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2017版高考数学一轮复习 平面解析几何 9.9 圆锥曲线的综合问题 课时3 定点、定值、探索性问题课件 理


§9.9 圆锥曲线的综合问题

课时3 定点、定值、探索性问题

内容 索引

题型一 定点问题

题型二 定值问题
题型三 探索性问题 思想与方法系列 思想方法 感悟提高 练出高分

题型一 定点问题

题型一

定点问题

x2 y2 例 1 已知椭圆a2+b2=1(a>0,b>0)过点(0,1),其长轴、焦距和短轴的 长的平方依次成等差数列.直线 l 与 x 轴正半轴和 y 轴分别交于 Q、P, → → → → 与椭圆分别交于点 M、 N, 各点均不重合且满足PM=λ1MQ, PN=λ2NQ.
(1)求椭圆的标准方程;



设椭圆的焦距为2c,由题意知b=1,且(2a)2+(2b)2=2(2c)2,

又a2=b2+c2,所以a2=3.
x2 2 所以椭圆的方程为 3 +y =1.
解析答案

(2)若λ1+λ2=-3,试证明:直线l过定点并求此定点.

思维升华

解析答案

跟踪训练1
x 2 y2 2 (2015· 四川)如图,椭圆 E:a2+b2=1(a>b>0)的离心率是 2 ,过点 P(0,1) 的动直线 l 与椭圆相交于 A,B 两点,当直线 l 平行于 x 轴时,直线 l 被椭 圆 E 截得的线段长为 2 2.
(1)求椭圆E的方程;

解析答案

(2)在平面直角坐标系 xOy 中,是否存在与点 P 不同的 QA PA 定点 Q, 使得QB=PB恒成立?若存在, 求出点 Q 的坐 标;若不存在,请说明理由.

解析答案

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题型二 定值问题

题型二

定值问题

x2 2 例 2 如图,已知双曲线 C:a2-y =1(a>0)的右焦点 为 F.点 A,B 分别在 C 的两条渐近线上,AF⊥x 轴, AB⊥OB,BF∥OA(O 为坐标原点).
(1)求双曲线C的方程;

解析答案

x0 x (2)过 C 上一点 P(x0,y0)(y0≠0)的直线 l: a2 -y0y=1 与直线 AF 相交于 3 MF 点 M,与直线 x=2相交于点 N.证明:当点 P 在 C 上移动时, NF 恒为 定值,并求此定值.

思维升华

解析答案

跟踪训练2
1 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 F(2,0),直线 l: 1 x=-2, 点 P 在直线 l 上移动, R 是线段 PF 与 y 轴的交 点,RQ⊥FP,PQ⊥l.
(1)求动点Q的轨迹C的方程;

解析答案

(2)设圆M过A(1,0),且圆心M在曲线C上,TS是圆M在y轴上截得的弦,当 M运动时,弦长TS是否为定值?请说明理由.

解 弦长TS为定值.理由如下: 取曲线C上点M(x0,y0),M到y轴的距离为d=|x0|=x0,
圆的半径 r=MA= ?x0-1?2+y2 0, 则 TS=2 r2-d2=2 y2 0-2x0+1,
2 y0 因为点 M 在曲线 C 上,所以 x0= 2 , 2 所以 TS=2 y2 - y 0 0+1=2,是定值.
解析答案 返回

题型三 探索性问题

题型三

探索性问题
(2015· 湖北) 一种作图工具如图 1所示.O是滑槽 AB的中点,短杆ON

例3

可绕 O 转动,长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连结, MN上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动,且 DN = ON= 1 , MN= 3 ,当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时, 带动N绕O转动一周(D不动时,N也不动),M处的笔尖画出的曲线记为C, 以O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.

(1) 求曲线C的方程;

解析答案

(2) 设动直线l与两定直线l1:x-2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点. 若直线 l总与曲线 C有且只有一个公共点,试探究:△OPQ 的面积是否存 在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.

思维升华

解析答案

跟踪训练3



抛物线y2=8x的焦点为椭圆E的顶点,即a=2.

c 1 又a=2,故 c=1,b= 3. x2 y2 ∴椭圆 E 的方程为 4 + 3 =1.
解析答案

(2)若直线 l:y=kx+m 与椭圆 E 相交于 A,B 两点,与直线 x=-4 相交 → → → 于 Q 点,P 是椭圆 E 上一点且满足OP=OA+OB(其中 O 为坐标原点), → → 试问在 x 轴上是否存在一点 T,使得OP· TQ为定值?若存在, 求出点 T 的 → → 坐标及OP· TQ的值;若不存在,请说明理由.

