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高中数学选修2-1公开课课件2.2.2椭圆的简单几何性质


2.1.2椭圆的简单 几何性质(一)

复习引入
1. 椭圆的定义是什么?

复习引入
1. 椭圆的定义是什么?
2. 椭圆的标准方程是什么?

讲授新课
利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质
以焦点在x轴上的椭圆为例
x y ? 2 ? 1 (a>b>0

). 2 a b
2 2

讲授新课
1.范围
x y ? 2 ? 1 (a>b>0). 2 a b
2 2

椭圆上点的坐标(x, y)都适合不等式 2 2 y y x ? 1, ? 1, 2 2 b B2 b a
A1 -a F1 O
-b B1 F2 A2 a x

讲授新课
1.范围
x y ? 2 ? 1 (a>b>0). 2 a b
2 2

椭圆上点的坐标(x, y)都适合不等式 2 2 y y x ? 1, ? 1, 2 2 b B2 b a 即x2≤a2,y2≤b2, A1 A2 ∴|x|≤a,|y|≤b. -a F1 O F2 a x 椭圆位于直线x=±a和 -b B1 y=±b围成的矩形里.

讲授新课
2.对称性
x y ? 2 ? 1 (a>b>0). 2 a b
2 2

y

F1 O

F2

x

讲授新课
2.对称性
x y ? 2 ? 1 (a>b>0). 2 a b 在椭圆的标准方程里,把x换成-x,或 把y换成-y,或把x、y同时换成-x、-y时, 方程有变化吗?这说明什么? y
2 2

F1 O

F2

x

讲授新课
2.对称性
x y ? 2 ? 1 (a>b>0). 2 a b 在椭圆的标准方程里,把x换成-x,或 把y换成-y,或把x、y同时换成-x、-y时, 方程有变化吗?这说明什么? y 椭圆关于y轴、x轴、原点 都是对称的. 坐标轴是椭圆的对称轴. F1 O F2 x 原点是椭圆的对称中心. 椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.
2 2

讲授新课
3.顶点 只须令x=0,得y=±b,点B1(0,-b)、 B2(0, b)是椭圆和y轴的两个交点;令y=0, 得x=±a,点A1(-a,0)、A2(a,0)是椭圆和 y x轴的两个交点.
B2

x y ? 2 ? 1 (a>b>0). 2 a b

2

2

A1

F1 O B1

F2

A2

x

讲授新课
3.顶点 只须令x=0,得y=±b,点B1(0,-b)、 B2(0, b)是椭圆和y轴的两个交点;令y=0, 得x=±a,点A1(-a,0)、A2(a,0)是椭圆和 y x轴的两个交点.
B2

x y ? 2 ? 1 (a>b>0). 2 a b

2

2

A1

F1 O B1

F2

A2

x

讲授新课
3.顶点 只须令x=0,得y=±b,点B1(0,-b)、 B2(0, b)是椭圆和y轴的两个交点;令y=0, 得x=±a,点A1(-a,0)、A2(a,0)是椭圆和 y x轴的两个交点.
椭圆有四个顶点: A1 A2 A1(-a, 0)、 A2(a, 0)、 x F1 O F2 B1(0, -b)、B2(0, b). B
1

B2

椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点.

讲授新课
3.顶点 线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和 短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.
y B2 A1 b F1 O c F2 A2 x

B1

讲授新课
3.顶点 线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和 短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b. a叫做椭圆的长半轴长. b叫做椭圆的短半轴长.
A1 y B2 b F1 O c F2 A2 x

B1

讲授新课
3.顶点 线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和 短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b. a叫做椭圆的长半轴长. b叫做椭圆的短半轴长. |B1F1|=|B1F2|=|B2F1| =|B2F2|=
A1 y B2 b F1 O c F2 A2 x

B1

讲授新课
3.顶点 线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和 短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b. a叫做椭圆的长半轴长. b叫做椭圆的短半轴长. |B1F1|=|B1F2|=|B2F1| =|B2F2|=a.
y B2 a b A1 A2 x F1 O c F2

B1

讲授新课
3.顶点 线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和 短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b. a叫做椭圆的长半轴长. b叫做椭圆的短半轴长. |B1F1|=|B1F2|=|B2F1| =|B2F2|=a.
y B2 a b A1 A2 x F1 O c F2

在Rt△OB2F2中, |OF2|2=|B2F2|2-|OB2|2,即c2=a2-b2.

B1

讲授新课
小 结:
由椭圆的范围、对称性和顶点, 再进行描点画图,只须描出较少的 点,就可以得到较正确的图形.

