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江苏省海州高级中学2015届高三数学(理)自编专题训练:专题三 解析几何(3)


解析几何

x2 y2 3.(2013· 徐州质检)已知双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0)的右顶点,右焦点分别 为 A,F,它的左准线与 x 轴的交点为 B,若 A 是线段 BF 的中点,则双曲线 C 的 离心率为________. a2 解析 ∵A 是 B,F 的中点,∴2a=- c +c. ∴e2-2e-1=0,∵e>1,∴e= 2+1. 答案 2+1

x2 y2 4.(2013· 新课标全国Ⅰ卷改编)已知椭圆 E:a2+b2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0), 过点 F 的直线交椭圆于 A,B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为 ________. 解析 直线 AB 的斜率 k= 0+1 1 = , 3-1 2 x2 y2 1 1 ? ?a2+b2=1 x2 y2 2 + 2 2=1, ?a b2 ? ② ①

设 A(x1,y1),B(x2,y2),所以?

①-②得

y1-y2 b2 x1+x2 b2 2 =-a2· .又 x1+x2=2,y1+y2=-2,所以 k=-a2× ,所以 x1-x2 y1+y2 -2

b2 1 a2=2,③ 又 a2-b2=c2=9,④ x2 y2 由③④得 a =18,b =9.故椭圆 E 的方程为18+ 9 =1.
2 2

x2 y2 答案 18+ 9 =1

x2 y2 6.(2013· 福建卷)椭圆 T:a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c.若直线 y= 3(x+c)与椭圆 T 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭 圆的离心率等于________. 解析 直线 y= 3(x+c)过点 F1, 且倾斜角为 60° , 所以∠MF1F2=60° , 从而∠MF2F1
-1-

=30° ,所以 MF1⊥MF2,在 Rt△MF1F2 中,|MF1|=c,|MF2|= 3c,所以该椭圆的 2c 2c 离心率 e=2a= = 3-1. c+ 3c 答案 3-1

x2 y2 7.已知双曲线 C 与椭圆16+12=1 有共同的焦点 F1,F2,且离心率互为倒数.若 双曲线右支上一点 P 到右焦点 F2 的距离为 4, 则 PF2 的中点 M 到坐标原点 O 的距 离等于________. 解析 由椭圆的标准方程,可得椭圆的半焦距 c= 16-12=2,故椭圆的离心率
1

2 1 1 e1=4=2,则双曲线的离心率 e2=e =2.因为椭圆和双曲线有共同的焦点,所以双 x2 y2 c 2 曲线的半焦距也为 c=2.设双曲线 C 的方程为a2-b2=1(a>0,b>0),则有 a=e =2 2 y2 =1,b2= c -a = 2 -1 = 3,所以双曲线的标准方程为 x - 3 =1.因为点 P
2 2 2 2 2

在双曲线的右支上,则由双曲线的定义,可得|PF1|-|PF2|=2a=2,又|PF2|=4,所 以|PF1|=6.因为坐标原点 O 为 F1F2 的中点,M 为 PF2 的中点. 1 所以|MO|=2|PF1|=3. 答案 3

18.如图,在 RtΔABC 中,∠A 为直角,AB 边所在直线的方程为 x-3y-6=0,点 T(-1,1) 在直线 AC 上,斜边中点为 M(2,0). (1)求 BC 边所在直线的方程; (2)若动圆 P 过点 N(-2,0),且与 RtΔABC 的外接圆相交所得公共弦长为 4,求动圆 P 中 半径最小的圆方程. 解 (1)因为 AB 边所在直线的方程为 x-3y-6=0,AC 与 AB 垂直,所以直线 AC 的斜率为-3. 故 AC 边所在直线的方程为 y-1=-3(x+1), 即 3x+y+2=0. 设 C 为(x0,-3x0-2),因为 M 为 BC 中点,
T O C A M B x y

-2-

所以 B(4-x0,3x0+2). 4 4 2 点 B 代入 x-3y-6=0,解得 x0=- ,所以 C(- , ). 5 5 5 所以 BC 所在直线方程为:x+7y-2=0. (2)因为 RtΔABC 斜边中点为 M(2,0),所以 M 为 RtΔABC 外接圆的圆心. 又 AM=2 2,从而 RtΔABC 外接圆的方程为(x-2)2+y2=8. 设 P(a,b),因为动圆 P 过点 N,所以该圆的半径 r= (a+2)2+b2,圆方程为(x-a)2 +(y-b)2=r2. 由于⊙P 与⊙M 相交,则公共弦所在直线的方程 m 为:(4-2a)x-2by+a2+b2-r2+4 =0. |2(4-2a)+a2+b2-r2+4| 因为公共弦长为 4, r=2 2, 所以 M(2, 0)到 m 的距离 d=2, 即 2 (2-a)2+b2 =2, 化简得 b2=3a2-4a,所以 r= (a+2)2+b2= 4a2+4. 当 a=0 时,r 最小值为 2,此时 b=0,圆的方程为 x2+y2=4.

