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高考数学解析几何 第2讲 两条直线的位置关系教案 理 新人教版


第2讲
【2013 年高考会这样考】 1.考查两直线的平行与垂直.

两条直线的位置关系

2.考查两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式. 【复习指南】 1.对两条直线的位置关系,求解时要注意斜率不存在的情况,注意平行、垂直时直线方程 系数的关系. 2.熟记距离公式,如两点之间的距离、点到直线的距离、两条平

行线之间的距离.

基础梳理 1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线 l1、l2,其斜率分别为 k1、k2,则有 l1∥l2?k1=k2,特别地,当直线

l1、l2 的斜率都不存在时,l1 与 l2 的关系为平行.
(2)两条直线垂直 ①如果两条直线 l1、l2 的斜率存在,设为 k1、k2,则 l1⊥l2?k1k2=-1. ②如果 l1、 2 中有一条直线的斜率不存在, l 另一条直线的斜率为 0 时, 1 与 l2 的关系为垂直. l 2.两直线相交 交 点: 直线 l1 : A1x + B1y + C1 =0 和 l2 : A2x + B2y + C2 =0 的公 共点的 坐标 与方 程组
?A1x+B1y+C1=0, ? ? ? ?A2x+B2y+C2=0

的解一一对应.

相交?方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解; 平行?方程组无解; 重合?方程组有无数个解. 3.三种距离公式 (1)平面上的两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式|P1P2|= ? 特别地,原点 O(0,0)与任一点 P(x,y)的距离|OP|= x +y . (2)点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d= |Ax0+By0+C| . A2+B2
2 2

x1-x2?

2

+?

y1-y2?

2

.

|C1-C2| (3)两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 间的距离为 d= 2 2 . A +B

一条规律
1

与直线 Ax+By+C=0(A +B ≠0)平行、垂直的直线方程的设法: 一般地,平行的直线方程设为 Ax+By+m=0;垂直的直线方程设为 Bx-Ay+n=0. 两个防范 (1)在判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率是否存在.两条直线都有斜率, 可根据判定定理判断,若直线无斜率时,要单独考虑. |C1-C2| (2)在运用两平行直线间的距离公式 d= 2 时,一定要注意将两方程中的 x,y 系数化 A +B2 为分别相等. 三种对称 (1)点关于点的对称 点 P(x0,y0)关于 A(a,b)的对称点为 P′(2a-x0,2b-y0). (2)点关于直线的对称 设点 P(x0,y0)关于直线 y=kx+b 的对称点 P′(x′,y′),

2

2

?y′-y ·k=-1, ?x′-x 则有? y′+y x′+x ? 2 =k· 2 +b, ?
0 0 0 0

可求出 x′,y′.

(3)直线关于直线的对称 ①若已知直线 l1 与对称轴 l 相交,则交点必在与 l1 对称的直线 l2 上,然后再求出 l1 上任一 个已知点 P1 关于对称轴 l 对称的点 P2,那么经过交点及点 P2 的直线就是 l2;②若已知直线

l1 与对称轴 l 平行,则与 l1 对称的直线和 l1 分别到直线 l 的距离相等,由平行直线系和两
条平行线间的距离即可求出 l1 的对称直线. 双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)直线 ax+2y-1=0 与直线 2x-3y-1=0 垂直,则 a 的值为 ( ). 4 B.- 3 C.2 D.3

A.-3

? a? 2 解析 由?- ?× =-1,得:a=3. ? 2? 3
答案 D 2.原点到直线 x+2y-5=0 的距离为( A.1 解析 d= 答案 D B. 3 |-5| 1+2
2

).

C.2

D. 5

= 5.

2

3.(2012·银川月考)过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是( A.x-2y-1=0 C.2x+y-2=0 B.x-2y+1=0 D.x+2y-1=0

).

1 解析 ∵所求直线与直线 x-2y-2=0 平行,∴所求直线斜率 k= ,排除 C、D.又直线过点 2 (1,0),排除 B,故选 A. 答案 A 4.点(a,b)关于直线 x+y+1=0 的对称点是( A.(-a-1,-b-1) C.(-a,-b) ). B.(-b-1,-a-1) D.(-b,-a)

解析

?y′-b×? -1? =-1, ?x′-a 设对称点为(x′,y′),则? x′+a y′+b ? ? 2 + 2 +1=0,

解得:x′=-b-1,y′=-a-1. 答案 B 5.平行线 l1:3x-2y-5=0 与 l2:6x-4y+3=0 之间的距离为________. 3 解析 直线 l2 变为:3x-2y+ =0,由平行线间的距离公式得:d= 2 答案 13 2

?-5-3? ? ? 2? ?
3 +2
2 2



13 . 2

考向一 两条直线平行与垂直的判定及应用 【例 1】? (1)已知两条直线 y=ax-2 和 y=(a+2)x+1 互相垂直,则实数 a=________. (2)“ab=4”是直线 2x+ay-1=0 与直线 bx+2y-2=0 平行的( A.充分必要条件 C.必要不充分条件 ).

