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高二数学选修1-2、4-4综合测试题


高二数学选修 1-2、4-4 测试题(文科)
考试时间 120 分钟,满分 150 分 一、选择题(共 12 道题,每题 5 分,共 60 分) 5-i 1.设 i 为虚数单位,则复数 =( ) 1+i A.-2-3i B.-2+3i C.2-3i 2.已知 x 与 y 之间的一组数据:

C. ? ? 18sin(

?

/>3

- ?)

D. ? ? 9cos ( ) C. 8

?
3

- ?)

x ? 5 cos? ? 9. 曲线 ? ( 为参数)的焦距是 ( ? ? y ? 4 sin ? A.3 B.6

D. 10 )

10.在同一坐标系中,将曲线 y ? 2 sin 3x 变为曲线 y ? sin x 的伸缩变换是( D.2+3i 3 7 ) 11.若实数 x 、 y 满足: )
' ? ? x ? 3x A.? ' ? ?y ? 2y ' ? ? x ? 3x B.? ' ? ?y ? 2y

x y

0 1

1 3
? ?

2 5
?

? x ' ? 3x ? C.? ' 1 ?y ? y 2 ?

? x ? 3x ' ? D.? 1 ' ?y ? y 2 ?
)

则 y 与 x 的线性回归方程为 y ? b x ? a 必过点( A .(2,2) B. (1.5 ,4) C.(1.5 ,0) D.(1,2)

3.实数系的结构图为右图所示其中 1、2、3 三个方格中的内容分别为( A. 有理数、整数、零 B. 有理数、零、整数 C. 零、有理数、整数 D. 整数、有理数、零

x2 y 2 ? ? 1 ,则 x + y + 10 的取值范围是( 16 9

4.用反证法证明命题“ 若a ? b ? 0, 则a、b全为0(a、b ? R)”,其反设正确的是(
2 2

)

A.[5,15] B.[10,15] C.[ -15,10] D.[ -15,35] 12.在整数集 Z 中,被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类” ,记为[k], 即 [k]={5n+k 丨 n∈Z},k=0,1,2,3,4。 给出如下四个结论: ① 2013∈[3] ②-3∈[2]; ③ Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4] ④“整数 a,b 属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]” 。 其中正确结论的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题(共 4 道题,每题 5 分,共 20 分) 13.计算:12 ? |3+4i|-10 ? (i

A. a、b至少有一个为0 C. a、b全不为0
2

B. a、b至少有一个不为0 D. a、b中只有一个为0 )

+i )=______ . (其中 i 为虚数单位) ? 2 2 2 2 14.曲线 6? sin ? ? 7 ? cos ? ? 8 关于直线 ? ? 对称的曲线的极坐标方程是 . 4
15.圆锥曲线 ?

2010

+i

2011

+i

2012

2013

5.若复数 z ? (a ? 2a ? 3) ? (a ? 3)i 为纯虚数( i 为虚数单位) ,则实数 a 的值是( A. ? 3 B. ? 3 或 1 C. 3 或 ? 1 D. 1 )

? x ? 3 sec? ??为参数? 的离心率是 y ? 4 tan ? ?

.

? r , 若 将 r 看 作 (0, + ∞) 上 的 变 量 , 则 有 16. 半 径 为 r 的 圆 的 面 积 S (r ) ? ? r 2 , 周 长 C ( r )? 2
1 : (? r )? ? 2? r ,○ 1 式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。 ○
2

6.设有一个回归方程为 y=2-3x,变量 x 增加 1 个单位时,则 y 平均( A.增加 2 个单位 B.减少 2 个单位 C.增加 3 个单位

D.减少 3 个单位

7.设点 P 对应的复数为 ? 3 ? 3i ,以原点为极点,实轴正半轴为极轴建立极坐标系, 则点 P 的极坐标可能为( A. (3, )

对于半径为 R 的球,若将 R 看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于○ 1 的式子: (已知球的体积公式为:

8. 极坐标系中,以(9,

? )为圆心,9 为半径的圆的极坐标方程为( 3 ? ? A. ? ? 18cos ( - ?) B. ? ? ?18cos ( - ?) 3 3

3 ?) 4

B. (3,

5 ?) 4

C. ( 3 2 ,

3 ?) 4

D. ( 3 2 , )

5 ?) 4

V球 ? 4 ? R 3 ) 3

三、 解答题(共 6 道题,共 70 分) 17.(本题满分 12 分) (1)把下列的极坐标方程化为直角坐标方程(并说明对应的曲线): ○ 1 ? ? ?4cos? ? 2sin?

