tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

8基本不等式


基本不等式:
一、一周知识概述 在学习了不等式的基本性质后学习并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理 中的不等号“≥”取等号的条件.理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几 何解释.基本不等式是不等式证明及求函数最值的重要工具. 二、重点知识归纳

1、一般地对于任意实数 a,b,

,当且仅当 a=b 时,等号成立.

2、 当 a>0, b>0 时, 称 当仅且当 a=b 时“=”成立.

为正数 a, b 的算术平均数,

为正数 a, b 的几何平均数。



3、两个正数的和为定值,则它们的积有最大值;两个正数的积为定值,则它们的和有最小值.这两个结论 常常用于求解最值问题.在具体应用时,要注意“一正、二定、三相等” 三、典型例题讲解

例 1、(1)若 lgx+lgy=2,求

的最小值.

(2)若正数 x,y 满足 x+2y=1,求

的最小值.

分析: 运用基本不等式,注意取等号的条件. 解: (1)∵lgx+lgy=2 ∴lgxy=2 即 xy=100



≥2

(等号当且仅当 x=y=10 时取得)



的最小值为



(2)∵x+2y=1,且 x>0,y>0



≥3+2

当且仅当

即 x=

-1,y=1-

时,

取最小值 3+2



下面解法是否正确,为什么? ∵x>0,y>0

∴1=x+2y≥2



≥2





≥4



例 2、已知

是正实数,

。求证:

分析:

本题不能由



求解,因为两式当且仅当

时成立,而



然是不可能的,故考虑能否部分使用。 解法一:

解法二:



因为

是正实数,所以

,又

,所以

所以

所以



例 3、设

求证



分析: 若直接使用基本不等式,则无法消去 证明: ,此时需对条件作结构上的变换,创造条件使用基本不等式。

例 4、设计一幅宣传画,要求画面面积为 4840cm2,画面的宽与高的比为λ (λ <1),画面的上、下各留 8cm 的空白,左、右各留 5cm 的空白.怎样确定画面的高与宽尺寸,能使宣传画所用纸张面积最小? 分析: 先根据题意画出草图,设画面的宽为自变量 x(cm),将所用纸张面积表示成 x 的函数,再求函数的 最小值.

解:

如图所示,设画面的宽为 xcm,则画面的高为

,设纸张面积为 Scm2.

答:画面高为 88cm,宽为 55cm 时,能使所用纸张面积最小. 例 5、如图所示,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为 2 米的无盖长方体沉淀箱,污水从 A 孔流 入,经沉淀后从 B 孔流出,设箱体的长度为 a 米,高度为 b 米,已知流出的水中该杂质的质量分数与 a,b 的乘积 ab 成反比,现有制箱材料 60 平方米,问当 a,b 各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量 分数最小(A、B 孔的面积忽略不计)

分析:先由面积列出 a,b 的方程,由题意将问题转化为使 ab 取最大值时 a、b 的值. 解法一: 依题意,即所求的 a,b 值使 ab 最大. 由题设知 4b+2ab+2a=60(a>0,b>0) 即 a+2b+ab=30(a>0,b>0)

当且仅当 a=2b 时,上式取等号. 由 a>0,b>0,解得 0<ab≤18. 即当 a=2b 时,ab 取得最大值,其最大值为 18. ∴ 2b2=18,解得 b=3,a=6. 故当 a 为 6 米,b 为 3 米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 解法二:

设 y 为流出的水中杂质的质量分数,则 值最小.

,其中 k>0 为比例系数.依题意,即所求的 a,b 值使 y

根据题设,有 4b+2ab+2a=60 (a>0,b>0),

这时 a=6,a=-10(舍去). 将 a=6,代入①式得 b=3. 故当 a 为 6 米,b 为 3 米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 小结: 应用均值不等式解决实际问题时,应注意: (1)先理想题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数; (2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象为求函数的最大值或最小值问题; (3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值; (4)正确写出答案.

在线测试
一、选择题

1、设

为实数,且

,则

的最小值是(



A.6

B.

