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安徽省皖江名校2016届高三联考数学文试题(扫描版,含解析)


金榜教育·2016 届皖江名校联盟高三联考试卷·文数参考答案 第 1 页(共 6 页)

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金榜教育·2016 届皖江名校联盟高三联考试卷

·文数参考答案 第 4 页(共 6 页)

2016 届皖江名校联盟高三联考 文科数学参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 )

?Q={x | y=log5 (2-x)} , 1. 【答案】 B 【解析】 ? P= { y | y=2cos x}= { y | -2 ? y ? 2},
? 2 ? x ? 0, x ? 2,?Q ? {x | x ? 2} ? P ? Q ? {y |? 2 ? y ? 2} ?{x | x ? 2} ? ?x | ?2 ? x ? 2?.
2.【答案】B【解析】因为 sin x ? cos x ?

2 sin( x ?

?
4

) ? 2 ,故命题 p 为假命题; 特称命

(?p ) ? (?q ) 真,p ? q 假, (?p ) ? q 题的否定为全称命题, 根据命题的否定知命题 q 为真命题, 真, p ? (?q ) 假故选 B.

3.【答案】C 【解析】? a1 =2, an ?1 ? ∴数列{ an }的周期 4,∴ a2018 ? a2 ?

1 1 an ? 1 ,∴ a2 = ,∴ a3 = ? ,∴ a4 = ?3 ,∴ a5 =2 3 2 an ? 1

4. 【答案】D【解析】? AB ? (2, 2) ,

??? ?

1 ,故选 C . 3

??? ? ? | AB |? 22 ? 22 ? 2 2
cos A ? ?

,

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? AC ?| AB | ? | AC | cos A ? 2 ? 2 2 cos A ? ?4

,

2 3? ,? 0 ? A ? ? ,??A= ,故选 D. 4 2

5.【答案】A【解析】由 f ? x ?=sin x ? cos x, 得 f ? ? x ?=cos x ? sin x, .根据题意知 故选 A. 6.【答案】C 【解析】 ? 函数 f ( x) 满足在对于任意的 x1、x2 ?[?2, 2] 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,

??2 ? a 2 ? a ? 2 ? ?1 ? a ? 2 ? ? 所 以 函 数 f ( x ) 在 [?2, 2] 上 单 调 递 增 , ? ??2 ? 2a ? 2 ? 2 , ? ?0 ? a ? 2 , ? a ? 1或a ? 2 ? 2a ? 2 ? a 2 ? a ? ?

? 0 ? a ? 1 ,故选 C.
(2 ? 7.【答案】D【解析】由图知 T ? ? ,? a ? 2 , cos

?
3

+?) =-1 ,?? ?

?
3

,故选 D .

(? 8. 【 答 案 】 C 【 解 析 】 函 数 y ? l o g a x

?? 2 ?) 过 4 定 点 P( 3 , 4 , ) 且 tan
4 4 6 ? ? ( )2 ? 1 13 3 3 ? 4 5 1 ? ( )2 3

4 , 3

3sin 2? ? cos 2? ? 6sin ? cos ? ? cos 2 ? ? sin 2 ?

6sin ? cos ? ? cos 2 ? ? sin 2 ? 6 tan ? ? tan 2 ? ? 1 ? ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? 1 ? tan 2 ?

9.【答案】D【解析】 首先作出可行域,把目标函数 z ? x ? 3 y ,变形可得 y ? ?

1 z x? , 3 3

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10

8

6

4

x+ y-2=0 y
2

2x-y+2=0
15 10 5

x-2y-2=0
1 2

1

-2

-1

O
-1
2

x

5

10

15

z=x+3y

斜率为负数,当 z 在点 处取得最大值为 6,故选 D. (0, 2)

10. 【答案】 C 【解析】 ∵ a2 ? a4 ? 16 , ∵ a2 ? a ∴ a3 ? 4 , ∵ a3 ? a1q2 ? 4 , a )2 , ? a1 ? 1 , 4 ?( 3

4

? q2 ? 4,? q ? ?2 ,∴ q ? ?2 舍去,∴ q ? 2 ,∴ a8 ? 27 ? 128 ,故选 C.
x 11. 【答案】 D 【解析】 依题意, f ' ? x ? ? e ?

ex e e ? 2a ? 0 在 x ? (1,3) 上恒成立, 即a ? ? x 2 2x

在 x ? (1,3) 上恒成立,令 g ( x) ?

