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1.1 数列概念


1.1 数列的概念

遂平一高

魏海群

教学目标
知识与能力 (1)理解数列的概念及数列的表示方 法(列表法、图象法、通项公式法),能用 函数的观点认识数列; (2)了解数列的通项公式的意义,会根 据数列的通项公式写出数列的任意一项 ; (3)知道递推公式是给出数列的一种 方法,并能根据递推公式写出数列的

前n项.

教学重难点
重点:数列的概念及数列的通项公式, 数列递推公式的概念. 难点:各项的特点找出规律写出前n项 的通项公式.根据递推关系求通项公式.

高斯小时候很淘气,有 一次他和小伙伴们惹恼了算 术老师,于是老师决定出一 道难题,要求学生求出从1到 100的所有自然数的和,并规 定必须做完才能回家,同学 们刚开始低头苦算时,高斯 却已得出了结果,大家都感 到很惊讶。

高斯

国际象棋起源于古印度,关于国际象棋 还有一个传说。国王奖赏发明者,问他有什 么要求,他答道:“在棋盘第一个格放1颗麦 粒,在第二个格放2颗麦粒,在第三个格放4 颗麦粒,在第四个格放8颗麦粒。以此类推, 每个格子放的麦粒数是前一个格子的2倍,直 到64个格子。国王觉得这太容易了,就欣然 答应了他的要求,你认为国王能满足他的要 求吗?

2 23 4 25 26 27 … 263 2 2 1 2 2+…+263 =18446744073709551615 1+2+2 国王要给多少麦粒?

陛下国库 陛下赏小 里的麦子 你想得到 人几粒麦就 不够小人 什么样的 搞定。 搬啊! 赏赐?

OK

?

某业余爱好者观察旗杆在8~12点 杆影长的记录。
50米, 45米, 30米, 25米, 10米

由前面,我们所看那些数可以看 成一个数列,本章将会告诉我们怎样 运算。

想一想
从下往上钢管的数目有什么规律? 钢管的总数是多少?如果增加钢管的层数, 有没有更快捷的方法求出总数?
7---6---5---4---3---2---1---10 9, 8, 7, 6, 5, 4,

从1984到2004年金牌数

奥运
之光

15, 5, 16, 16, 28,32

请观察:
(1) 2, 3, 4, 5, 6, (2) 1,3, 32 ,33,34,… (3) 0, 10, 20, 30, …, 1000
(4)
1 2 , , 2 3 3 , 4 4 , 5

….

(5) -1, 1, -1, 1, -1, … (6) 66, 56, 34, 21, 11…

向上面的例子中,按一定次序排列的 一列数叫数列. 数列中的每一个数叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项,第2项, · · · · · · ,第n项, · · · · · · 数列的项可以写成 a1,a2,…,an,…

其中an是数列的第n项,也叫通项,简记为 {an}.

数列的分类
(1)按项分类:可以分为有穷数列和无穷数列 .

有穷数列:项数有限的数列

无穷数列:项数无限的数列

如果数列{ an }中的第n 项an与n之间的关系可以用 一个公式来表示,则称此公 式为数列的通项公式.

上述6个数列中的项与序号的关系有没有规 律?如何总结这些规律? 数列中的每一个数都对应着一个序号,反过 来,每个序号也都对应着一个数.如数列(1) 序号 1 2 3 4 5

← ← ← ← ←
2 3 4 5 6



如果已知一个数列的通项公式,那么依次用1 ,2,3,….代替公式中的n,就可以求出这个数 列的各项.

从函数的观点看,数列可以看作是一个 定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1, 2,…,n})的函数自变量从小到大一次取值 时对应的一列函数值,且数列的通项公式也 就是相应函数的解析式. 数列可以用图像来表示:(见下页)

an
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

an=n+1的图象
数列图象 是一些点

O

1 2 3 4 5 6 7

n

注意:
有些数列的通项公式并不唯一, 如数列(5) 并不是所有的数列都有通项公式 ,如数列(6)

基本 题型

根据数列的前几项写出数 列的一个通项公式

解决本类问题关键是观察归纳 各项与对应的项数之间的联系.同 时.要善于利用我们熟知的一些基本 数列,建立合理的联想,转化而达 到问题的解决.