解析答案

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思想与方法系列

思想与方法系列

21.设而不求,整体代换

典例

x2 y2 (16 分)椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是 F1、F2,离

3 心率为 2 ,过 F1 且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1. (1)求椭圆 C 的方程;

解析答案

规范解答 解 由于c2=a2-b2,

x2 y2 b2 将 x=-c 代入椭圆方程a2+b2=1,得 y=±a .
2b2 由题意知 a =1,即 a=2b2. c 3 又 e=a= 2 ,所以 a=2,b=1. x2 2 所以椭圆 C 的方程为 4 +y =1.

[2 分]

[4 分]

(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连结PF1,PF2,设∠F1PF2的 角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围;

解析答案

思维点拨 可设 P 点坐标为(x0,y0),写出直线 l 的方程;联立方程组消
? 1 1 1? 1 1 ? ? 去 y 得关于 x 的一元二次方程,则 Δ=0;变为k?k +k ?,把 k 与k +k 均 ? 1 2? 1 2

用 x0,y0 表示后可消去.

思维点拨

解析答案

温馨提醒

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思想方法 感悟提高

方法与技巧
1.求定值问题常见的方法有两种 (1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关. (2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. 2.定点的探索与证明问题 (1)探索直线过定点时,可设出直线方程为y=kx+b,然后利用条件建立 b、k等量关系进行消元,借助于直线系的思想找出定点. (2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关.

失误与防范

1.在解决直线与抛物线的位置关系时,要特别注意直线与抛物线的对称

轴平行的特殊情况.
2.中点弦问题,可以利用“点差法”,但不要忘记验证Δ>0或说明中点在

曲线内部.
3.解决定值、定点问题,不要忘记特值法.

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练出高分

1

2

3

4

5

? ? ?c=2, ?c=2, 从而有? 解得? ? ? ?2a=AF+AF′=3+5=8, ?a=4.

又a2=b2+c2,所以b2=12, x2 y2 所以椭圆 C 的方程为16+12=1.
解析答案

1

2

3

4

5

(2)是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点,且直线OA 与l的距离等于4?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.

解析答案

1
2 2

2

3

4

5

x y 2 2.(2015· 四川)如图,椭圆 E:a2+b2=1(a>b>0)的离心率是 2 ,点 P(0,1) → → 在短轴 CD 上,且PC· PD=-1. (1)求椭圆 E 的方程;

解析答案

1

2

3

4

5

(2)设 O 为坐标原点,过点 P 的动直线与椭圆交于 A,B 两点.是否存在常 → → → → 数 λ,使得OA· OB+λPA· PB为定值?若存在,求 λ 的值;若不存在,请说 明理由.

解析答案

1

2

3

4

5

x2 2 故 c=b=1,a= 2,椭圆方程为 2 +y =1.
解析答案

1

2

3

4

5

? 1? ? ? (2)过点 S?0,-3? 的动直线l交椭圆C于A,B两点,试问:在坐标平面上是 ? ?

否存在一个定点 Q,使得以线段 AB为直径的圆恒过点 Q ?若存在,求出 点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

解析答案

1

2

3

4

5

x2 y2 3 x y 4.设椭圆 C: 左顶点 M 到直线a+b=1 a2+b2=1(a>b>0)的离心率 e= 2 , 4 5 的距离 d= 5 ,O 为坐标原点. (1)求椭圆 C 的方程;

解析答案

1

2

3

4

5

(2) 设直线 l 与椭圆C 相交于 A ,B两点,若以AB 为直径的圆经过坐标原点,
证明:点O到直线AB的距离为定值.

解析答案

1

2

3

4

5



因为双曲线E的渐近线分别为y=2x,y=-2x,

2 2 c - a b 所以a=2,所以 a =2,故 c= 5a,

c 从而双曲线 E 的离心率 e=a= 5.
解析答案

1

2

3

4

5

(2)如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两 点(A,B分别在第一、四象限),且△OAB的面积恒为8.试探 究:是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E ? 若存在,求出双曲线E的方程;若不存在,请说明理由.

解析答案

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