ex e ex e ex e ,则 g ?( x) ? ? 2 ,令 h( x) ? ? 2 ,则 ? 2 2x 2 2x 2 2x

h?( x) ?

ex e ex e ? 3 ? 0 , g ?( x) ? ? 2 ? g ?(1) ? 0 ? g ( x) 在 x ? (1,3) 上 单 调 递 增 , 2 2x 2 x

a?g () 1 ? e 故选 D.
12. 【 答 案 】 C 【 解 析 】 ? a ? 1 ? f ( x) 在 区 间 [ 1 a, 上 ] 单 调 递 减 ,

? f (1) ? a ? 1 ? 2a ? 5 ? a ?? ,? 2 ,? a ? 2 ,所以 f ( x) ? ( x ? 2)2 ? 1, 2 f ( a ) ? 1 a ? 2 a ? 5 ? 1 ? ?

g ( x) ? log3 x ,在 [1,3] 上的 1 ? f ( x) ? 2, 0 ? g ( x) ? 1 ,所以 f ( x1 ) ? g ( x2 ) max ? 2 ,
t 2 ? 2t ? 1 ? 2 ? t 2 ? 2t ? 3 ? 0 ? t ? 1或t ? ?3 .
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。将答案填在题中的横线上。 ) 13. 【答案】 10 【解析】 定义域为 [a ? 2, 2(a ? 1)] 的奇函数, 满足 ?

?a ? 2 ? ?[2(a ? 1)] ?a ?0, a?2? 0 ?
3

因为 f ( x ) 为奇函数,满足 f (? x) ? ? f ( x) ? b ? 2 ? 0 ,所以 f ( x) ? x ? x ,

f (a) ? f (b) ? f (0) ? f (2) ? 10 .
14【答案】 6 3 ? 19 【解析】由题意: ? B(?3, ?3 3), C(3, ?3 3) , H (cos ? ,sin ? ),

???? ???? BH ? (cos? ? 3,sin ? ? 3 3), CH ? (cos ? ? 3,sin ? ? 3 3) ???? ???? ? BH ? CH ? (cos? ? 3,sin ? ? 3 3)? (cos ? ? 3,sin ? ? 3 3)

? cos2 ? ? 9 ? sin 2 ? ? 6 3 sin ? ? 27 ? 6 3 sin ? ? 19 ? 6 3 ? 19
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15. 【 答 案 】 x ? 4k? ?

5? ? , k ? Z 【 解 析 】 f (0) ? f ( ) , 可 得 ? ? 1 , 所 以 6 2

2 sx? i n,向右平移 ( ) ,横坐标扩大到原来的 2 倍得到函数 4 6 1 ? ? 1 ? g ( x) ? 2 sin( x ? ? ) ? 2 sin( x ? ) , 函 数 g ( x) 取 最 大 值 时 , 2 4 6 2 12 1 ? ? 5? x ? ? 2 k? ? ? x ? 4 k ? ? ,k ?Z 2 12 2 6 .
16. 【答案】 2015 ? 22017 ? 2 【解析】

f ( x)? s i n x?

co x? s

?

?

an an?1 ? 2Sn , an?1an?2 ? 2Sn?1, an?1an?2 ? an an?1 ? 2Sn?1 ? 2Sn ? 2an?1 , an?2 ? an ? 2, a1 ? 1, a3 ? 3, a5 ? 5,?, a2k ?1 ? 2k ?1; a2 ? 2, a4 ? 4,?, a2k ? 2k.?an ? n ;
Sn ? 2 ? a1 ? 22 ? a2 ? ?2n ? an , 2Sn ? 22 ? a1 ? 23 ? a2 ? ?? 2n?1 ? an 相减可得, Sn ? (n ?1) ? 2n?1 ? 2,? S2016 ? 2015 ? 22017 ? 2 .
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 )
C E

A D

B

17. 【 解 析 】( 1 ) ? a, b 共 线 , 可 得

? ?

1 1 3 y ? ( sin x ? cos x) ? 0 , 则 2 2 2

y?s i n x?
x ? 2 k? ?

3 c xo ?s

? 2? 2 x? s, i 所 n ( ? 2? , 当 以 函 数)的 最 小 正 周 期 为 T ? 3 1
------------------6 分

?
6

, k ? Z 时, f ( x)max ? 2 ,

(2) f ( A ?