例1

观察下面数列的特点,用适当 的数填空,并写出每个数列的一个 通项公式:
3 2 7 5 1 ,(), , ... ( 1) , , 4 3 12 12 3

(2)1,2,4,8,(),32

分析 (1)根据观察:分母的最小公倍数为12, 把各项都改成以12为分母的分数. (2)一看都是2的倍数,则要分析是2的 几次幂. 答案

10 ? n 1 (1)括号内填 ,通项公式为:an= 12 2

(2)括号内填 16 ,通项公式为:an=2n-1

例2 写出下面数列的通项公式,是它们 的前四项分别是下列各数:

(1) 3,8,15,24,…
(2)-1, 3, -6, 10, … (3)6,66,666,6666,…

例2解析:
(1) 注意观察各项与对应序号的关系,可 以发现:
3=1×3, 8=2×4, 15=3×5, 24=4×6

所以an=n(n+2)。
本小题也可以与数列4,9,16, 25,…(n+1)2比较,得出: an=(n+2)2-1=n(n+2).

(2)各项的公共特点是负正相间。观察各 项绝对值与对应序号关系,初看找不到规律, 可将各项绝对值试序号:

1 2 = 1 = 1 2
6 4 3 = 2 =2
所以:

,

3 2

3 = 2

,

10 5 = 2 4


an

n ?1 n(n ? 1) n , 于是an=(-1) = 2 2 n

(3) 将题设数列与数列9,99,999, 9999,99999, …… an=10n-1 2 相比较,可得an= (10n-1) 3

总结评述
已知一个数列的前几项,写出这个数列的 一个通项公式时,将这个数列向我们熟悉的数 列划归,是一种重要的思路.

常见数列的通项公式:

(1)-1,1,-1,1,-1,1…,an= (-1)n
( 2 ) 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , … , a n= n (3) 2 ,4,6,8,10 …,an= 2n ( 4) 1 , 3, 5, 7, 9 …,an= 2n-1 (5)1,4,9,16,25 …,an= n2 (6) 9,99,999,9999 …,an= 10n-1

课堂小结
1、数列的概念
数列是按照一定次序构成的一列数,其中数 列中数的有序性是数列的灵魂.

2、数列的通项公式
如果数列{ an }中的第n项an与n之间的关系可 以用一个公式来表示,则称此公式为数列的通项 公式. 并非每一个数列都可以写出通项公式;有些 数列的通项公式也并非是唯一的.

3、数列的分类
有穷数列:项数有限
按项分类: 无穷数列:项数无限

探索延拓创新一




数列的通项公式an与 前n项和sn的关系

an 与前n项和Sn之间的关系式为: S1 , n=1 an =

Sn-Sn-1 , n ≥ 2
值得注意的是, 由前n项和sn求通项公式an=f(n)时,要 n=1与n ≥ 2两种情况分别进行运算,然后验 证两种情况可否用统一式子表示。若不能, 就用分段函数表示.

探索延拓创新二
数列通项公式an=2n-1(n ≤ 64),只要依次用 n=1,2,3,4,… 64代替公式中的n,就可以 求出各项,也就是说,
a1=1, a2=2=2a1 a3 =4=2a2 …… a64=2a63 即:a1=1, an=2an-1(2≤n ≤64)

向上面那样,如果已知数列{an}的第 一项(或前几项),且任一项 an与它的 前一项an-1(或前几项)间的关系可以用 一个公式来表示,那么这个公式就叫做这 个数列的递推公式. 递推公式也是给出数列的一种方法.

探索延拓创新三




如何求数列{an}的 通项公式an的最大 值?

思路一 数列是一个特殊的函数,我们可以

利用函数求最值的方法去求解数列中的
最值问题。即建立对应函数模型,但是

要注意与一般函数的区别。

思路二 利用an最大的一个必要条件 求解.

an≥an-1 an≥an+1

首先求得满足条件的n的取值范围,然 后找出此范围内的正整数的值,最后比较它 们对应项的大小,其中最大的一项就是an的 最大值.


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