? ?cos (? ? ) ? 2
○ 2

4

-1-

(2)把下列的参数方程化为普通方程(并说明对应的曲线) :

?x ? 4tan? (?为参数) ? y ? 3 sec ? ? ○ 3

? x ? sin? (?为参数) ? 2 y ? cos ? 7 ? ○ 4

(2)设 l 与圆 C 相交于 A、B 两点,求 | PA | ? | PB | 的值。

18.(本题满分 12 分) 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究,他们分别记 录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 棵种子中的发芽数,得到如下资料: 日期 温差 x(℃) 发芽 y(颗) 12 月 1日 10 23 12 月 2日 11 25 12 月 3日 13 30 12 月 4日 12 26 12 月 5日 8 16

21. (本题满分 12 分) 某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图(1) 、 (2) 、 (3) 、 (4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些 图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同) , 设第 n 个图形包含 f(n) 个小正方形.

该农科所确定的研究方案是:先从这 5 组数据中选取 3 组数据求线性回归方程, 剩下的 2 组数据用于回归方程检验.

b?
回归直线方程参考公式:

?x
i ?1 n i ?1

n

i

yi ? n x y
2 i

?x

? nx

2

,

?x ? ? y ?b a
? ? ?

(Ⅰ)求出

f(5)



(1)若选取的是 12 月 1 日和 12 月 5 日这两日的数据,

(Ⅱ)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出 (Ⅲ)根据你得到的关系式求 f(n) 的表达式. 22.(本题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,

f(n ? 1)



f(n)

的关系式,

请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? b x ? a ;
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗,则认为得到的线性回归 方程是可靠的,试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠? (3)请预测温差为 14℃的发芽数。

19. (本题满分 12 分)

曲线 C 的参数方程为

? ? x ? 3cos? (? 为参数) ? ? ? y ? sin? .

1 (1)已知:实数 a、b、c 满足 a+b+c=1,求证:a、b、c 中至少有一个数不大于 3 .
(2)已知:实数 a、b、c 满足 a+b+c=2013,求证:a、b、c 中至少有一个数不小于 671. (3)根据(1) (2)请猜想一般性的结论并证明。

(Ⅰ)已知在极坐标(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)

π 中,点 P 的极坐标为(4, 2 ) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系;
(Ⅱ)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最值. (Ⅲ)请问是否存在直线 m , m∥l 且 m 与曲线 C 的交点 A、B 满足 S ?AOB ?

3 ;若存在请求出满足题意的 4

20. (本题满分 10 分)

所有直线方程,若不存在请说明理由。

? x ? 4cos ? ? y ? 4sin ? ( ? 为参数) 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ? ,
直线 l 经过点 P(2,2) ,倾斜角
? ? ?
3



(1)写出圆的标准方程和直线 l 的参数方程;

-2-

高二数学选修 1-2、4-4 测试题(文科)参考答案
一、 选择题(共 12 道题,每题 5 分,共 60 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C B A B D D C 二、 填空题(共 4 道题,每题 5 分,共 20 分) 13、60 14、 6? 2 cos2? ? 7? 2sin 2? ? 8 15、
5 3

d d 。另一方面:假设 a、b、c 都小于 ,则 a+b+c<d,这与已知 a+b 3 3 d +c=d 矛盾。故 a、b、c 中至少有一个不小于 。 即猜想的结论成立。 3

c 中至少有一个不大于

8 A

9 B

10 C

11 A
3

12 D
2

2 2 20、解: (Ⅰ)圆的标准方程为 x ? y ? 16 .