?
3

) ? 3 ,可得 2sin( A ?

?

? 3 ? ? ) ? 3,sin A ? ,A? , 3 3 2 3
-------8 分

???? ??? ? ??? ? 3 ??? ? 1 ??? ? 3 ??? ? 1 ???? ??? ? 1 ??? ? 1 ???? DE ? DB ? BE ? AB ? BC ? AB ? ( AC ? AB ) ? AB ? AC , 4 2 4 2 4 2
平方可得

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???? 2 ? 1 ???? ? 2 1 ???? 2 1 ??? ? ???? 1 1 ??? 1 ??? 1 1 ? 61 DE ? ( AB ? AC ) 2 ? AB ? AC ? AB ?AC ? ? 82 ? ? 52 ? ? 8 ? 5 ? cos ? 4 2 16 4 4 16 4 4 3 4
,故 DE ?

61 . 2
?

---------------10 分

1 ? ? )) , 2 6 ? ? 3 1 ? 3 1 1 ? 3 f ( x) ? a ? b ? ? sin x cos x ? cos(2 x ? ) ? ? sin 2 x ? cos(2 x ? ) ? 2 2 6 2 2 2 6 2 3 1 ? ? ? sin(2 x ? ) 2 2 3 ? ? ? 5? ? ? x ? k? ? , k ? Z , 函数的单调递增区间 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k? ? 2 3 2 12 12 5? ? , k? ? ](k ? Z ) . 所以单调递增区间为 [k? ? --------------------6 分 12 12 3 1 ? ? ? ? (2) f ( x) ? ? sin(2 x ? ) 取到极大值时 2 x ? ? 2k? ? , x ? k? ? ,所以 2 2 3 3 2 12 ? ? ? 11 a1 ? , a2 ? ? ? , an ? ? (n ? 1)? ? n? ? ? , 12 12 12 12
18.【解析】 (1)? a ? (sin x, ), b ? (cos x, cos(2 x ? 设 bn ?

?2
an an ?1

? (n ?

1 11 11 )(n ? 1 ? ) 12 12

?

1 1 ? ,则 11 11 n? n ?1? 12 12

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 11 11 11 11 11 11 1? 1?1? 1?1? 2 ?1? n? n ?1? 12 12 12 12 12 12

?

1 1 144n . ? ? 11 11 12n ? 1 1? n ?1? 12 12

----------------------12 分

19.【解析】由

sin B c?b?a b c?b?a ? ? ,由正弦定理得: ,化简即为 sin A ? sin C c?b c?b , a?c

a2 ? b2 ? c2 ? ab ,再由余弦定理可得 cos C ?
因为 0 ? C ? ? ,所以 ?C ?

a 2 ? b2 ? c 2 1 ? , 2ab 2
------------------------6 分

?
3

.

2(cos 2 A ? sin 2 A) ? ? 1 ? 2cos 2 A ? 2sinAcosA ? 2sin(2 A ? ) (2) f ( A) ? 1 ? sin A 4 1? cos A

金榜教育·2016 届皖江名校联盟高三联考试卷·文数参考答案 第 8 页(共 6 页)

在锐角 ?ABC 中,

?
6

2 12 4 3? 故当 2 A ? ? , A ? 时, f ( A)max ? 2 . 4 2 8

? A?

?



?

? 2A ?

?

?

?

?

3? 4
--------------------12 分

20.【解析】 (1)设 f ( x) ? ax ? b(a ? 0) ,

f ( x) ? ax ? b(a ? 0) ? f [ f ( x)] ?

1 3 1 3 x ? ,? a (ax ? b) ? b ? x ? , 4 4 4 4

1 1 1 ? ? ? 2 a ? a ? ? a ? ? ? ? 1 1 ? ? ? 4 2 2 ,? ? 或? ,舍去,故 f ( x) ? x ? ,---2 分 ? 2 2 ?ab ? b ? ? 3 ?b ? ? 1 ? b ? ? 3 ? ? ? 4 ? 2 ? 2 ?
1 1 1 an ? ,? an ?1 ? 1 ? (an ? 1) , 2 2 2 1 数列 {an ? 1} 是公比为 ,首项为 2 的等比数列, 2 1 1 ? an ? 1 ? 2 ? ( ) n ?1 , an ? ( ) n ? 2 ? 1 2 2 an ?1 ?
(2)由 bn ?

