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高中数学(苏教版选修2-3)双基达标训练:3章 统计案例 本章测试


章末质量评估(三)
(时间:120 分钟 满分:160 分)

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.为了调查色弱与性别是否有必然联系,我们对一批人进行了检测,结果发现 表中数据(人数): 男 正常 色弱 统计量 χ2 的计算公式为 ?a+b+c+d??ad-bc?2 χ2= ,χ2 的值越大,表明判定色弱与性别有关的

可靠 ?a+b??c+d??a+c??b+d? 性越________(填“大”或“小”). 答案 大
^

女 b d

a c

2.若线性回归方程中的回归系数b=0,则相关系数 r=________.

解析

b=

^

i=1

? ?xi- x ??yi- y ? ? ?xi- x ?2
n

n

i=1 n

? ?xi- x ??yi- y ?
.

n

,r=
n i=1 i=1

i =1 ^

? ?xi- x ?2 ? ?yi- y ?2

若b=0,则 r=0. 答案 0

3. 某考察团对全国 10 大城市进行职工人均平均工资 x 与居民人均消费 y 进行统 计调查,y 与 x 具有相关关系,线性回归方程y=0.66x+1.562(单位:千元), 若某城市居民消费水平为 7.675, 估计该城市消费额占人均工资收入的百分比 约为________. 解析 ∵y=7.675,∴7.675=0.66x+1.562,
^ ^

7.675 ∴x=9.262,由题意9.262×100%≈83%. 答案 83%

第 1 页 共 12 页

4.变量 x 与 y 具有线性相关关系,当 x 取值为 16,14,12,8 时,通过观测得到 y 的值分别为 11,9,8,5.若在实际问题中, y 的预报值最大是 10, 则 x 的最大取值 不能超过________. 解析 由题中数据可求得线性回归方程为 y=0.729x-0.857 ,当y=10 时,
^ ^

x≈14.89≈15, ∵0.729>0, ∴当 y 的预报最大取值为 10 时,x 的最大取值不能超过 15. 答案 15

5.已知 x,Y 之间的数据如下表所示,则 Y 与 x 之间的线性回归直线一定过点 ________. x Y 1.08 2.25 1.12 2.37 1.19 2.40 1.28 2.55

解析 回归直线一定过样本中心点( x , y ),由已知数据得, x =1.167 5, y = 2.392 5. 答案 (1.167 5,2.392 5) 6.冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备,为了检验用这两种设备生产 的产品中所含杂质的关系,调查结果如下表所示: 杂质高 旧设备 新设备 根据以上数据,则有________. 解析 由已知数据得 2×2 列联表,得公式 χ2= 382×?37×202-121×22?2 158×224×59×323 37 22 杂质低 121 202

≈13.11 由于 13.11>6.635,所以有 99%的把握认为含有杂质的高低与设备改造有关. 答案 含有杂质的高低与设备改造有关
^

7.设有一个回归方程为y=3-5x,变量 x 增加一个单位时________. 解析 答案 -5 是斜率的估计值, 说明 x 每增加一个单位时, y 平均减少 5 个单位. y 平均减少 5 个单位

8.某工厂为了调查工人文化程度与月收入关系,随机抽取了部分工人,得到如
第 2 页 共 12 页

下列表: 月收入 2 000 元以下 高中文化 以上 高中文化 及以下 总计 10 45 55 月收入 2 000 元及以上 总计

20 30

30 75

50 105

由上表中数据计算得 χ2=

105×?10×30-20×45?2 ≈6.109,估计有________ 55×50×30×75

把握认为“文化程度与月收入有关系”. 答案 97.5%

9.计算下面事件 A 与事件 B 的 2×2 列联表的 χ2 统计量值,得 χ2≈________, 从而得出结论________. B A A 总计 解析
2

B 157 167 324

总计 196 196 392

39 29 68

392×?39×167-157×29?2 χ= ≈1.779. 196×196×68×324

∵1.779<2.076,∴没有充分的证据显示两者有关系. 答案 1.779 没有充分的证据显示两者有关系

10.某单位为了解用电量 y 度与气温 x℃之间的关系,随机统计了某 4 天的用电 量与当天气温. 气温(℃) 用电量(度)
^ ^

14 22
^ ^

12 26

8 34

6 38

由表中数据得线性回归方程y=bx+a中b=-2,据此预测当气温为 5 ℃时, 用电量的度数约为________. 解析 回归方程过点( x , y )=(10,30),

