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2006年国家集训队平面几何一题多证


P 为圆 O 外一点,PA、PB 为圆 O 的两条切线。 PCD 为任意一条割线,CF//PA。求证:CE=EF (2006 国家集训队培训题)
A E

P

C B

F

O

D

【证法一】 : 作 OM⊥CD 垂足为 M,连接 BC,BM,EM,OA,OB ∵∠OAP=∠OMP=∠OBP, ∴P,A,O,M,B 五点共圆 ∴∠APM=∠ABM=∠EBM 又∵CF∥PA ∴∠APM=∠ECM ∴∠ECM=∠EBM ∴C,E,M,B 四点共圆 ∴∠MCB=∠MEB=∠DAB ∴EM∥AD 由垂径定理得,M 为 CD 中点 ∴EM 是△CFD 的中位线 ∴CE=EF

P

C A E M B

F

O

D

P

【证法二】 : 设 PD 交 AB 于 G 点。 ∵P,C,G,D 成调和点列 CP DP ∴ = ? GC ? DP = CP ? DG CG DG
? GC (CP + DP ) = CP ? DC ? 2GC ? DP = DC (GC + CP )

C A E G B

F

O

2GC DC 2CE CF = ? = GP DP PA PA ∴CE=EF
?

D

【证法三】 : ∵P,C,G,D 成调和点列 PC CG ∴有 = PD DG 又∵CF//PA PC AF CG ∴ = = PD AD DG 对于△CFD 与截线 GEA 运用梅涅劳斯定理得: CG DA FE ? ? =1 GD AF EC ∴CE=EF

P

C A E G B

F

O

D

【证法四】 : 连接 AC 引理:一直线被调和线束中的三条平分当且仅当它与第四边平行
(由定义即得,证略)
P

∵P,C,G,D 成调和点列,且 CF//PA ∴CF 被线束 AC,AG,AD 平分 ∴CE=EF
A E

C G B

F

O

D



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