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重庆市育才中学高2014级一轮复习学案(理科数学) 25三角函数的性质(教师用)


重庆市育才中学高 2014 级一轮复习学案

25 三角函数的性质

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25 三角函数的性质
一、学习内容:必修第二册 P30~36; 《高考调研》P63. 二、课标要求:

姓名

(1)了解周期函数与最小正周期的意义,会求一些简单三角函数的周期. (2)

了解三角函数的奇偶性、单调性、对称性,并会运用这些性质解决问题.

三、基础知识
1.正弦函数、余弦函数、正切函数的性质 函数 正弦函数 y=sinx 余弦函数 y=cosx 正切函数 y=tanx

图象

周期性 定义域

周期 T=

周期 T=

周期 T=

值域: 当 x= 值域 ymin= 当 x= ymax= 奇偶性 增区间 单调性 减区间 对 称 性 对称中心 对称轴 . ; 时 时

值域: 当 x= ymin= 当 x= ymax= . ; 时 时 值域:

2.周期公式 函数 y =Asin(? x ? ? ) ( ? ? 0 )的最小正周期 T =_______ , 函数 y =A tan(? x ? ? ) ( ? ? 0 )的最小正周期 T =_______ . 3. (1) 研究三角函数的性质, 应先化简为只含一个函数的一次式的形式, 如经常化为 y =Asin(? x ? ? ) 的形式,再把 ? x ? ? 看成一个整体. (2)研究函数 y =Asin(? x ? ? ) 的单调性,应看成复合函数来考虑.

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25 三角函数的性质

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四、基础练习
1.(2012 大纲文)若函数 f ( x) ? sin A.

? 2

B.

2? 3

x ?? (? ? ?0, 2? ?) 是偶函数,则 ? ? ( C ) 3 3? 5? C. D. 2 3

【命题意图】本试题主要考查了偶函数的概念与三角函数图像性质,. 【解析】由 f ( x) ? sin

x ?? (? ? ?0, 2? ?) 为偶函数可知, y 轴是函数 f ( x) 图像的对称轴,而三 3 ? ? ? 3? 角函数的对称轴是在该函数取得最值时取得,故 f (0) ? sin ? ?1 ? ? ? k? ? ? ? ? 3k? (k ? Z ) 3 3 2 2 3? ? ? 3? ,故选答案 C. ?1 ? ? ? k? ? ? ? ? 3k? (k ? Z ) ,而 ? ? ? 0, 2? ? ,故 k ? 0 时, ? ? 2 3 2 2
2. (12 课标理) 已知 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? sin(? x ? A. [ , ] ( A) ) 在 ( , ? ) 上单调递减.则 ? 的取值范围是 4 2 1 C. (0, ] D. (0, 2] 2

?

?

1 5 2 4

B. [ , ]

1 3 2 4 4

? 5? 9? ? ? 2 ? (? x ? ) ? [ , ] 不合题意 排除 ( D)
解:

4

4

? 3? 5? ? ? 1 ? (? x ? ) ? [ , ] 合题意 排除 ( B)(C)

? ? ? ? ? 3? ) ? ? ? ? ? 2 , (? x ? ) ?[ ? ? , ?? ? ] ? [ , ] 2 4 2 4 4 2 2 ? ? ? ? 3? 1 5 得: ? ? ? , ?? ? ? ? ?? ? 2 4 2 4 2 2 4
另: ? (? ?

?

4

4

4

3 . (2013 大纲版(理) ) )已知函数 f ? x ? = cos x sin 2 x ,下列结论中错误的是

(A) y ? f ? x ? 的图像关于 ?? , 0 ? 中心对称 (B) y ? f ? x ? 的图像关于直线 x ? (C) f ? x ? 的最大值为
【答案】C

?
2

对称

3 2

(D) f ? x ? 既奇函数,又是周期函数

4. (2013 江西(理) )函数 y ? sin 2 x ? 2 3 sin x 的最小正周期为 T 为_________.
2

【答案】 ?

5.(2012 北京理 15)已知函数 f ( x) ?

(sin x ? cos x)sin 2 x . sin x

(1)求 f ( x) 的定义域及最小正周期; (2)求 f ( x) 的单调递增区间.

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解 : f ( x) ?