则回归方程为 y=-2x+50.
第 3 页 共 12 页

答案

40

11.分类变量 X 和 Y 的列联表如下: Y1 X1 X2 总计 a c a+c Y2 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d

则下列说法正确的是________. ①ad-bc 越小,说明 X 与 Y 关系越弱; ②ad-bc 越大,说明 X 与 Y 关系越强; ③(ad-bc)2 越大,说明 X 与 Y 关系越强; ④(ad-bc)2 越接近于 0,说明 X 与 Y 关系越强. 解析 n?ad-bc?2 因为 χ = , ?a+b??a+c??b+d??c+d?
2

当(ad-bc)2 越大时,χ2 越大,说明 X 与 Y 关系越强. 答案 ③

12.在研究硝酸钠的可溶性程度时,对于不同的温度观测它在水中的溶解度,得 观测结果如下: 温度(x) 溶解度(y) 0 66.7 10 76.0 20 85.0 50 112.3 70 128.0

由资料看 y 与 x 呈线性相关,试求线性回归方程为________. 解析
5

x =30, y =

66.7+76.0+85.0+112.3+128.0 =93.6, 5

i=1

?xiyi=0×66.7+10×76.0+20×85.0+50×112.3+70×128.0=17 035,
5

i=1

?xi2=02+102+202+502+702=7 900.
5

b=

^

i=1

?xiyi-5 x
xi2-5 i=1

y ≈0.880 9.

?

5

x

2

第 4 页 共 12 页

a= y -b x =93.6-0.880 9×30=67.173. ∴线性回归方程为y=0.880 9x+67.173. 答案 y=0.880 9x+67.173
^ ^

^

^

13.对有关数据的分析可知,每一立方米混凝土的水泥用量 x(单位:kg)与 28 天 后混凝土的抗压度 y(单位:kg/cm2)之间具有线性相关关系,其线性回归方程 为y= 0.30x + 9.99. 根据建设项目的需要, 28 天后混凝土的抗压度不得低于 89.7 kg/cm2, 每立方米混凝土的水泥用量最少应为________kg.(精确到 0.1 kg) 解析 答案 由 0.30x+9.99≥89.7,得 x≥265.7. 265.7
^

14. 如果某地的财政收入 x 与支出 y 满足线性回归方程 y=a+bx+ε(单位: 亿元), 其中 b=0.8,a=2,|ε|≤0.5.若今年该地区的财政收入为 10 亿元,则年支出 预计不会超出________亿元. 解析 当 x=10 时,y=2+0.8×10+ε=10+ε.
^ ^

∵|ε|≤0.5.∴y<10.5 答案 10.5

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 15.(本小题满分 14 分)在调查男女同学是否喜爱篮球的情况中,已知男同学喜 爱篮球的为 28 人,不喜爱篮球的也是 28 人,而女同学喜爱篮球的为 28 人, 不喜爱篮球的为 56 人, (1)根据以上数据建立一个 2×2 的列联表; (2)试判断是否喜爱篮球与性别有关? 解 (1)2×2 列联表如下: 喜爱篮球 男同学 女同学 合计 (2)计算 28 28 56 不喜爱篮球 28 56 84 合 56 84 140 计

第 5 页 共 12 页

140×?28×56-28×28?2 35 χ= = 9 ≈3.889. 56×84×56×84
2

因为 χ2>3.841,故我们有 95%的把握认为是否喜爱篮球与性别有关. 16.(本小题满分 14 分)已知某地每单位面积菜地年平均使用氮肥量 x(kg)与每单 位面积蔬菜年平均产量 y(t)之间的关系有如下数据: 年份 x(kg) y(t) 1985 70 5.1 1986 74 6.0 1987 80 6.8 1988 78 7.8 1989 85 9.0 1990 92 10.2 1991 90 10.0 1992 95 12.0

年份 x(kg) y(t)