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

[审题视点] (1)利用 k1·k2=-1 解题.(2)抓住 ab=4 能否得到两直线平行,反之两直线平 行能否一定得 ab=4. 解析 (1)由题意知(a+2)a=-1,所以 a +2a+1=0,则 a=-1. 2 b 1 (2)直线 2x+ay-1=0 与直线 bx+2y-2=0 平行的充要条件是- =- 且- ≠-1,即 ab a 2 a =4 且 a≠1,则“ab=4”是“直线 2x+ay-1=0 与直线 bx+2y-2=0 平行”的必要而不 充分条件.
3
2

答案 (1)-1 (2)C (1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键,对于斜率都存在且不 重合的两条直线 l1 和 l2,l1∥l2?k1=k2,l1⊥l2?k1·k2=-1.若有一条直线的斜率不存在, 那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意. (2)①若直线 l1 和 l2 有斜截式方程 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则:直线 l1⊥l2 的充要 条件是 k1·k2=-1. ②设 l1:A1 x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0. 则:l1⊥l2?A1A2+B1B2=0. (3)注意转化与化归思想的应用. 【训练 1】 已知直线 l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,求 m 的值,使得: (1)l1 与 l2 相交;(2)l1⊥l2;(3)l1∥l2;(4)l1,l2 重合. 解 (1)由已知 1×3≠m(m-2),即 m -2m-3≠0, 解得 m≠-1 且 m≠3. 故当 m≠-1 且 m≠3 时,l1 与 l2 相交. 1 (2)当 1·(m-2)+m·3=0,即 m= 时,l1⊥l2. 2 (3)当 1×3=m(m-2)且 1×2m≠6×(m-2)或 m×2m≠3×6,即 m=-1 时,l1∥l2. (4)当 1×3=m(m-2)且 1×2m=6×(m-2),即 m=3 时,
2

l1 与 l2 重合.
考向二 两直线的交点 【例 2】? 求经过直线 l1:3x+2y-1=0 和 l2:5x+2y+1=0 的交点,且垂直于直线 l3:3x -5y+6=0 的直线 l 的方程. [审题视点] 可先求出 l1 与 l2 的交点,再用点斜式;也可利用直线系方程求解.
? ?3x+2y-1=0, 解 法一 先解方程组? ?5x+2y+1=0, ?

得 l1、l2 的交点坐标为(-1,2), 3 5 再由 l3 的斜率 求出 l 的斜率为- , 5 3 于是由直线的点斜式方程求出 l:

y-2=- (x+1),即 5x+3y-1=0.
法二 由于 l⊥l3,故 l 是直线系 5x+3y+C=0 中的一条,而 l 过 l1、l2 的交点(-1,2), 故 5×(-1)+3×2+C=0,由此求出 C=-1, 故 l 的方程为 5x+3y-1=0. 法三 由于 l 过 l1、l2 的交点,故 l 是直线系 3x+2y-1+λ (5x+2y+1)=0 中的一条,
4

5 3

将其整理,得(3+5λ )x+(2+2λ )y+(-1+λ )=0. 3+5λ 5 1 其斜率- =- ,解得 λ = , 2+2λ 3 5 代入直线系方程即得 l 的方程为 5x+3y-1=0. 运用直线系方程,有时会给解题带来方便,常见的直线系方程有: (1)与直线 Ax+By+C=0 平行的直线系方程是:

Ax+By+m=0(m∈R 且 m≠C);
(2)与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线系方程是 Bx-Ay+m=0(m∈R); (3)过直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程为 A1x+B1y+C1 +λ (A2x+B2y+C2)=0(λ ∈R),但不包括 l2. 【训练 2】 直线 l 被两条直线 l1:4x+y+3=0 和 l2:3x-5y-5=0 截得的线段的中点为

P(-1,2),求直线 l 的方程.
解 法一 设直线 l 与 l1 的交点为 A(x0,y0),由已知条件,得直线 l 与 l2 的交点为 B(-2
? ?4x0+y0+3=0, -x0,4-y0),并且满足? ?3? -2-x0? -5? ? ?4x0+y0+3=0, ? 即? ? ?3x0-5y0+31=0,

4-y0? -5=0,

解得?

?x0=-2, ? ? ?y0=5,

y-2 x-? -1? 因此直线 l 的方程为 = 5-2 -2-? -1?

,即 3x+y+1=0.

