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空间几何知识总结和题型总结


空间几何
(一)空间几何的结构及其三视图和直观图
一、空间几何体结构
1.几种特殊四棱柱的特殊性质 名称 平行六面体 直平行六面体 长方体 正方体 特殊性质 底面和侧面都是平行四边行; 侧棱垂直于底面,各侧面都是矩形 底面和侧面都是矩形; 棱长都相等,各面都是正方形

2.棱柱、棱锥、棱台的基本概念和主要性质 名称 棱柱 直棱柱

正棱柱









有两个面互相平 行,而其余每相 邻两个面的交线 都互相平行的多 面体 平行且相等 平行四边形 平行四边形 与底面全等的多 边形

侧棱垂直于底面 的棱柱

底面是正多边 形的直棱柱

侧棱 侧面的形状 对角面的形状 平行于底面的 截面的形状

平行且相等 矩形 矩形 与底面全等的多 边形

平行且相等 全等的矩形 矩形 与底面全等的 正多边形

名称

棱锥

正棱锥

棱台

正棱台

图形

定义

有一个面是多边 形,其余各面是 有一个公共顶点 的三角形的多面 体 相交于一点但不 一定相等 三角形 三角形 与底面相似的多 边形

底面是正多边形

用一个平行于棱 锥底面的平面去 截棱锥,底面和 截面之间的部分 延长线交于一点 梯形 梯形 与底面相似的多 边形

由正棱锥截得的 棱台

侧棱 侧面的形状 对角面的形状 平行于底的截 面形状

相交于一点且相 等 全等的等腰三角 形 等腰三角形 与底面相似的正 多边形 高过底面中心; 侧棱与底面、侧 面与底面、相邻 两侧面所成角都 相等

相等且延长线交 于一点 全等的等腰梯形 等腰梯形 与底面相似的正 多边形 两底中心连线即 高; 侧棱与底面、 侧面与底面、相 邻两侧面所成角 都相等

其他性质

3.圆柱,圆锥,圆台和球(旋转体) (1)圆柱:由矩形绕其一边旋转而得。 (2)圆锥:由直角三角形绕其一条直角边旋转而得 (3)圆台:由直角梯形绕其直角腰旋转而得 (4)球:由半圆或圆绕其直径旋转所得 4.直观图(斜二测画法的步骤:平面图形) (1)在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴,两轴相交于 O 点.画直观图时, 把它画成对应的 x′轴或 y′轴 ,使 它确定的平面表示水平平面. (2)已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段, 在直观图中分别画成平行于 x′轴 或 y’轴的线段. (3)已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中保持原长度不变;平行于 y 轴 的线段,长度为原来的一半. 总结: (1)特点:横同、竖半、平行性不变 (2)关键:确定各个顶点的位置 二、几何体的三视图 正视图:反映了物体的高度和长度 侧视图:反映了物体的高度和宽度

俯视图:反映了物体的长度和宽度 注:三视图之间的投影规律:长对正,高平齐,宽相等 画几何体的三视图时, 能看得见的轮廓线或棱用实线表示,不能看得见的轮 廓线或棱用虚线表示 三、几何体的表面积和体积公式 ' (1)特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高, h 为斜高,l 为母线)

S直棱柱侧面积 ? ch

S正棱锥侧面积 ?

1 ch ' 2
S圆柱表 ? 2?r ?r ? l ?

1 S正棱台侧面积 ? (c1 ? c2 )h' S圆柱侧 ? 2?rh 2 S圆锥侧面积 ? ?rl S圆锥表 ? ?r?r ? l ?

S圆台侧面积 ? (r ? R)?l
V柱 ? Sh
1 V锥 ? Sh 3

S圆台表 ? ? r 2 ? rl ? Rl ? R2
1 V圆锥 ? ?r 2 h 3

?

?

