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全国高中数学竞赛不等式试题


2000-2005 全国高中数学竞赛不等式试题
2004 年全国高中数学联赛试卷(第一试)
3、不等式 log2 x ? 1 ? A.[2,3]

1 log 1 x 3 ? 2 >0 的解集是 ( 2 2
C。[2,4]

)

B。 (2,3)

D。 (2,4)

3 3 1 ? ? log 2 x ? 1 ? log 2 x ? ? ? 0 [答案]3、解:原不等式等价于 ? 2 2 2 ? log x ? 1 ? 0 ? 2
? 3 2 1 ?t ? t ? ? 0 设 log 2 x ? 1 ? t , 则有 ? 2 2 ? ?t ? 0
即 0 ? log2 x ?1 ? 1, ?2 ? x ? 4 。 解得 0 ? t ? 1 。

故选 C。

2003 年全国高中数学联赛(第一试)
2 7.不等式 x ? 2 x ? 4 x ? 3 ? 0 的解集是______________ 3

9. 已知

2 A? x x ?4 x?3 ?0 , x ? R ,

?

?

B ? x 21? x ? a ? 0, x 2 ? 2 ? a ? 7 ? x ? 5 ? 0, x ? R . 若 A ? B ,则实数 a 的取值范围是_____________.
13. 设

?

?

3 ? x ? 5, 证明不等式 2

2 x? 1?

2x ? 3 ? 1 5? x3 ? 2 1 9 .

[答案]7. ? ? 3,? 9. ? 4 ? a ? ?1

? ? ?

5 ?1? ? 5 ?1 ? 2 ??? ? ? 2 ,3 ? . 提示: 原不等式可以化为: ?| x | ?3? x ? | x | ?1 ? 0 2 ? ? ? ?

?

?

提示: A ? ?1 , 3? ,令 f ?x? ? 2

1? x

? a , g ?x? ? x 2 ? 2?a ? 7?x ? 5 ,则只需 f ?x ?, g ?x ? 在(1,3)上的图象

? f ?1? ? 0 ? f ?3? ? 0 ? 均在 x 轴的下方,其充要条件是 ? ,由此推出 ? 4 ? a ? ?1 ; ? ? g 1 ? 0 ? ? ? g ?3? ? 0
13. 证明:由 (a ? b ? c ? d ) ? a ? b ? c ? d ? 2?ab ? bc ? cd ? da ? ac ? bd ? 可得
2 2 2 2 2

a ? b ? c ? d ? 2 a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 , 当且仅当 a=b=c=d 时取等号
则 2 x ? 1 ? 2x ? 3 ? 15 ? 3x ? 2

……5 分

?x ? 1? ? ?x ? 1? ? ?2x ? 3? ? ?15 ? 3x?

? 2 x ? 14 ? 2 19
因为 x ? 1 ,

……………………………………………………15 分

2x ? 3 ,

15 ? 3x 不能同时相等,所以
……………………………………20 分

2 x ? 1 ? 2x ? 3 ? 15 ? 3x ? 2 19

2001 年全国高中数学联赛试卷
4.如果满足∠ABC=60°,AC=12,BC=k 的△ABC 恰有一个,那么 k 的取值范围是( (A)k= 8 3 (B)0<k≤12 (C) k≥12(D) 0<k≤12 或 k= 8 3 6.已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24 元,而 4 枝玫瑰与 5 枝康乃馨的价格之和小于 22 元,则 2 枝玫瑰的价格和 3 枝康乃馨的价格比较结果是( ) (A) 2 枝玫瑰价格高 (B) 3 枝康乃馨价格高 (C) 价格相同 (D) 不确定. )

10. 不等式

1 3 ? 2 ? 的解集为 log 1 x 2
2



11.函数 y ? x ?

x 2 ? 3x ? 2 的值域为
? ?
2

[答案].4.D

6.A 10.

7 ? ?0,1? ? ? ?1, 2 ? ? ?4 , ? ? ?

? ?

11.

? 3? ?1 , 2 ? ? ?2 , ? ? ? ? ?