C.

D.

2、已知 m=a+

(a>2),n=(

(x<0),则 m、n 之间的大小关系是( )

A.m>n

B.m<n

C.m=n

D.m≤n

3、设 0<m<1,0<n<1,则下列各式中最大的一个是(



A.2mn

B.m+n

C.2

D.m2+n2

4、设 a>1,b>1,且 ab-(a+b)=1,那么(



A.a+b 有最小值

B.a+b 有最大值

C.ab 有最大值

D.ab 有最小值

5、设 a>b>c,n∈N,且

,则 n 的最大值为(



A.2

B .3

C.4

D .5

6、已知 a>0,b>0,且 a+b=1,则

的取值范围是(



A.(2,+∞)

B.[2,+∞)

C.(4,+∞)

D.[4,+∞)

7、已知 0<a<1,0<b<1,则 a+b,a2+b2,2ab 之间的大小关系为(



A.a+b> a2+b2≥2ab

B.a+b≥a2+b2>2ab

C.a2+b2>a+b≥2ab

D.a2+b2>a+b>2ab

8、设 a>b>1,

,则有(



A.R<P<Q

B.P<Q<R

C.Q<P<R

D.P<R<Q

重 做

提 示

B
二、填空题



9、函数

的最小值是_____________.

10、若正数 a,b 满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围是_____________. 11、某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高,当住第 n 层楼时,上下 楼造成的不满意度为 n;但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随楼次升高,环境不满意度

降低,设住第 n 层楼时,环境不满意程度为

,则此人应选____________楼.

[答案]

三、解答题

12、已知 a、b、c 都是正数且 a+b+c=1,求证

≥9.

[答案] 13、某种生产设备购买时费用为 10 万元,每年的设备管理费共计 9 千元,这种生产设备的维修费各年为: 第一年 2 千元,第二年 4 千元,第三年 6 千元,而且以后以每年 2 千元的增量逐年递增.问这种生产设备 最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)? [答案] 14.已知直角三角形的周长为定值 L,求它的面积的最大值. [答案] 15、一段长为 L m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最 大,最大面积是多少? [答案] 16.某商场预计全年分批购入每台价值为 2000 元的电视机共 3600 台,每批都购入 x 台(x 为正整数),且 每批需付运费 400 元,储存购入的电视机全年所付保管费用与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正 比.若每批购入 400 台,则全年需用去运费和保管费 43600 元.现全年只有 24000 元资金可用于支付这笔 费用.请问能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论并说明理由. [答案]

第 1 题答案错误! 第 2 题答案错误! 第 3 题答案错误! 第 4 题答案错误! 第 5 题答案错误! 第 6 题答案错误! 第 7 题答案错误! 第 8 题答案错误!

正确答案为 B 正确答案为 A 正确答案为 B 正确答案为 A 正确答案为 C 正确答案为 D 正确答案为 A 正确答案为 B

提示:

1、因为

,所以

2、∵m=(a-2)+

+2≥4(∵a>2,∴a-2>0),n=

<22=4(x<0),

∴m>n

3、

4、由条件得(a-1)(b-1)=2

则(a+b)=(a-1)+(b-1)+2≥2

当且仅当 a-1=b-1=

,即 a=b=1+

时取等号.

5、

故 n 的最大值为 4. 6、由 a>0,b>0,且 a+b=1.

7、

8、

,∴ R>Q,而 Q>P,∴ R>Q>P.

9、答案:8

提示:



(等号当 x=4 时成立) 10、答案:[9,+∞) 提示:

∴ ab∈ [9,+∞). 11、答案:3

提示: 住第 n 层楼时,上下楼与环境的不满意度之和 k=n+ 最小,故此人应选 3 楼. 12.证明:∵a+b+c=1,

,当且仅当 n=

,即 n=2

时,k





≥3+2+2+2=9

等号当且仅当 a=b=c=

时成立.

13、分析:找出年平均费用与年限的关系,然后用基本不等式求最小值.

