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等差等比数列中的相等问题


2003 年第 17 期               数学通讯

17

等差 ( 等比) 数列中的相等问题
司志本
( 承德民族师专 ,河北   067000)

中图分类号 :O122 - 44      文献标识 :A      文章编号 :0488 - 7395 ( 2003) 17 - 00

17 - 02

   我们知道 ,非零的常数列既是等差数列 , 又是等比数列 . 在这类数列中 ,对于任意自然 数 p , q ,都有 a p = aq . 除此之外 ,还有没有其 它等差 ( 等比) 数列使 a p = aq 成立 ? S p = S q 的情况又如何 ? 本文将对这些问题进行探 讨.
1  等差数列中的相等问题

a1 +

d

2

( p + q - 1) = 0

( 1)

由 ( 1) 式 ,有
S p + q = ( p + q) a 1 + d

2

( p + q) ( p + q - 1 )
d

= ( p + q) [ a1 + = 0.

2

( p + q - 1) ]

设{ a n } 是等差数列 ( 非常数列 , 下同 ) , 是否存在自然数 p , q ( p ≠q ) , 使 a p = aq ,
Sp = Sq ?

即若 S p = S q ,则有 S p + q = 0. 现在 我 们 提 出 一 个 相 反 的 问 题 : 如 果
S p + q = 0 ,是否一定有 S p = S q ?

分析   若 a p = aq ,则由等差数列的通项 公式有
a 1 + ( p - 1 ) d = a1 + ( q - 1 ) d .

由等差数列的前 n 项和公式 ,有
S p + q = ( p + q) a 1 + d

2

( p + q) ( p + q - 1 )
d

因为{ a n }不是常数列 ,即公差 d ≠ 0 ,所以 ,必 有 p = q . 这与 p ≠q 的条件相矛盾 . 这样 ,我 们就得出第一个结论 : 对于非常数列的数差数列 , 它的任何两 项都不可能相等 . 若 S p = S q , 则由等差数列的前 n 项和 公式有
pa1 + d d

= ( p + q) [ a1 + = 0.

2

( p + q - 1) ]

∵p+ q≠ 0, ∴ a1 +
d

2

( p + q - 1) = 0

( 2)

( 2) 式两边同乘以 ( p - q) ,有 ( p - q) [ a 1 +
d

2

( p + q - 1) ] = 0 ,

2

p ( p - 1) = qa1 + d

2

q ( q - 1) ,

展开整理可得
pa1 + d

整理得 ( p - q) [ a1 +

2

( p + q - 1) ] = 0.

2

p ( p - 1) = qa1 +

d

2

q ( q - 1) ,

因为 p ≠q ,即 p - q ≠ 0 ,所以

∴ Sp = Sq. 这样 ,我们就得出了第二个结论 :

收稿日期 :2003 - 05 - 04 ) ,河北兴隆人 ,承德民族师专副教授 . 作者简介 : 司志本 ( 1959 — ? 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net

18

数 学 通 讯               2003 年第 17 期

一 个 例 题 的 变 式 及 推 广
陈  强
( 涪陵师范学院初等教育学院 ,重庆   408003)

中图分类号 :O122 - 49      文献标识 :A      文章编号 :0488 - 7395 ( 2003) 17 - 0018 - 03 1  一个例题 1
3 c ( a + b)

+ 1
a ( b + c)
3

在条件 a > 0 , b > 0 , c > 0 , abc = 1 之

文 [ 1 ] 中钱亦青老师举到如下例题 : 求函数 f ( a , b , c) =
+ 1 b ( c + a)
3

下的最小值 . 该题变式为 :

   在等差数列中 , S p = S q 的充分必要条件 是 S p + q = 0. 如果把 ( 2) 式做进一步的变形 ,就有
p + q=1+ ( -

2  等比数列中的相等问题

问题 2   设{ a n }是等比数列 ( 非常数列 , 下同) ,是否存在自然数 p , q ( p ≠q ) , 使 a p
( 3) = aq , S p = S q ?

2
d

a1 )

因为 p + q ≥ 2 ,所以 , a1 ≠ 0 , 而且 a1 与
d 异号 ,

可以仿照等差数列的情况进行讨论
p- 1 若 a p = a q ( 设 p > q ) , 则 a1 r = q- 1

- 2 a1
d

∈N.
- 2 a1
d

a1 r

,即有 r

p- q

= 1. 因为公比 r ≠ 1 ,所以 ,

必有 r = - 1 , p - q 为偶数 . 也就是说 , 当且
= m ∈N ( 4)



仅当{ a n }是形如
a , - a , a , - a , …, ( - 1)
n+1

易知 , 当 a1 , d 满足 ( 4 ) 式时 , 有 S p =
S q . 这样就得出了第三个结论 :

a , …( a ≠ 0 ) ( 5)

的数列时 , 才有 a p = aq , 此时 , 只要 p , q 的 奇偶性相同即可 . 若 S p = S q ,则根据前 n 项和公式易得 ,
{ a n } 也必须是形如 ( 5 ) 的数列 , 而且在数列 (5) 中 ,只要 p , q 的奇偶性相同 , 就有 S p =
Sq .

在等差数列中 , S p = S q 的充分必要条件 是存在某一个自然数 m , 使这个数列的首项 与公差满足 ( 4) 式 . 例如 ,若 a1 = - 6 , d = 2 ,则由 ( 4) 式可得
m =

- 2 ×( - 6) = 6 ,即只要 p , q 满足 p + q 2

= 7. 就有 S p = S q ( 或 S p + q = 0 , 即 S 7 = 0 ) ,

这样 ,我们就得出了第四个结论 : 在等比数列中 , a p = aq , S p = S q 的充分 必要条件是{ a n } 是形如 ( 5 ) 的数列 , 而且 p ,
q 的奇偶性相同 .

具体来说 , 就有 S 1 = S 6 , S 2 = S 5 , S 3 = S 4 ,
S 7 = 0. 如果我们把这个数列的前几项写出

来 ,这几个等式是显而易见的 .

收稿日期 :2003 - 04 - 22 ) ,男 ,重庆市垫江县人 ,重庆涪陵师范学院初等教育学院讲师 ,学士 . 作者简介 : 陈强 ( 1965 — ? 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net


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