2000 年全国高中数学联赛 (第一试)
10 . 已 知 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 函 数 , f (1) ? 1 且 对 任 意 x ? R 都 有 f ( x ? 5) ? f ( x) ? 5

f ( x ? 1) ? f ( x) ? 1
若 g ( x) ? f ( x) ? 1 ? x ,则 g (2002 )? . .

11.若 log4 ( x ? 2 y) ? log4 ( x ? 2 y) ? 1 ,则 | x | ? | y | 的最小值是

12. 使不等式 sin 2 x ? a cos x ? a 2 ? 1 ? cos x 对一切 x ? R 恒成立的负数 a 的取值范围是 [答案]10. 解:由 g ( x) ? f ( x) ? 1 ? x ,得 f ( x) ? g ( x) ? x ? 1 ,所以



g ( x ? 5) ? ( x ? 5) ? 1 ? g ( x) ? ( x ? 1) ? 5 g ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 1 ? g ( x) ? ( x ? 1) ? 1
即 g ( x ? 5) ? g ( x) , g ( x ? 1) ? g ( x) ∴ g ( x) ? g ( x ? 5) ? g ( x ? 4) ? g ( x ? 2) ? g ( x ? 1) ? g ( x) ∴ g ( x ? 1) ? g ( x) 即 g ( x) 是周期为 1 的周期函数,又 g (1) ? 1 ,故 g (2002 ) ?1

?x ? 2 y ? 0 ? x ? 2 | y |? 0 ? 11. 解: ? x ? 2 y ? 0 ?? 2 2 ?x ? 4 y ? 4 ?( x ? 2 y )(x ? 2 y ) ? 4 ?
由对称性只考虑 y ? 0 ,因为 x ? 0 ,所以只须求 x ? y 的最小值. 令 x ? y ? u 公代入 x 2 ? 4 y 2 ? 4 ,有 3 y 2 ? 2uy ? (4 ? u 2 ) ? 0 . 这是一个关于 y 的二次方程显然有实根,故 ? ? 16(u 2 ? 3) ? 0 ,∴ u ? 3 当x ?

3 4 3 ,y? 时, u ? 3 .故 | x | ? | y | 的最小值为 3 3 3

(a ? 1) 2 a ?1 2 2 ) ?a ? 12. 解:原不等式可化为 (cosx ? 2 4
a ?1 ?0 2 a ?1 2 a ?1 2 ) 有最大值 (1 ? ) , ∴当 cos x ? 1 时,函数 y ? (cos x ? 2 2
∵ ? 1 ? cos x ? 1 , a ? 0 , 从而有 (1 ?

a ?1 2 (a ? 1) 2 2 ) ? a2 ? ,整理得 a ? a ? 2 ? 0 2 4

∴ a ? 1 或 a ? ?2 ,又 a ? 0 ,∴ a ? ?2

1999 年全国高中数学联合竞赛三、(满分 20 分)已知当 x?[0,1]时,不等式
x2 cos? ? x(1 ? x) ? (1 ? x)2 sin? ? 0 恒成立,试求的取值范围.
[答案]13. 若对一切 x?[0,1] ,恒有 f(x)= x2 cos? ? x(1 ? x) ? (1 ? x)2 sin? ? 0 , 则 cosθ=f(1)>0, sinθ=f(0)>0. (1)

取 x? (0,1),由于 f ?x? ? 2x?1 ? x? sin ? cos? ? x?1 ? x?, 所以, f ?x ? ? 0 恒成立,当且仅当 2 sin ? cos? ? 1 ? 0 先在[0,2π]中解(1)与(2):由 cosθ>0,sinθ>0,可得 0<θ< 又由(2)得 所以, sin2θ> (2 )

? 5? <θ< . 12 12

1 2

? . 2 ? 5? 注意到 0<2θ<π,故有 <2θ< , 6 6
? 5? <θ<2kπ+ ,k?Z. 12 12

因此,原题中 θ 的取值范围是 2kπ+

或解:若 对 一 切 x ∈ [ 0 , 1 ] ,恒有 2 2 f(x)=x cosθ -x(1-x)+(1-x) sinθ >0, 则 cosθ =f(1)>0,sinθ =f(0)>0. (1)



x0=

∈ (0, 1), 则 +2 x0(1-x0) . >0 (2) x(1-x),



由于 所 以 , 0<f(x0)=2 故 +

反 之 , 当 (1), (2)成 立 时 , f(0)=sinθ >0, f(1)=cosθ >0, 且 x∈ (0, 1)时 , f(x)≥ 2 x(1-x)>0.