(2)柱体、锥体、台体的体积公式

1 V台 ? (S ' ? S ' S ? S )h 3

V圆柱 ? Sh ? ? r 2 h

1 1 V圆台 ? (S ' ? S ' S ? S )h ? ? (r 2 ? rR ? R2 )h 3 3
(4)球体的表面积和体积公式:V 球 =

4 ? R3 ; S 球面 = 4? R 2 3

(二)直线与平面的位置关系 一、空间点、直线、平面之间的位置关系 1 平面含义:平面是无限延展的 2 三个公理: (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 符号表示为 A∈L A B∈L => L α α · L A∈α B∈α 公理 1 作用:判断直线是否在平面内. (2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 A B · α · C 符号表示为:A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α, · 使 A∈α、B∈α、C∈α。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共 直线。 β 符号表示为:P∈α∩β =>α∩β=L,且 P∈L P α 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据. · L 二、空间中直线与直线之间的位置关系

1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 共面直线 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b =>a∥c c∥b 强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. ? 注:① 两条异面直线所成的角θ∈(0, ); 2 ② 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b; ③ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ④ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 三、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: 1. 线面平行
l
A

2. 线面相交
l α

3. 线在面内
l

α

α

符号表示:

符号表示:

符号表示:

(三)平行关系
一、直线、平面平行的判定及其性质 1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与 此平面平行。 简记为:线线平行,则线面平行。 2 直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平 面的交线与该直线平行。简记为:线面平行则线线平行。 3、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面 平行。简记为:线面平行则面面平行。 4、两个平面平行的性质定理:如果两个平行的平面同时与第三个平面相交,那么它们的交 线平行。简记为:面面平行则线线平行。 二、做题方法 (一) 、证明线线平行 方法一:用线面平行实现。
l ?

l // ? ? ? l?? ? ? l // m ? ? ? ? m? ?

?

m

方法二:用面面平行实现。
l β γ α m

? // ? ? ? ? ? ? ? l ? ? l // m ? ? ? ? m? ?

方法三:用线面垂直实现。 若 l ? ? , m ? ? ,则 l // m 。 方法四:用向量方法: 若向量 l 和向量 m 共线且 l、m 不重合,则 l // m 。 (二)证明线面平行 方法一:用线线平行实现。
l m α

l α A C B

l // m ? ? m ? ? ? ? l // ? l ?? ? ?

方法二:用面面平行实现。
β α l

? // ? ? ? ? l // ? l ? ??

方法三:用平面法向量实现。 若 n 为平面 ? 的一个法向量, n ? l 且 l ? ? ,则 l // ? 。

n

l

α

(三) 、证明面面平行 1. 面面平行: 方法一:用线线平行实现。
l

β α l' m'

m

? ? ? ? ? ? // ? l , m ? ?且相交 ? l ' , m' ? ?且相交? ? l // l ' m // m'

方法二:用线面平行实现。

β α

m

l

l // ?

? ? m // ? ? ? ? // ? l , m ? ? 且相交? ?

(四)垂直关系
一、直线、平面垂直的判定及其性质 1、直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线 与此平面垂直。 2、直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行

3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直 4、两个平面垂直的性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个 平面垂直。 二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形,二面角的记法:二面角 α-l-β或α-AB-β 二、做题方法 (一)证明线线垂直 方法一:用线面垂直实现。
l m α

l ?? ? ??l ?m m ? ??

方法二:三垂线定理及其逆定理。

P A O

PO ? ? ? ? l ? OA ? ? l ? PA l ?? ? ?

α

l

方法三:用向量方法: 若向量 l 和向量 m 的数量积为 0,则 l ? m 。

(二) 、证明线面垂直 方法一:用线线垂直实现。

l α A C B

l ? AC ? ? l ? AB ? ??l ?? AC ? AB ? A? AC, AB ? ? ? ?

方法二:用面面垂直实现。

β

l m

? ?? ? ? ? ?? ? m ??l ?? l ? m, l ? ? ? ?

α
(三) 、证明面面垂直 方法一:用线面垂直实现。
β l

l ??? ??? ? ? l ? ??

α

方法二:计算所成二面角为直角。

(五)空间角
(1)异面直线所成的角(线线角) :通过直线的平移,把异面直线所成的角转化为平面内 相交直线所成的角。异面直线所成角的范围: 0 ? ? ? 90 ;
o o

求解方法: (a)平移,使它们相交,找到夹角,解三角形求出角。(常用到余弦定理) 余弦定理:
a θ b

a2 ? b2 ? c2 cos? ? 2ab

c

(b)向量法。转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角): cos? ?