解:设使用 x 年的年平均费用为 y 万元. 由已知得:

y=

即 y=1+

(x∈N*)

由基本不等式知 y≥1+2

=3

当且仅当

即 x=10 时取等号.

因此使用 10 年报废最合算,年平均费用为 3 万元. 14、解:设直角三角形的两直角边分别为 a、b,则斜边长为 ,由已知得:

a+b+

=L ,

∴L≥2





L 2,

故面积 S=

ab≤

.

等号当且仅当 a=b=

L 时取得.

15、设矩形中与墙相对的边长为 xm,则另一边长

.

面积为

当且仅当 x=L-x,即

时,矩形的面积最大.

也就是菜园的长为

m,宽为

m 时,菜园的面积最大,最大面积为

.

16、解:设全年需用去的运费和保管费的总费用为 y 元,题中的比例系数设为 k,每批购入 x 台,则

共需分

批,每批费用 2000x 元.

由题意知 y=

×400+k·2000x

当 x=400 时,y=43600,解得 k=

∴y=

×400+100x≥2

=24000(元)

当且仅当

×400=100x,即 x=120 时上式等号成立.

故只需每批购入 120 台,可以使资金够用.

高考解析

1.(2009 年天津卷)设 a>0,b>0.若

是 3a 与 3b 的等比中项,则

的最小值为(



A.8

B.4

C.1

D.

答案:B

解析:



的等比中项,



此时

≥2+2=4(当且仅当 a=b=

取等号),故选 B.

2.(江苏卷)设 x,y,z 为正实数,满足 x-2y+3z=0,

的最小值是_________.

答案:3 解析:

由 x-2y+3z=0 得

代入



当且仅当 x=3z 时取“=”,最小值为 3.


推荐相关:

(8)基本不等式

(8)基本不等式_数学_高中教育_教育专区。基本不等式利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”即(1)要求各数均为正数;(2)要求“和” 或“积”为定值;...


§8基本不等式:

§8 基本不等式:一、一周知识概述 在学习了不等式的基本性质后学习并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号“≥”取等号的 条件....


第8讲 基本不等式及其应用

第8讲 基本不等式及其应用_数学_高中教育_教育专区。高三一轮复习导学案 江门市棠下中学 高二数学(文科)高考第一轮总复习 第二部分 不等式 第八讲:基本不等式...


考点8 基本不等式

b ? 4 ,则下列不等式恒成立的是( 8.(2010 长沙高二检测)设 a, b, c 大于 0,则 3 个数: a ? ) ) 1 1 1 , b ? , c ? 的值 ( b c a ...


8基本不等式的应用(2)

苏教版必修 5 第3章 编制人: 单平 审核人:吴熙玲 08 课题 基本不等式的应用(2) (总第 8 课时) 第三部分 训练案班级 学号 姓名 1.已知 x, y ? R...


基本不等式解题方法

x(8 ? 2 x) 的最大值。 解析:由知, ,利用基本不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子 积的形式,但其和不是定值。注意到 2 x ? (...


2016高考选择-填空必考题型8-基本不等式

2016高考选择-填空必考题型8-基本不等式_高三数学_数学_高中教育_教育专区。基本不等式专题 2011 高考选择-填空必考题型 8-基本不等式与不等式 姓名 班级 学号★2...


2015届高二数学练习8 基本不等式

2015届高二数学练习8 基本不等式_数学_高中教育_教育专区。基本不等式温新小课堂【知识要点】 1.重要不等式: 2.不等式链: 3.基本不等式 (1)内容: 高二数学-...


专题8 基本不等式

专题8 A.d<a<c<b B.a<c<b<d 基本不等式( ) C.a<d<b<c D.a<d<c<b ... D.2 4 3 ()() 1.若 a<b,d<c,并且(c-a)(c-b)<0,(d...


第8课时 基本不等式的应用

第8课时 基本不等式的应用_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第 8 课时一节课目标:灵活运用基本不等式 基本不等式的应用 a?b ? ab (a, b ? R ? ) ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com