--------------------4 分 -------------------------------6 分

1 1 1 nan ? n 可得, bn ? n( ) n ?1 2 2 2
① ②

1 0 1 1 2 1 n ?1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 3 1 n 则 S n ? 1 ? ( ) ? 2 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? ? ? n( ) 2 2 2 2 2
可得 S n ? 1? ( ) ? 2 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? ? ? n( ) ②-①

1 1 1 1 1 1 Sn ? ( )0 ? ( ) ? ( ) 2 ? ? ? ( ) n ?1 ? n( ) n 2 2 2 2 2 2 n ? 2 n?2 ? S n ? 4 ? n ?1 , ? n ?1 ? 0,? S n ? 4 2 2
可得

---------------------12 分

21.【解析】 (Ⅰ)依题意,函数 f ? x ? ? a ? x ? 1?? x ? 2 ?? x ? 3? ? a x 2 ? 3 x ? 2
2 故 f ' ? x ? ? a ?? 2 x ? 3?? x ? 3? ? x ? 3x ? 2 ? ,

?

? ? x ? 3? ,

?

?

??

故 f ' ?1? ? 2a ? 4 ,解得 a ? 2 ; ( Ⅱ ) 依 题 意 , f(x) 与

-------------------------- 4 分 g(x) 的 图 像 只 有 一 个 交 点 , 即 方 程

f ( x) ? g ( x) ?

1 3 9 1 9 x ? 3x 2 ? x ? m ? 0 有且仅有一个实根,令 h( x) ? x 3 ? 3x 2 ? x ; 2 2 2 2
------------------------6 分

3 2 9 3x 2 ? 12 x ? 9 3 h '? x? ? x ? 6x ? ? ? ? x ? 1?? x ? 3? , 2 2 2 2

金榜教育·2016 届皖江名校联盟高三联考试卷·文数参考答案 第 9 页(共 6 页)

故当 x ? 1 或 x ? 3 时,函数 h ? x ? 单调递增,当 1 ? x ? 3 时,函数 h ? x ? 单调递减; 故函数 h ? x ? 的极大值为 h ?1? ? 2 ,极小值为 h ? 3? ? 0 , ---------------------------8 分

故若方程 f ( x) ? g ( x) 有 1 个根,故 ?m ? 0或? m ? 2 ,即 m ? ?2或m ? 0 , 即实数 m 的取值范围为 ? ??, ?2? U? 0, ??? . ----------------------------------------12 分

22.【解析】 (Ⅰ)因为 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 4 ln x( x ? 0) ,
2 所以 f ?( x) ? 2 x ? 2(a ? 1) ? 4 ? 2 x ? 2(a ? 1) x ? 4 ,若函数 f ( x) 是定义域上的单调函 x x

数,则

f ?( x) ? 0

恒 成 立 , 即 2 x 2 ? 2( a ? 1) x ? 4 ? 0 在

(0,?? )

上恒成立.所以

[2(a ? 1)]2 ? 2 ? 4 ? 4 ? 0 或 ? ( a ? 1) ? 0 ,
解得 ? 2 2 ? 1 ? a ? 2 2 ? 1 或 a ? ?1 , 所以 a ? ?2 2 ? 1 ,故函数 f ( x ) 是定义域上的单调函数, 则实数 a 的最小值 ? 2

2 ?1 .

-----------------5 分

(Ⅱ)函数 f ( x) ? x2 ? 2 x 在区间 [1, 3] 上恒成立,即 2ax ? 4 ln x ? 0 在 [1,3] 上恒成立.即

2 ln x 在区间 [1,3] 上恒成立; x 2 ln x 2 ln x ? 2 令 g ( x) ? ? , g ?( x) ? , x x2 a??

---------------------------------8 分

] g ?( x) ? 0 , 在 区 间 [e . 3 g ] ?( x )? 令 g ?( x) ? 0 , x ? e , 在 区 间 [ 1e, 上
g (1) ? 0, g (3) ? ? 2 ln 3 ? 0, a ? g ( x) max ? 0,? a ? 0 3

0 ,

---------------------------------10 分 -------------------------12 分

综上所述,实数 a 的取值范围为 a ? 0 .

金榜教育·2016 届皖江名校联盟高三联考试卷·文数参考答案 第 10 页(共 6 页)


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