法二 设直线 l 的方程为 y-2=k(x+1),即 kx-y+k+2=0.
? ?kx-y+k+2=0, 由? ?4x+y+3=0, ? ?kx-y+k+2=0, ? 由? ? ?3x-5y-5=0,

-k-5 得 x= . k+4 -5k-15 得 x= . 5k-3

-k-5 -5k-15 则 + =-2,解得 k=-3. k+4 5k-3 因此所求直线方程为 y-2=-3(x+1),即 3x+y+1=0. 法三 两直线 l1 和 l2 的方程为(4x+y+3)(3x-5y-5)=0,① 将上述方程中(x,y)换成(-2-x,4-y), 整理可得 l1 与 l2 关于(-1,2)对称图形的方程: (4x+y+1)(3x-5y+31)=0.② ①-②整理得 3x+y+1=0. 考向三 距离公式的应用 【例 3】? (2011·北京东城模拟)若 O(0,0),A(4,-1)两点到直线 ax+a y+6=0 的距离相
2

5

等,则实数 a=________. [审题视点] 由点到直线的距离公式列出等式求 a. 解析 由题意,得 6. 检验得 a=0 不合题意,所以 a=-2 或 4 或 6. 答案 -2 或 4 或 6 用点到直线的距离公式时,直线方程要化为一般式,还要注意公式中分子含有绝 对值的符号, 分母含有根式的符号. 而求解两平行直线的距离问题也可以在其中一条直线上 任取一点,再求这一点到另一直线的距离. 【训练 3】 已知直线 l1:mx+8y+n=0 与 l2:2x+my-1=0 互相平行,且 l1,l2 之间的距 离为 5,求直线 l1 的方程. 或?
? ?m=-4, ? ?n≠2.

6

a2+a

= 4

|4a-a +6| 2 ,即 4a-a +6=±6,解之得 a=0 或-2 或 4 或 a2+a4

2

? ?m=4, m 8 n 解 ∵l1∥l2,∴ = ≠ ,∴? 2 m -1 ? ?n≠-2

(1)当 m=4 时, 直线 l1 的方程为 4x+8y+n=0, l2 的方程写成 4x+8y-2=0.∴ 把 = 5,解得 n=-22 或 n=18. 所以,所求直线的方程为 2x+4y-11=0 或 2x+4y+9=0. (2)当 m=-4 时, 直线 l1 的方程为 4x-8y-n=0, 2 的方程为 2x-4y-1=0, l ∴ 5,解得 n=-18 或 n=22. 所以,所求直线的方程为 2x-4y+9=0 或 2x-4y-11=0. 考向四 对称问题

|n+2| 16+64

|-n+2| = 16+64

【例 4】? 光线从 A(-4,-2)点射出,到直线 y=x 上的 B 点后被直线 y=x 反射到 y 轴上 C 点,又被 y 轴反射,这时反射光线恰好过点 D(-1,6),求 BC 所在的直线方程. [审题视点] 设 A 关于直线 y=x 的对称点为 A′, 关于 y 轴的对称点为 D′, D 则直线 A′D′ 经过点 B 与 C. 解 作出草图,

如图所示.设 A 关于直线 y=x 的对称点为 A′,D 关于 y 轴的对称点为 D′,则易得 A′(- 2,-4),D′(1,6).由入射角等于反射角可得 A′D′所在直线经过点 B 与 C.故 BC 所在的
6

y-6 x-1 直线方程为 = ,即 10x-3y+8=0. 6+4 1+2
解决这类对称问题要抓住两条:一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直;二是 以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上. 【训练 4】 已知直线 l:x-y-1=0,l1:2x-y-2=0.若直线 l2 与 l1 关于 l 对称,则 l2 的方程是( ).

A.x-2y+1=0 B.x-2y-1=0 C.x+y-1=0 D.x+2y-1=0 解析 l1 与 l2 关于 l 对称, l1 上任一点关于 l 的对称点都在 l2 上, l 与 l1 的交点(1,0) 则 故 在 l2 上 . 又 易 知 (0 , - 2) 为 l1 上 一 点 , 设 其 关 于 l 的 对 称 点 为 (x , y) , 则

?x+0-y-2-1=0, ? 2 2 ?y+2 ? x ×1=-1, ?
得?
? ?x=-1, ? ?y=-1.

即(1,0)、(-1,-1)为 l2 上两点,可得 l2 方程为 x-2y-1=0.

答案 B

难点突破 19——两直线平行与垂直问题的求解策略 从近两年新课标高考试题可看出高考主要以选择题、 填空题的形式考查两直线的平行和垂直 问题,往往是直线方程中一般带有参数,问题的难点就是确定这些参数值,方法是根据两直 线平行、垂直时所满足的条件列关于参数的方程(组),通过解方程(组)求出参数值,但要使 参数符合题目本身的要求,解题时注意直线方程本身的限制. 【示例 1】? (2011·浙江)若直线 x-2y+5=0 与直线 2x+my-6=0 互相垂直,则实数 m =________.

7

【示例 2】? (2010·上海)已知直线 l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0 与 l2:2(k-3)x-2y+3 =0 平行,则 k 的值是( ).

A.1 或 3 B.1 或 5 C.3 或 5 D.1 或 2

8


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