1993 92 11.5

1994 108 11.0

1995 115 11.8

1996 123 12.2

1997 130 12.5

1998 138 12.8

1999 145 13.0

(1)求 x 与 y 之间的相关系数,并检验是否线性相关; (2)若线性相关,求蔬菜产量 y 与使用氮肥量 x 之间的回归直线方程,并估计 每单位面积施肥 150 kg 时,每单位面积蔬菜的年平均产量. (已知数据: x =101, y ≈10.113 3, ?xi2=161 125, ?yi2=1 628.55, ?xiyi
i =1 i=1 i=1 15 15 15

=16 076.8) 解 由已知数据,故每单位面积蔬菜产量与使用氮肥量的相关系数

i=1

?xiyi-15 x y
15

15

r=
2 2 2 ? ?x2 i -15 x ?? ?yi -15 y ? i=1 i=1 15



16 076.8-15×101×10.113 3 ≈0.863 2>0.75. ?161 125-15×1012?×?1 628.55-15×10.113 32?

这说明每单位面积蔬菜产量与使用氮肥量之间存在着很强的线性相关关系. (2)设所求的回归直线方程为y=bx+a,
^ ^ ^

第 6 页 共 12 页

则b=

^

i=1

?xiyi-15 x
2 ?x2 i -15 x 15

15

y ≈0.093 1,

i=1 ^ ^

a= y -b x =0.710 2, 则y=0.093 1x+0.710 2. 当每单位面积菜地施肥 150 kg 时, y=0.093 1×150+0.710 2=14.675 2(t). 17.(本小题满分 16 分)某企业有两个分厂生产某种零件,按规定内径尺寸(单位: mm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中各抽出 了 500 件,量其内径尺寸,得结果如下表: 甲厂: 分组 频数 乙厂: 分组 频数 [29.86, 29.90) 29 [29.90, 29.94) 71 [29.94, 29.98) 85 [29.983 [30.02, 0.02), 159 30.06) 76 [30.06, 30.10) 62 [30.10, 30.14) 18 [29.86, 29.90) 12 [29.90, 29.94) 63 [29.94, 29.98) 86 [29.983 [30.02, 0.02), 182 30.06) 92 [30.06, 30.10) 61 [30.10, 30.14) 4
^ ^

(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率; (2)由以上统计数据填下面 2×2 列联表,并问是否有 99%的把握认为“两个 分厂生产的零件的质量有差异”? 甲厂 优质品 非优质品 合 附: 计 乙厂 合计

第 7 页 共 12 页

P(χ2≥x0) x0 解

0.05 3.841

0.01 6.635

(1)甲厂抽查的产品中有 360 件优质品,从而甲厂生产的零件的优质品率

360 估计为500=72%; 乙厂抽查的产品中有 320 件优质品,从而乙厂生产的零件的优质品率估计为 320 500=64%. (2) 甲厂 优质品 非优质品 合计 360 140 500 乙厂 320 180 500 合计 680 320 1 000

1 000×?360×180-320×140?2 χ2= ≈7.35>6.635, 500×500×680×320 所以有 99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”. 18.(本小题满分 16 分)在电阻碳含量对于电阻的效应研究中,得到如下表所示 的数据: 含碳量 (x/%) 20 ℃时电阻 (y/Ω) 0.10 0.30 0.40 0.55 0.70 0.80 0.95

15

18

19

21

22.6

23.8

26

(1)求出 y 与 x 的相关系数并判断相关性; (2)求出电阻 y 关于含碳量 x 之间的回归直线方程. 解
7

(1) x ≈0.543, y ≈20.771,
7 7

i=1

?xi2=2.595, ?y2 i =3 104.2, ?xiyi=85.61.
i=1 i=1

第 8 页 共 12 页

i=1

?xiyi-7 x
7

7

y

代入公式,得 r=
2 2 2 ? ?x2 i -7 x ?? ?yi -7 y ? i=1 i=1 7



85.61-7×0.543×20.771 ?2.595-7×0.5432??3 104.2-7×20.7712?

≈0.996>r0.05. 故 y 与 x 之间有很强的线性相关关系.