讲授新课
4.离心率 c 椭圆的焦距与长轴长的比 e ? ,叫做 a 椭圆的离心率.∵a>c>0, ∴0<e<1.
y

O

x

讲授新课
4.离心率 c 椭圆的焦距与长轴长的比 e ? ,叫做 a 椭圆的离心率.∵a>c>0, ∴0<e<1.
y

O

x

讲授新课
4.离心率 c 椭圆的焦距与长轴长的比 e ? ,叫做 a 椭圆的离心率.∵a>c>0, ∴0<e<1.
y

O

x

讲授新课
4.离心率 c 椭圆的焦距与长轴长的比 e ? ,叫做 a 椭圆的离心率.∵a>c>0, ∴0<e<1.
y

O

x

讲授新课
4.离心率 c 椭圆的焦距与长轴长的比 e ? ,叫做 a 椭圆的离心率.∵a>c>0, ∴0<e<1.
y

O

x

讲授新课
4.离心率 c 椭圆的焦距与长轴长的比 e ? ,叫做 a 椭圆的离心率.∵a>c>0, ∴0<e<1.
y

O

x

讲授新课
4.离心率 c 椭圆的焦距与长轴长的比 e ? ,叫做 a 椭圆的离心率.∵a>c>0, ∴0<e<1.
y

O

x

讲授新课
4.离心率 c 椭圆的焦距与长轴长的比 e ? ,叫做 a 椭圆的离心率.∵a>c>0, ∴0<e<1.
(1)当e越接近1时,c越接近a,从而b ? a ? c y 越小,因此椭圆越扁;
2 2

O

x

讲授新课
4.离心率 c 椭圆的焦距与长轴长的比 e ? ,叫做 a 椭圆的离心率.∵a>c>0, ∴0<e<1.
(1)当e越接近1时,c越接近a,从而b ? a ? c 越小,因此椭圆越扁;
2 2

( 2)当e越接近0时,c越接近0,从而b越接近a, 因此椭圆越接近于圆;

讲授新课
4.离心率 c 椭圆的焦距与长轴长的比 e ? ,叫做 a 椭圆的离心率.∵a>c>0, ∴0<e<1.
(1)当e越接近1时,c越接近a,从而b ? a ? c 越小,因此椭圆越扁;
2 2

( 2)当e越接近0时,c越接近0,从而b越接近a, 因此椭圆越接近于圆;

( 3)当且仅当a ? b时,c ? 0,两焦点重合, 2 2 2 图形变为圆,方程成为 x ? y ?a .

讲授新课
练习 教科书P.41练习第5题.

讲授新课
例1 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴
的长、离心率、焦点和顶点的坐标.

讲授新课
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1) 经过点P(-3, 0)、Q(0,- 2);

3 ( 2) 长轴的长等于 20,离心率等于 . 5

讲授新课
练习 求经过点P (4, 1),且长轴长是短轴 长的2倍的椭圆的标准方程.

讲授新课
练习 求经过点P (4, 1),且长轴长是短轴 长的2倍的椭圆的标准方程.

: 解:若焦点在x轴上,设椭圆方程为 2 2 x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 2 a b

讲授新课
练习 求经过点P (4, 1),且长轴长是短轴 长的2倍的椭圆的标准方程.

: 解:若焦点在x轴上,设椭圆方程为 2 2 x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 2 a b
? a ? 2b ? 依题意有: ? 16 1 ? 2 ?1 2 ? b ?a

讲授新课
练习 求经过点P (4, 1),且长轴长是短轴 长的2倍的椭圆的标准方程.

: 解:若焦点在x轴上,设椭圆方程为 2 2 x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 2 a b ?a ? 2 5 ? a ? 2b ? 依题意有: 得: ? ? 16 1 ?b ? 5 ? ?1
2 ? a ?

b2

讲授新课
练习 求经过点P (4, 1),且长轴长是短轴 长的2倍的椭圆的标准方程.

: 解:若焦点在x轴上,设椭圆方程为 2 2 x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 2 a b ?a ? 2 5 ? a ? 2b ? 依题意有: 得: ? ? 16 1 ?b ? 5 ? ?1
2 ? a ?

b2
2

x y 故椭圆方程为: ? ? 1. 20 5

2

讲授新课
练习 求经过点P (4, 1),且长轴长是短轴 长的2倍的椭圆的标准方程.
解: 若焦点在y轴上,

讲授新课
练习 求经过点P (4, 1),且长轴长是短轴 长的2倍的椭圆的标准方程.
解: 若焦点在y轴上,

同理求得椭圆方程为:

讲授新课
练习 求经过点P (4, 1),且长轴长是短轴 长的2倍的椭圆的标准方程.
解: 若焦点在y轴上,

y 4x 同理求得椭圆方程为: ? ? 1. 65 65

2

2

讲授新课
练习 求经过点P (4, 1),且长轴长是短轴 长的2倍的椭圆的标准方程.
解: 若焦点在y轴上,

y 4x 同理求得椭圆方程为: ? ? 1. 65 65 所以椭圆的标准方程为 :

2

2

讲授新课
练习 求经过点P (4, 1),且长轴长是短轴 长的2倍的椭圆的标准方程.
解: 若焦点在y轴上,

y 4x 同理求得椭圆方程为: ? ? 1. 65 65 所以椭圆的标准方程为 :
x y y x ? ? 1或 ? ? 1. 20 5 65 65 4
2 2 2 2

2

2

课外作业
1. 阅读教科书P.40-P.41; 2. 《习案》、《学案》十一.


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