AB ? AC AB ? AC

(2)线面所成的角(线面角) :范围: [0?,90?] 注:当 ? ? 0? 时, l ? ? 或 l // ? ,
o

当 ? ? 90? 时, l ? ?
o

斜线与平面所成的角:范围 0 ? ? ? 90 ;即也就是斜线与它在平面内的射影所成的角。

P A θ

α

O

求解方法: (a)作出线面角,并证明。然后解三角形,求出线面角

(b)向量法( n 为平面 ? 的一个法向量)。 sin ? ? cos ? n, AP ? ?

n ? AP n ? AP

(3)面面所成的角(面面角) :二面角及其平面角 1、定义:在棱 l 上取一点 P,两个半平面内分别作 l 的垂线(射线)m、n,则射线 m 和 n 的夹角 ? 为二面角 ? —l— ? 的平面角。范围: [0?,180?] 2、求解方法: (a)定义法:作出二面角的平面角(三垂线定理),并证明。解三角形,求出 二面角的平面角。 (b)截面法:如图(1),若平面 POA 同时垂直于平面 ?和? ,则交线(射线)AP 和 AO 的夹角就是二面角。解三角形,求出二面角。

n1
β P θ α O A

n2

θ

(1)

(2)

(c) 坐标法(计算结果可能与二面角互补)。如图(2) 计算 cos ? n1 ? n2 ??

n1 ? n2 n1 ? n2

,判断 ? 与 ? n1 ? n2 ? 的关系,可能相等或者互补。

(六)空间距离
(1)点到平面的距离 1、定义: 面外一点引一个平面的垂线,这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个 平面的距离. 2、求点面距离常用的方法: 1)几何法。

P

? A

O

步骤 1:过点 P 作 PO ? ? 于 O,线段 PO 即为所求。 步骤 2:计算线段 PO 的长度。(直接解三角形;等体积法和等面积法;换点法) 体积法其步骤是:①在平面内选取适当三点,和已知点构成三棱锥;②求出此三棱锥的 体积 V 和所取三点构成三角形的面积 S;③由 V= 2)坐标法。
P O

1 S·h,求出 h 即为所求. 3

d ? AP ? cos ? n ? AP ?
n ? AP n

n α A θ

?

(2)直线和平面的距离、平行平面的距离 将线面、面面距离转化为点面距离,然后运用解三角形或体积法求解之. (3)异面直线之间的距离 (a)转化为线面距离。
m

?

n

如图,m 和 n 为两条异面直线, n ? ? 且 m // ? ,则异面直线 m 和 n 之间的距离可转化为 直线 m 与平面 ? 之间的距离。 (b)直接计算公垂线段的长度。

补充知识:
1、三点共线,四点共面问题 (a). A,B,C 三点共线 ? OA ? xOB ? yOC ,且 x ? y ? 1 ,当 x ? y ? BC 的中点 (b)A,B,C 三点共线 ? AB ? ? AC ( c ) A,B,C,D 四点共面 ? OA ? xOB ? yOC ? zOD ,且 x ? y ? z ? 1 ( d ) A,B,C,D 四点共面 ? AB ? x AC ? y AD

1 时,A 是线段 2

2、常见几何体的特征及运算 1. 长方体的对角线相等且互相平分。 2. 若长方体的长宽高分别为 a、b、c,则体对角线长为 ,表面积为 ,体积为

3. 正棱锥:底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。 4、棱锥的性质:平行于底面的的截面与底面相似,且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥 的高的平方比。 5、正棱锥的性质:各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形。 6、设球半径为 R,小圆的半径为 r,小圆圆心为 O1,球心 O 到小圆的距离为 d,则它们三 者之间的数量关系是

r ? R2 ? d 2



7、球面距离:经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。 三视图、直观图、体积表面积计算 1.【2012 高考新课标】如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视

图,则此几何体的体积为(



( A) 6

( B) 9

(C ) ??

( D ) ??

2. 【2012 高考新课标】 平面α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1, 球心 O 到平面α 的距离为 2, 则此球的体积为 (A) 6π (B)4 3π (C)4 6π (D)6 3π

3.【2012 高考陕西】将正方形(如图 1 所示)截去两个三棱锥,得到图 2 所示的几何体,则 该几何体的左视图为 ( )

4.【2012 高考江西】若一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为

A.

11 2

B.5

C.4

D.

9 2

5.【2012 高考湖南】某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示,则该几何体的俯视图不可能 ... 是

6.【2012 高考广东】某几何体的三视图如图 1 所示,它的体积为

6 3 5 5 5

6 3 5

正视图

侧视图

俯视图 图1 A. 72? B. 48? C. 30? D. 24?

