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高中数学(人教A版)选修2-2同步课件 3.2.2 复数代数形式的乘除运算


第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算 学习导航 学习目标 类比两个多 了解 共轭复数 理解 ― → 的概念 ― ― → 项式相乘 ― 复数乘法 掌握 复数代数形式的 ― ― → 的运算律 乘法和除法运算 重点难点 重点:复数代数形式的乘、除运算法则、运 算律. 难点:复数除法的运算法则. 新知初探思维启动 1.复数乘法的运算法则和运算律 (1)复数的乘法法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R), ac-bd+(ad+bc)i 则 z1 · z2=(a+bi)(c+di)=___________________. (2)复数乘法的运算律 对任意复数z1、z2、z3∈C,有 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 z2 · z1 z1 · z2=________ z1 · ( z2 · z3 ) ( z1 · z2)· z3=__________ z1 z2 + z1 z3 z1(z2+z3)=__________ 想一想 1.(1)a2=|a|2与z2=|z|2都成立吗? (2)z2=|z|2成立的条件是什么? 提示:(1)a2=|a|2成立;z2=|z|2不成立. 例如z=i,z2=-1,|z|2=1,z2≠|z|2. (2)当且仅当z∈R时,z2=|z|2成立. 做一做 1.若复数z=1+i,i为虚数单位,则(1+z)· z= ( A.1+3i C.3-i B.3+3i D.3 ) 解析:选A.∵z=1+i,∴(1+z)· z=(2+i)(1+i)= 1+3i. 2.共轭复数与复数相除的除法法则 (1)共轭复数 如果两个复数满足实部相等,虚部互为相反数时,称这两个复 数为共轭复数.z 的共轭复数用 z 表示,即 z= a+ bi(a,b∈ R), a-bi 则 z = _________. (2)复数的除法法则 设 z1= a+ bi, z2= c+ di(c+ di≠ 0), z1 a+ bi ac+ bd bc- ad 则 = = 2 2+ 2 2 i( c+ di≠ 0). z2 c+ di c + d c +d 想一想 2.(1)z·z 与 |z|2 和 | z |2 有什么关系? (2)①若 z∈ C, z = z,则 z 一定是实数吗? ②若 z∈ C, z =- z,则 z 一定是纯虚数吗? 提示: (1)z z = |z| = | z | . (2)①一定是实数,②不一定是纯虚数,还可能是零. 2 2 做一做 - 3+ i 2.(2012· 高考课标全国卷 )复数 z= 的共轭复数是 ( 2+ i A. 2+ i B. 2- i C.- 1+ i D.- 1- i ?- 3+ i??2- i? - 5+ 5i 解析:选 D.∵ z= = =- 1+ i, ? 2+ i??2- i? 5 ∴ z =- 1- i. ) 典题例证技法归纳 题型探究 题型一 复数的乘除运算 1 3 ?? 3 1 ? ? 计算 (1)?- + i ?? + i ?(1+ i); 例1 2 2 2 2 ? 1- 4i??1+ i?+ 2+ 4i (2) ; 3+ 4i 1+ i 6 2+ 3i (3)( )+ . 1- i 3- 2i 1 3 3 1 【解】 (1)(- + i)( + i)(1+ i) 2 2 2 2 3 3 3 1 = [(- - )+ ( - )i](1+ i) 4 4 4 4 3 1 = (- + i)(1+ i) 2 2 3


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