? =4? R ( ?R ) 16、 3

4

三、解答题(共 6 道题,第 20 题 10 分,其余每题 12 分,共 70 分) 2 2 (y ? 1 ) ? 5 表示的曲线为圆。 17.(1)○ 1(x ? 2) ? 2 x+y=2 表示的曲线为直线。 ○ (2)○ 3
y2 x 2 ? ? 1 表示的曲线为双曲线。 9 16

1 ? ? ? x ? 2? t x ? 2 ? t cos ? ? 2 ? ? 3 直线 l 的参数方程为 ? ,即 ? ( t 为参数) ? y ? 2 ? t sin ? ?y ? 2 ? 3 t ? ? 3 ? ? 2
1 ? x ? 2? t ? 2 ? (Ⅱ)把直线的方程 ? 代入 x2 ? y 2 ? 16 , ?y ? 2 ? 3 t ? ? 2
1 3 2 得 (2 ? t ) 2 ? (2 ? t ) ? 16 , t 2 ? 2( 3 ? 1)t ? 8 ? 0 ,所以 t1t2 ? ?8 ,即 PA ? PB =8 . 2 2

4 y ? ?x 2 - 6 ( - 1 ? x ? 1) 表示的曲线为抛物线的一部分。 ○
^ ^ 5 18. (1)由数据求得, x =12, y =27,由公式求得.b=2,^ a= y -b x =-3.

5 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 ^ y=2x-3. 5 (2)当 x=10 时,^ y=2×10-3=22,|22-23|<2; 5 ^ 当 x=8 时, y=2×8-3=17, |17-16|<2. 所以该研究所得到的线性回归方程是可靠的. ^=5x-3=35-3=32 (3)当 x=14 时,有y 2 ,所以当温差为 14℃ 的发芽数约为 32 颗。

1 19. 解: (1)假设 a、b、c 都大于 ,则 a+b+c>1,这与已知 a+b+c=1 矛盾. 3 1 故 a、b、c 中至少有一个不大于 。 3 (2)假设 a、b、c 都小于 671,则 a+b+c<2013,这与已知 a+b+c=2013 矛盾.

21、解: (Ⅰ)f(1)=1, f(2)=5, f(3)=13, f(4)=25, ? f(5)=25+4×4=41. (Ⅱ)f(2)-f(1)=4=4×1. f(3)-f(2)=8=4×2, f(4)-f(3)=12=4×3, f(5)-f(4)=16=4×4, 由上式规律得出 f(n+1)-f(n)=4n. ? f(2)-f(1)=4×1, f(3)-f(2)=4×2, f(4)-f(3)=4×3, f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2) , f(n)-f(n-1)=4·(n-1) ? f(n)-f(1)=4[1+2+?+(n-2)+(n-1)]=2(n-1)·n, 2 ? f(n)=2n -2n+1 22、本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识。 解: (I)把极坐标系下的点
P (4,

?
2

)

故 a、b、c 中至少有一个不小于 671。 (3) 猜想:实数 a、b、c 满足 a+b+c=d, 则 a、b、c 中至少有一个数不大于 证明:一方面:假设 a、b、c 都大于
d d 且至少有一个不小于 . 3 3

化为直角坐标,得 P(0,4) 。因为点 P 的直角

坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x ? y ? 4 ? 0 , 所以点 P 在直线 l 上。 (II)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为 ( 3 cos ? ,sin ? ) ,从而点 Q 到直线 l 的距离为
| 3 cos ? ? sin ? ? 4 | d? ? 2 2 cos(? ? 2

d ,则 a+b+c>d,这与已知 a+b+c=d 矛盾.故 a、b、 3

?
6

)?4

? 2 cos(? ?

?
6

)?2 2



-3-

由此得,当

cos(? ?

?
6

) ? ?1

7、把正整数按下图所示的规律排序,则从 2003 到 2005 的箭头方向依次为(



时,d 取得最小值,且最小值为 2.

当 ( Ⅲ )

时,d 取得最大值,且最大值为 3 2.
( 选择题答案 1—7 DCABBDB )



l





线

m







x-y+n

=

0
二、解答题

8、若 x, y ? R, x ? 0, y ? 0, 且x ? y ? 2 ,求证:

椭圆与直线方程联立再 ,由弦长公式得 AB ?