7.【2102 高考福建】一个几何体的三视图形状都相同,大小均等,那么这个几何体不可以是 A 球 B 三棱锥 C 正方体 D 圆柱 8.【2012 高考上海】一个高为 2 的圆柱,底面周长为 2? ,该圆柱的表面积为 【答案】 6? 9.【2012 高考湖北】已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为____________.

【答案】 12? 10. 【2012 高考辽宁】 一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为_______________.

m

11.【2012 高考江苏】如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? AD ? 3cm , AA1 ? 2cm ,则 四棱锥 A ? BB1D1D 的体积为 ▲ cm .
3

12(2013 年高考重庆卷)某几何体的三视图如题(8)所示,则该几何体的表面积为

( A. 180 B. 200 C. 220 D. 240



13 ( 2013 年高考课标 Ⅱ 卷) 一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标分别是

(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0) ,画该四面体三视图中的正视图时 ,以 zOx 平面为投影面 , 则得
到正视图可以为

( A. B. C. D. (
14(2013 年高考四川卷)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是

) )

A.棱柱

B.棱台

C.圆柱

D.圆台

2

1 正视图

1 侧视图

俯视图 图 2

15. (2013 年高考广东卷)某三棱锥的三视图如图 2 所示,则该三棱锥的体积是

( A.



1 6

B.

1 3

C.

2 3

D. 1

16(2013 年高考湖南)已知长方体的棱长为 1,其俯视图是一个面积为 1 的正方形,侧视图是

一个面积为 2 的矩形,则该正方体的正视图的面积等于______





A.

3 2

B.1

C.

2 ?1 2

D. 2

17(2013 年高考山东卷)一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如右图所

示该四棱锥侧面积和体积分别是

( A. 4 5,8 B. 4 5,



8 3

C. 4( 5 ? 1),

8 3

D.8,8

18(2013 年高考江西卷)一几何体的三视图如右所示,则该几何体的体积为

( A.200+9π B.200+18π C.140+9π D.140+18π



19(2013 年高考陕西卷)某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为________.

20(2013 年高考天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为

9? , 则 2

正方体的棱长为 ______.

空间平行与垂直
1、如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 是 AA1 的中点,

BDE 。 求证: AC 1 // 平面
A
1

D
1

B
1

E A

C
1

D C

B

2、已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 , O 是底 ABCD 对角线的交点. 求证: C1O∥面 AB1D1 ;
D1 A1 D O A B B1

C1

C

3、如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 是 AA1 的中点.

BDE ; (1)求证: AC (2)求证:平面 A1 AC ? 平面 BDE . 1 // 平面

4、正方体 ABCD—A1B1C1D1 中.(1)求证:平面 A1BD∥平面 B1D1C; (2)若 E、F 分别是 AA1,CC1 的中点,求证:平面 EB1D1∥平面 FBD. D1 A1 B1 F E D A B G C C1

5、如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 、 F 、 G 分别是 AB 、 AD 、 C1 D1 的中点. 求证:平面 D1EF ∥平面 BDG .

6、如图,已知空间四边形 ABCD 中, BC ? AC, AD ? BD , E 是 AB 的中点。 求证: (1) AB ? 平面 CDE;(2)平面 CDE ? 平面 ABC 。 A E

B

C

D 7、已知 ?ABC 中 ?ACB ? 90 , SA ? 面 ABC , AD ? SC ,求证: AD ? 面 SBC .

S

D A C B

BD ' ? 平面ACB ' 8、正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中, 求证: (1)AC ? 平面B ' D ' DB ; (2)

9、四面体 ABCD 中, AC ? BD, E, F 分别为 AD, BC 的中点, 且 EF ?

2 AC , 2

?BDC ? 90 ,求证: BD ? 平面 ACD

10、已知 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , AB ? 2 , PA ? AD ? 4 , E 为 BC 的中点. 求证: DE ? 平面 PAE ;

11 、 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是 ?DAB ? 60 且边长为 a 的菱形,侧
0

面 PAD 是等边三角形,且平面 PAD 垂直于底面 ABCD . (1)若 G 为 AD 的中点,求证: BG ? 平面 PAD ; (2)求证: AD ? PB ;

12、如图 1,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, M 为 CC1 的中点,AC 交 BD 于点 O,求证:

AO ? 平面 MBD. 1

13、如图,过 S 引三条长度相等但不共面的线段 SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60°,∠ BSC=90°,求证:平面 ABC⊥平面 BSC.


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