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3.2直线的方程


新课标高中数学-必修二导学案
§3.2 直线的方程 1.直线方程 名称 点斜式 斜截式 两点式 几何条件 过点(x0,y0),斜率为 k 斜率为 k,纵截距为 b 过两点(x1,y1),(x2,y2),(x1≠x2, y1≠y2) 在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a, b(a,b≠0) 方 程 局限性 不含垂直于 x 轴的直线 不含垂直于 x 轴的直线 不包括垂直于坐

标轴的直 线 不包括垂直于坐标轴和过 原点的直线

y-y0=k(x-x0) y=kx+b y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 x y + =1 a b Ax+By+C=0(A,B 不全为 0)

截距式 一般式

2.两直线的位置关系 斜截式 方程 相交 垂直 y=k1x+b1y=k2x+b2 k1≠k2 1 k1=- 或 k1k2=-1 k2 k1=k2 且 b1≠b2 一般式
2 2 2 A1x+B1y+C1=0(A2 1+B1≠0),A2x+B2y+C2=0(A2+B2≠0)

A 1 B1 当A2B2≠0时,记为 ≠ ? A1B2-A2B1≠0 ? A B? ?
2 2

A1 A 2 =-1? A1A2+B1B2=0 ? B ?当B1B2≠0时,记为B · ?
1 2

平行

? ?A1B2-A2B1=0, ? ?B2C1-B1C2≠0 ?

? ?A1B2-A2B1=0, ? ?A1C2-A2C1≠0 ?

?当A2B2C2≠0时,记为A1=B1≠C1? A 2 B 2 C 2? ?

3.与直线 Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直和平行的直线方程可设为: (1)垂直:Bx-Ay+m=0; (2)平行:Ax+By+n=0. 考点一 直线方程 例 1 根据所给条件求直线的方程: (1) 直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为 10 . 10

(2) 直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为 12. (3) 过点 M(-3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数. (4) 已知 ?ABC 中, A?1,?1? , B?2,2? , C ?3,0? ,则 AB 边上的高线所在直线方程. (5) 求经过点 P(-5,-4),且与两坐标轴围成的三角形的面积为 5 的直线方程. 变式: (1) 直线 l 过点 M(-1,2), 且与 x 轴, y 轴交于 A、 B 两点, 若 M 恰为 AB 的中点, 则直线 l 的方程__________. (2) 过点 P(-1,3)且垂直于直线 x-2y+3=0 的直线方程是 (3) 若 a , b 满足 a ? 2b ? 1 ,则直线 ax ? 3 y ? b ? 0 必过定点的坐标是 (4) 直线 mx ? (1 ? m) y ? m ? 2 ? 0 一定过定点______________. (5) 直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 关于直线 x ? 1 对称的直线的方程是______________.
心灵鸡汤:辛勤是财富的基础,劳动是幸福的源泉。赤日炎炎会晒黑我们的肌肤,风霜雨雪会侵蚀我们的容颜,岁月的犁耙耕 出了额头的印痕,漫长的路程留下了步履蹒跚。但是当回首时,我们不会因虚度年华而悔恨,不会因碌碌无为 而羞愧。我们自豪,我们光荣,因为我们创造了世界,我们彩绘了人生. 1

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新课标高中数学-必修二导学案
考点二 两直线平行与垂直 例 2 已知过点 A(-2,m)和点 B(m,4)的直线为 l1,直线 2x+y-1=0 为 l2,直线 x+ny+1=0 为 l3. 若 l1∥l2,l2⊥l3,则实数 m+n 的值为( A.-10 B.-2 ) C.0 D.8

变式:已知两直线 l1∶mx+8y+n=0 和 l2∶2x+my-1=0.试确定 m、n 的值,使: (1)l1 与 l2 相交于点 P(m,-1); (2)l1∥l2; (3)l1⊥l2,且 l1 在 y 轴上的截距为-1.

考点三 直线方程的综合应用 角度一 与基本不等式相结合求最值问题 例 3.已知直线 l 过点 M(1,1),且与 x 轴,y 轴的正半轴分别相交于 A,B 两点,O 为坐标原点.求: (1)当|OA|+|OB|取得最小值时,直线 l 的方程; (2)当|MA|2+|MB|2 取得最小值时,直线 l 的方程.