2 3-

3n 4

2

1? x 1? y 和 中至少有一个小于 2. y x

设 O 到直线 m 的距

证明:假设它们都不小于 2,则有

离 为

d , 则 d ?

n 2

, S ?AOB ?

3 1 1 ? AB ? d ? 4 2 2

2 3-

3n 4

2

?

n 2
2 2

1+x 1? y ? 2, ? 2 即 1 ? x ? 2 y,1 ? y ? 2 x ,两式相加得 2 ? x ? y , y x

这与已知相矛盾,所以假设不成立,故原命题成立。 9、已知 a,b,c,d 都是实数,且 a ? b ? 1 , c ? d ? 1 ,求证: ac ? bd ? 1
2 2

n ? ? 3或n ? ?1 经 验 证 均 满 足 题 意 , 所 以 满 足 题 意 直 线 m 有 4 条 , 方 程 为 :

证明:∵ a ? b ? 1 , c ? d ? 1
2 2 2 2

∴ 可设 a ? cos x , c ? cos y

则 b ? sin x , d ? cos y

x-y?

3?0 ,x - y ? 1 ? 0 ,

∴ ac ? bd ?| cos x cos y ? sin x sin y |?| cos( x ? y) |? 1

(补充练习)
? ? a ? bx 中回归系数 b 表示( 1、在回归直线方程 y
A.当 x ? 0时 , y 的平均值 C.当 y 变动一个单位时, x 的平均变动量 ) B.当 x 变动一个单位时, y 的实际变动量 D.当 x 变动一个单位时, y 的平均变动量

10、点 P 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上,求点 P 到直线 3x ? 4 y ? 24 的最大距离和最小距离。 16 9 12cos ? ? 12sin ? ? 24 5
12 2 cos(? ? ) ? 24 4 即d ? , 5

?

2、为研究变量 x 和 y 的线性相关性,甲、乙二人分别作了研究,利用线性回归方法得到回归直线方程 l1 和 ) l 2 ,两人计算知 x 相同, y 也相同,则下列正确的是( A. l1 与 l 2 重合 B. l1 与 l 2 一定平行 C. l1 与 l 2 相交于点 ( x , y ) 3、下列说法正确的个数是( ) D.无法判断 l1 和 l 2 是否相交

解:设 P(4cos ? ,3sin ? ) ,则 d ?

①若 ? 2x ?1? ? i ? y ? ?3 ? y ? i ,其中 x ? R, y ? CI R, I为复数集 ,则必有 ?

? ?2 x ? 1 ? y ? ?1 ? ? ? 3 ? y ?

② 2 ? i ? 1? i ③虚轴上的点表示的数都是纯虚数 ④若一个数是实数,则其虚部不存在 A.0 B.1 C.2 D.3 4、在回归分析中,代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是( ) A.总偏差平方和 B.残差平方和 C.回归平方和 D.相关指数 R2

? 12 ? 12 当 cos(? ? ) ? ?1 时, d max ? (2 ? 2) ; 当 cos(? ? ) ? 1 时, d min ? (2 ? 2) 。 4 5 4 5 ? 11.已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ? , 6 (1)写出直线 l 的参数方程。
(2)设 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相交于两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积。

2 5、当 ? m ? 1 时,复数 m ?3 ? i ? ? ? 2 ? i ? 在复平面内对应的点位于( 3
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限



D.第四象限

? x ? 1 ? 2t 6.若直线的参数方程为 ? (t为参数) ,则直线的斜率为( ? y ? 2 ? 3t
A.
2 3

? ? ? ? 3 3 x ? 1 ? t cos x ? 1? t x ? 1? t ? ? ? ? ? ? 6 2 2 代入 解: ( 1 )直线的参数方程为 ? ,即 ? ( 2 )把直线 ? ? y ? 1 ? t sin? ? y ? 1? 1 t ? y ? 1? 1 t ? ? ? 6 ? ? 2 ? 2



x2 ? y2 ? 4

得 (1 ?

B. ?

2 3

C.

3 2

D. ?

3 2

3 2 1 t ) ? (1 ? t )2 ? 4, t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0 2 2

则点 P 到 A, B 两点的 t1t2 ? ?2 ,

距离之积为 2 。

-4-


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