先 在 [ 0,2π ] 中 解 (1)与 (2): 由 cosθ >0,sinθ >0, 可 得 0<θ < 又注意到 + >0, <2θ < > , , . sin2θ > , sin2θ > ,

0<2θ <π , 故 有 <θ < .

所以,

因此,原题中θ 的取值范围是

2kπ +

<θ <2kπ +

,k∈ Z

首届中国东南地区数学奥林匹克
(2004 年 7 月 11 日 8:00 — 12:00 五、已知不等式 2(2a ? 3) cos(? ? 值范围。 [答案]五、解:设 sin ? ? cos ? ? x ,则 cos(? ? 从而原不等式可化为: (2a ? 3) x ? 温州)

?
4

)?

6 ? ?? ? 2sin 2? ? 3a ? 6 对于? ? ?0, ? 恒成立,求 a 的取 sin ? ? cos ? ? 2?

?
4

)?

2 ? x, sin 2? ? x 2 ? 1, x ? ? ?1, 2 ? 2

6 ? 2( x 2 ? 1) ? 3a ? 6 x 6 2 2 2 即 2 x ? 2ax ? 3 x ? ? 3a ? 4 ? 0, 2 x( x ? ? a) ? 3( x ? ? a) ? 0 , x x x

2 ? ? (2 x ? 3) ? x ? ? a ? ? 0 x ? ?

? ?x?? ?1, 2 ? ? (1)

? 原不等式等价于不等式(1)
? ? x?? ?1, 2 ? , ? 2 x ? 3 ? 0
(1)不等式恒成立等价于 x ?

2 ? ?a ? 0 x?? ?1, 2 ? 恒成立。 x ?

?

?

从而只要 a ? ( x ? ) max ( x ? ?1, 2 ?) 。

2 x

?

又容易知道 f ( x) ? x ? 所以 a ? 3 。

2 ? 2 在 1, 2 ? 上递减,? ( x ? ) max ? 3 ( x ? ?1, 2 ? ) 。 ? ? ? ? x x

2004 四年全国高中数学联合竞赛(天津初赛)
2.若 0 ? a ? b ,且 a ? b ? 1 ,则下列各式中最大的是( C ) (A) ? 1 (C) log2 b (B) log2 a ? log2 b ? 1 (D) log2 (a ? a b ? ab ? b )
3 2 2 3

2004 年全国高中数学联赛四川省初赛
1. 已知不等式 m2+(cos2θ-5)m+4sin2θ≥0 恒成立,则实数 m 的取值范围是 A A.0≤m≤4 B.1≤m≤4 C.m≥4 或 x≤0 D.m≥1 或 m≤0

8.不等式|x2-2|≤2x+1 的解集为__________________.8、{x| 2-1≤x≤3} 3(3+ 3) 1 1 1 10.若 0<a、b、c<1 满足条件 ab+bc+ca=1,则 + + 的最小值是____. 2 1-a 1-b 1-c

2005 年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛
10.设命题 P: c ? c 和命题 Q: 对任何 x ? R , x ? 4cx ? 1 ? 0 有且仅有一个成立,则实数 c 的取值范围
2 2





【解】 : 命题 P 成立 可得

0 ? c ? 1; 1 1 命题 Q 成立 可得 ? ? c ? 。 2 2

因此,要使命题 P 和命题 Q 有且仅有一个成立,实数 c 的取值范围是 ? ?

? 1 ? ?1 ? , 0? ? ? , 1? ? 2 ? ?2 ?

2005 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛
3.设 a ? b ? 0 , 那么 a 2 ? A. 2 B. 3
1 的最小值是 b( a ? b )

C. 4

D. 5
a2 a 1 ? (b ? ) 2 ? a 2 4 2 4

3,C 由 a ? b ? 0 , 可知 0 ? b(a ? b) ?

所以, a ?
2

1 4 ? a 2 ? 2 ? 4 . 故选 C. b( a ? b ) a


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