(2)b=

^

i=1

?xiyi-7 x y
2 ?x2 i -7 x 7

7



85.61-7×0.543×20.771 2.595-7×?0.543?2

i=1

≈12.540, a= y -b x =20.771-12.540×0.543≈13.961, ∴电阻 y 关于含碳量 x 之间的回归直线方程是 y=12.540x+13.961. 19.(本小题满分 16 分)某商场经营一批进价是 30 元/台的小商品,在市场试验中 发现,此商品的销售单价 x(x 取整数)元与日销售量 y 台之间有如下关系: x y 35 56 40 41 45 28 50 11
^ ^ ^

(1)画出散点图,并判断 y 与 x 是否具有线性相关关系? (2)求日销售量 y 对销售单价 x 的线性回归方程; (3)设经营此商品的日销售利润为 P 元,根据(1)写出 P 关于 x 的函数关系式, 并预测当销售单价 x 为多少元时,才能获得最大日销售利润. 解:(1)散点图如图所示,从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近, 因此两个变量线性相关.

第 9 页 共 12 页

1 (2)∵ x =4×(35+40+45+50)=42.5. 1 y =4×(56+41+28+11)=34.

i=1

?xi yi=35×56+40×41+45×28+50×11=5 410.
4

4

i=1

?xi2=352+402+452+502=7 350.
4

∴b=

^

i=1

?xi yi-4 x ?xi2-4 x 2
^ 4

y = 5 410-4×42.5×34 -370 = 125 ≈-3. 7 350-4×42.52

i=1 ^

∴a= y -b x =34-(-3)×42.5=161.5. ∴y=-3x+161.5. (3)依题意有 P=(-3x+161.5)(x-30)=-3x2+251.5x-4 845 251.5 251.52 =-3(x- 6 )2+ 12 -4 845. 251.5 ∴当 x= 6 ≈42 时,P 有最大值,约为 426. 即预测销售单价为 42 元时,能获得最大日销售利润. 方法点评:该题属于线性回归问题,解答本类题目的关键首先应先通过散点
第 10 页 共 12 页
^

图(或相关性检验求相关系数 r)来分析两变量间的关系是否相关,然后再利用 求回归方程的公式求解回归方程,在此基础上,借助回归方程对实际问题进 行分析. 20.(本小题满分 16 分)想象一下一个人从出生到死亡,在每个生日都测量身高, 并作出这些数据的散点图,这些点将不会落在一条直线上,但在一段时间内 的增长数据有时可以用线性回归来分析,下表是一位母亲给儿子做的成长记 录:

年龄/周岁 身高/cm

3 91.8

4 97.6

5 104.2

6 110.9

7 115.6

8 122.0

9 128.5

年龄/周岁 身高/cm

10 134.2

11 140.8

12 147.6

13 154.2

14 160.9

15 167.5

16 173.0

(1)年龄(解释变量)和身高(预报变量)之间具有怎样的相关关系? (2)如果年龄相差 5 岁,则身高有多大差异(3~16 岁之间)? (3)如果身高相差 20 cm,其年龄相差多少(3~16 岁之间)? (4)计算残差,说明该函数模型是否能够较好地反映年龄与身高的关系,说明 理由. 解
n

(1) 设年龄 x 与身高 y 之间的回归直线方程为 y = b x + a ,由公式 b = y 得b≈6.286,a= y -b x ≈72,所以y=6.286x+72.
^ ^ ^ ^

^

^

^

^

i=1

?xiyi-n x ?xi2-n x 2
n

i=1

(2)如果年龄相差 5 岁, 则预报变量变化 6.286×5=31.425, 即身高相差约 31.4 cm. 20 (3)如果身高相差 20 cm,年龄相差 Δx=6.286=3.182≈3(岁). (4)
第 11 页 共 12 页

y yi y yi
^ ^

91.8 90.9

97.6 97.1

104.2 103.4

110.9 109.7

115.6 116.0

122.0 122.3

128.5 128.6

134.2 134.9
n

140.8 141.1
^

147.6 147.4

154.2 153.7

160.9 160.0

167.5 166.3

173.0 172.6

i=1

? ?yi-y?2
≈0.999 7.由 R2=0.999 7, 表明年龄解释了 99.97%

由表得 R =1-

2

i=1

? ?yi- y ?2

n



身高的变化,拟合效果较好.

第 12 页 共 12 页


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