角度二 直线方程与平面向量的综合 例 4. 已知直线 l 过点 M(2,1), 且与 x 轴, y 轴的正半轴分别相交于 A, B 两点, O 为坐标原点. 求当 MA ·MB 取得最小值时,直线 l 的方程.

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心灵鸡汤:辛勤是财富的基础,劳动是幸福的源泉。赤日炎炎会晒黑我们的肌肤,风霜雨雪会侵蚀我们的容颜,岁月的犁耙耕 出了额头的印痕,漫长的路程留下了步履蹒跚。但是当回首时,我们不会因虚度年华而悔恨,不会因碌碌无为 而羞愧。我们自豪,我们光荣,因为我们创造了世界,我们彩绘了人生. 2

新课标高中数学-必修二导学案
【巩固训练】 1. 已知直线 l1:x+ay+6=0 和 l2:(a-2)x+3y+2a=0,则 l1∥l2 的充要条件是 a 等于( A.3 B.1 C.-1
2

)

D .3 或-1 )

2.若直线 l1:ax+2y+6=0 与直线 l2:x+(a-1)y+a -1=0 垂直,则实数 a=( 2 A. 3 B.-1 C.2 D.-1 或 2 )

3. 若直线(a+1)x+2y=0 与直线 x-ay=1 互相垂直,则实数 a 的值等于( A.-1 B.0 C.1 D.2

4. 设 A,B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 3,且|PA|=|PB|,若直线 PA 的方程为 x-y+1=0,则直线 PB 的方程是( ) B.2x-y-1=0 D.x+y-7=0

A.x+y-5=0 C.x-2y+4=0

5. 已知直线 y=2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线,若点 A,B 的坐标分别是(-4,2),(3,1),则点 C 的 坐标为( ) B.(-2,-4) D.(2,-4) )

A.(-2,4) C.(2,4)

6. 已知直线 l 过圆 x2+(y-3)2=4 的圆心,且与直线 x+y+1=0 垂直,则 l 的方程是( A.x+y-2=0 C.x+y-3=0 B.x-y=2=0 D.x-y+3=0

7. 一条直线经过点 A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 1,则此直线的方程为________. 8. △ABC 的三个顶点分别为 A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求: (1)BC 所在直线的方程; (2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程; (3)BC 边的垂直平分线 DE 的方程.

9.已知直线 l 经过两条直线 2 x ? y ? 8 ? 0 和 x ? 2 y ? 1 ? 0 的交点. (1)若直线 l 平行于直线 3x ? 2 y ? 4 ? 0 ,求直线 l 的方程; (2)若直线 l 垂直于直线 4 x ? 3 y ? 7 ? 0 ,求直线 l 的方程.

心灵鸡汤:辛勤是财富的基础,劳动是幸福的源泉。赤日炎炎会晒黑我们的肌肤,风霜雨雪会侵蚀我们的容颜,岁月的犁耙耕 出了额头的印痕,漫长的路程留下了步履蹒跚。但是当回首时,我们不会因虚度年华而悔恨,不会因碌碌无为 而羞愧。我们自豪,我们光荣,因为我们创造了世界,我们彩绘了人生. 3

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10. 求满足下列条件的直线方程; (1)若直线 l 过点 Q(-1,6), (2)若直线 l 在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距的 2 倍,求直线 l 的方程.

11. 已知直线 l1∶ax+2y+6=0 和直线 l2∶x+(a-1)y+a2-1=0. (1) 试判断 l1 与 l2 是否平行; (2) l1⊥l2 时,求 a 的值.

12.已知直线 l1:x+a2y+1=0 和直线 l2:(a2+1)x-by+3=0(a,b∈R). (1)若 l1∥l2,求 b 的取值范围; (2)若 l1⊥l2,求|ab|的最小值.

13.在 ?ABC 中, A(0,3), C (1,?2) ,若点 B 与点 A 关于直线 y ? ?x 对称, (1)试求直线 BC 的方程; (2)试求线段 BC 的垂直平分线方程.

心灵鸡汤:辛勤是财富的基础,劳动是幸福的源泉。赤日炎炎会晒黑我们的肌肤,风霜雨雪会侵蚀我们的容颜,岁月的犁耙耕 出了额头的印痕,漫长的路程留下了步履蹒跚。但是当回首时,我们不会因虚度年华而悔恨,不会因碌碌无为 而羞愧。我们自豪,我们光荣,因为我们创造了世界,我们彩绘了人生. 4


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