? ( 即? (

x ? 70 50 =0.0951, )= 10 526

x ? 70 x ? 70 ≈1.31,解得 x=83.1. ) =0.9049,查表得 10 10

故设奖得分数线约为 83.1 分。

20.解: )由题意可知: (?

400 2 = 600 3 。 200+60+40 3 (?)由题意可知: = 1000 10 。 1 (?)由题意可知: s 2 ? (a 2 ? b2 ? c 2 ? 120000) ,因此有当 a ? 600 , b ? 0 , c ? 0 时,有 s2 ? 80000 . 3

21. (Ⅰ)由已知条件和概率的加法公式有: P( X ? 300) ? 0.3, P(300 ? X ? 700) ? P( X ? 700) ? P( X ? 300) ? 0.7 ? 0.3 ? 0.4 , P(700 ? X ? 900) ? P( X ? 900) ? P( X ? 700) ? 0.9 ? 0.7 ? 0.2 . P( X ? 900) ? 1 ? P( X ? 900) ? 1 ? 0.9 ? 0.1 . 所以 Y 的分布列为: 于是,

Y
P

0 0.3

2 0.4

6 0.2

10 0.1

E(Y ) ? 0 ? 0.3 ? 2 ? 0.4 ? 6 ? 0.2 ? 10 ? 0.1 ? 3 ;

D(Y ) ? (0 ? 3)2 ? 0.3 ? (2 ? 3)2 ? 0.4 ? (6 ? 3)2 ? 0.2 ? (10 ? 3) 2 ? 0.1 ? 9.8 .
故工期延误天数 Y 的均值为 3,方差为 9.8 . (Ⅱ)由概率的加法公式, P( X ? 300) ? 1 ? P( X ? 300) ? 0.7, 又 P(300 ? X ? 900) ? P( X ? 900) ? P( X ? 300) ? 0.9 ? 0.3 ? 0.6 . 由条件概率,得 P(Y ? 6 X ? 300) ? P( X ? 900 X ? 300) ?
P(300 ? X ? 900) 0.6 6 ? ? . P( X ? 300) 0.7 7
6 。 7

故在降水量 X 至少是 300 mm 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率是 22.解: (I) X ? n ? 2 表示两次调题均为 A 类型试题,概率为 (Ⅱ) m ? n 时,每次调用的是 A 类型试题的概率为 p ? 随机变量 X 可取 n, n ? 1, n ? 2

n n ?1 ? m?n m?n?2

1 , 2

1 1 1 , P( X ? n ? 1) ? 2 p(1 ? p) ? , P( X ? n ? 2) ? p 2 ? 4 2 4 n n ?1 n?2 X 1 1 1 P 4 2 4 1 1 1 EX ? n ? ? (n ? 1) ? ? (n ? 2) ? ? n ? 1 。 4 2 4 n n ?1 答: (Ⅰ) X ? n ? 2 的概率为: , ? m?n m?n?2 (Ⅱ)求 X 的均值为 n ? 1。 P( X ? n) ? (1 ? p) 2 ?


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