(sin x ? cos x)sin 2 x (sin x ? cos x)2sin x cos x = = 2(sin x ? cos x) cos x = sin x sin x

sin 2 x ?1 ? cos 2 x = 2 sin(2 x ? ) ? 1 , {x | x ? k? , k ? Z } 4
(1) 原函数的定义域为 {x | x ? k? , k ? Z } ,最小正周期为 π ; (2)原函数的单调递增区间为 [? 6.(2012 安徽理 16)设函数 f ( x) ? (I)求函数 f ( x) 的最小正周期; (II) 设函数 g ( x) 对任意 x ? R , 有 g ( x ? 函数 g ( x) 在 [?? ,0] 上的解析式. 【解析】 f ( x) ?

?

?
8

? k? , k? )k ? Z , (k? ,

3? ? k? ]k ? Z . 8

2 ? cos(2 x ? ) ? sin 2 x 2 4

?

? 1 ) ? g ( x) , 且当 x ? [0, ] 时 , g ( x) ? ? f ( x) , 求 2 2 2

2 ? 1 1 1 1 1 cos(2 x ? ) ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? ? sin 2 x 2 4 2 2 2 2 2

2? ?? 2 ? 1 1 (2)当 x ? [0, ] 时, g ( x) ? ? f ( x) ? sin 2 x 2 2 2
(I)函数 f ( x) 的最小正周期 T ? 当 x ? [?

? ? ? 1 ? 1 , 0] 时, ( x ? ) ? [0, ] g ( x) ? g ( x ? ) ? sin 2( x ? ) ? ? sin 2 x 2 2 2 2 2 2 2 ? ? 1 1 当 x ? [?? , ? ) 时, ( x ? ? ) ? [0, ) g ( x) ? g ( x ? ? ) ? sin 2( x ? ? ) ? sin 2 x 2 2 2 2
?
? ? 1 ? sin 2 x(? ? x ? 0) ? ? 2 2 得:函数 g ( x) 在 [?? ,0] 上的解析式为 g ( x) ? ? 。 1 ? ? sin 2 x(?? ? x ? ) ? ? 2 2
7. (2013 安徽数(理) )已知函数 f ( x) ? 4 cos? x ? sin ?? x ?

? ?

??

? (? ? 0) 的最小正周期为 ? . 4?

(Ⅰ)求? 的值;
【答案】解:

(Ⅱ)讨论 f ( x) 在区间 ? 0, 2 ? 上的单调性.

(Ⅰ) ? 2 2 cos?x(sin ?x ? cos?x) ?

2 (sin 2?x ? cos 2?x ? 1) ? 2 sin(2?x ?

?
4

)? 2

?

2? ? ? ? ? ? ? 1 .所以 f ( x) ? 2 sin(2 x ? ) ? 2 , ? ? 1 2? 4

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(Ⅱ) 当x ? [0,

?
2

]时, (2 x ?
?
8

?

所以 y ? f ( x)在[0,

]上单调递增;在[ , ]上单调递减. 8 2

) ? [ , ? ? ],令2 x ? ? 解得x ? ; 4 4 4 4 2 8 ? ?

?

?

?

?

?

8. (2013 上海(理) )(6 分+8 分)已知函数 f ( x) ? 2sin(? x) ,其中常数 ?

?0;

(1)若 y ? f ( x) 在 [?

? 2?
4 , 3

] 上单调递增,求 ? 的取值范围;

(2)令 ? ? 2 ,将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移

? 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数 y ? g ( x) 6

的图像,区间 [a, b] ( a, b ? R 且 a ? b )满足: y ? g ( x) 在 [a, b] 上至少含有 30 个零点,在所有满足上 述条件的 [a, b] 中,求 b ? a 的最小值.
【答案】(1)因为 ?

? 0 ,根据题意有

? ? ? ? ??? ? 3 ? 4 2 ?0?? ? ? 4 ? 2? ? ? ? ? 2 ? 3
(2) f ( x) ? 2sin(2 x) , g ( x) ? 2sin(2( x ?

)) ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 6 3 ? 1 ? 7 g ( x) ? 0 ? sin(2 x ? ) ? ? ? x ? k? ? 或 x ? k? ? ? , k ? Z , 3 2 3 12 ? 2? 即 g ( x) 的零点相离间隔依次为 和 , 3 3 2? ? 43? 故若 y ? g ( x) 在 [a, b] 上至少含有 30 个零点,则 b ? a 的最小值为 14 ? . ? 15 ? ? 3 3 3

?

?


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