18.(本题满分 16 分)如图,已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,左、右焦点分别为 F1 , F2 , a 2 b2
y B P F2 A x

右顶点为 A,上顶点为 B, P 为椭圆上在第一象限内一点. (1)若 S?PF1F2 ? S?PAF2 ,求椭圆的离心率; (2)若 S ?PF1F2 ? S ?PAF2 ? S ?PBF1 ,求直线 PF1 的斜率 k ; (3)若 S?PAF2 、 S?PF1F2 、 S?PBF1 成等差数列,椭圆的离心率 F1 O

?1 ? e ? ? ,1? ,求直线 PF1 的斜率 k 的取值范围. ?4 ?
18.解: (1)∵ S?PF1F2 = S?PAF2 ∵a-c=2c ∴e= ∴F 1F2 ? F2 A

1 …………………………2′ 3 (2)设 PF 的直线方程为 y ? k ( x ? c) , 1
∵ S?PF1F2 = S?PBF1 ∴

1 b ? kc 1 2kc PF1 · ? PF1 · …………………………4′ 2 2 k ?1 2 k 2 ?1

∴b-kc=2kc
-3-

∴b=3kc ∵a=3c∴b=2 2 c (3)设 S?PF1F2 =t,则 S ?PAF2 ? ∵P 在第一象限 ∴ k ? ∴k=

2 2 …………………………7′ 3

a?c t …………………………8′ 2c

b c

b ? kc S ?PBF1 S ?PF1 F2 ? k 2 ? 1 ? b ? kc 2kc 2kc 2 k ?1

∴ S ?PBF1 ?

b ? kc · t …………………………9′ 2kc a?c b ? kc t? · t ∴2t= 2c 2kc
∴ 4kc ? ak ? ck ? b ? kc ∴ k (6c ? a) ? b

∴k ?

b …………………………11′ 6c ? a b b ? ∴ 6c ? a c 1 ∴ ? e ?1 5 1 又由已知 ? e ? 1 4 1 ∴ ? e ? 1 …………………………12′ 4 b2 a2 ? c2 2 ∴k ? = 36c 2 ? 12ac ? a 2 36c 2 ? 12ac ? a 2
=

m ?1 1 ? e2 1 ? e2 = (令 m ? 6e ? 1 ,∴ e ? )……13′ 2 2 6 36e ? 12e ? 1 (6e ? 1)

1? (
= = ∵

m ?1 2 ) 1 36 ? m2 ? 2m ? 1 6 = 36 m2 m2

1 35 2 ( ? ? 1) 36 m 2 m
1 ? e ?1 4


1 ?m?5 2

-4-



1 1 ? ?2 5 m

∴0 ? k ?
2

15 4

∴0 ? k ?

15 …………………………16′ 2

18. (本小题满分 16 分) 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 椭 圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 经 过 点 a 2 b2

M (3 2, 2) ,椭圆的离心率 e ?
的左、右焦点. (1)求椭圆 C 的方程;

2 2 , F1 、F2 分别是椭圆 3
y M · · F1 O · F2 x

(2)过点 M 作两直线与椭圆 C 分别交于相异两点 A 、 B . ①若直线 MA 过坐标原点 O , 试求 ?MAF2 外接圆的方程; ②若 ?AMB 的平分线与 y 轴平行, 试探究直线 AB 的斜率 是否为定值?若是, 请给予证明;若不是, 请说明理由.

第 18 题

x2 y 2 2 2 c 2 a 2 ? b2 8 2 2 ? ,得 a ? 9b ,故椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 18.解: (1)由 e ? , 2 ? a a2 9 9b b 3
又椭圆过点 M (3 2, 2) , 则

18 2 x2 y 2 2 ? ? 1 ? ?1 b ? 4 , 解得 , 所以椭圆的方程为 9b 2 b 2 36 4
1 ,所以 MA 的中垂线方程为 y ? ?3x , 3

T .因为 kOM ? (2)①记 ?MF 1 F2 的外接圆的圆心为

又由 M (3 2, 2) , F2 4 2, 0 ,得 MF1 的中点为 ?

?

?

?7 2 2 ? ? 2 , 2 ? ? ,而 kMF2 ? ?1 , ? ?

所以 MF2 的中垂线方程为 y ? x ? 3 2 ,由 ?
2

?3 2 9 2 ? ? ? y ? ?3x ,得 T ? ? 4 ,? 4 ? ? ? ?y ? x ?3 2 ? ?
2

? 3 2? ? 9 2? 5 5 所以圆 T 的半径为 ? 4 2 ? , ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 4 2 ? ? ? ?
? 3 2? ? 9 2 ? 125 故 ?MAF2 的外接圆的方程为 ? x ? …………10 分 ? y ? ? ? ? ? ? ? 4 ? 4 ? 4 ? ? ? ?
-52 2

(说明:该圆的一般式方程为 x ?
2

3 2 9 2 x ? y2 ? y ? 20 ? 0 ) 2 2

(3)设直线 MA 的斜率为 k , A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,由题直线 MA 与 MB 的斜率互为相反 数,

? y ? kx ? 2 ? 3 2k ? 直线 MB 的斜率为 ? k .联立直线 MA 与椭圆方程: ? x 2 y 2 , ? ? 1 ? ? 36 4
整 理 得

? 9k

2

? 1? x 2 ? 18 2k ?1 ? 3k ? x ? 162k 2 ? 108k ? 18 ? 0





x1 ?

1

8 ? k 2 ? k2? 9k 2 ? 1

3 ?3 2 ,
36 2k 108 2k 2 , x ? x ? ?6 2 2 1 9k 2 ? 1 9k 2 ? 1

所以 x2 ?

18 2 ? 3k 2 ? k ? 9k 2 ? 1

? 3 2 ,整理得 x2 ? x1 ?

又 y2 ? y1 ? ?kx2 ? 2 ? 3 2k ? kx2 ? 2 ? 3 2k ? ?k ? x2 ? x1 ? ? 6 2k

?

?

12 2k y2 ? y1 9k 2 ? 1 1 ?108k 3 12 2k ? ? 为定值………16 分 = ,所以 k AB ? ? 12 2k ? 2 x2 ? x1 36 2k 3 9k 2 ? 1 9k ? 1 9k 2 ? 1

-6-



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