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数学:2.3.1《离散型随机变量的均值与方差-期望值》PPT课件(新人教A版选修2-3)


新课标人教版课件系列

《高中数学》
选修2-3

2.3.1《离散型随机变量的 均值与方差-期望值》

教学目标
? 1了解离散型随机变量的期望的意义,会根
据离散型随机变量的分布列求出期望. ? ⒉理解公式“E(aξ+b)=aEξ+b”,以 及“若ξB(n,p),则Eξ=np”.能熟

练地应用 它们求相应的离散型随机变量的期望 ? 教学重点:离散型随机变量的期望的概念 ? 教学难点:根据离散型随机变量的分布列 求出期望 ? 授课类型:新授课 课时安排:2课时 教 具:多媒体、实物投影仪

离散型随机变量的均值与方差(一)
复习引入
问题提出

数学期望的 定义

练习一

期望应用, 例2.例3

本课小结

作业:课本 P 至 P 练习 2,3,4,5 73 74

离散型随机变量的均值与方差(一)
? 取每一个值 xi (i ? 1, 2,?) 的概率 P(? ? xi ) ? pi 则称表 ? x1 x2 ? xi ? p1 p2 ? pi ? P
为随机变量? 的概率分布列,简称为? 的分布列. 对于离散型随机变量,确定了它的分布列,就掌握 了随机变量取值的统计规律.但在实际应用中,我们还 常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特 征,最常用的有期望与方差.
前面,我们认识了随机变量的分布列. 设离散型随机变量? 可能取的值为 x1 , x2 ,?, xi ,?,

思考下面的问题: 某射手射击所得环数

?

?

的分布列如下:

P

4 5 6 7 8 9 10 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22

在100次射击之前,试估计该射手100次射击的平均环数.

分析:平均环数=总环数?100

由概率可知,在 100 次射击之前,估计得 i 环的次数为 P(? ? i ) ? 100 .
所以,总环数约等于 (4×0.02+5×0.04+6×0.06+ …+10×0.22)× 100. 故100次射击的平均环数约等于 4×0.02+5×0.04+6×0.06+ …+10×0.22=8.32. 一般地,

一般地: 对任一射手,若已知他的所得环数 ? 的分布列,即已 知 P (? ? i )(i ? 0,1,2,? ,10), 则可以预计他任意n次射击的
平均环数是 0 ? P(? ? 0) ? 1 ? P(? ? 1) ? ? ? 10 ? P(? ? 10) 记为 E? 我们称

E? 为此射手射击所得环数的期望,它刻划了所

得环数随机变量

?

所取的平均值。

关于平均的意义,我们再看一个例子,思考:课本第69 页的定价怎样才合理问题? 更一般地

数学期望的定义:

x1 x2 ? xi ? xn P p1 p2 ? pi ? pn 则称 E? ? x p ? x p ? ? ? x p ? ? ? x p 1 1 2 2 i i n n 为? 的数学期望或均值,简称为期望.它反映了离散型随
?
机变量取值的平均水平.

一般地,随机变量 ? 的概率分布列为

根据定义可推出下面两个结论:

结论1: ? ? a? ? b, 则 E? ? aE? ? b ; 若
结论2:若ξ~B(n,p),则Eξ= np.
结论一证明 结论二证明

练习一 (巩固定义)

? P(? ? axi ? b) ? P(? ? xi ), i ? 1, 2, 3?
所以, 的分布列为

结论1: ? ? a? ? b, 则 E? ? aE? ? b 若

? ax1 ? b p1 P

?

ax2 ? b

p2

E? ? (ax1 ? b) p1 ? (ax2 ? b) p2 ? ? ? (axn ? b) pn ? aE? ? b 即 E (a? ? b) ? aE? ? b

?axi ? b ? ax ? b ? pi ? pn
n

? a( x1 p1 ? x2 p2 ? ? ? xn pn ) ? b( p1 ? p2 ? ? ? pn )

练习一 (巩固定义)

练习一
1、随机变量ξ的分布列是
ξ P (1)则Eξ= 1 0.5 2.4 3 0.3 . 5.8 5 0.2

(2)若η=2ξ+1,则Eη=
2、随机变量ξ的分布列是

.

ξ P

4 0.3

7 a
0.1 b=

9 b

10 0.2
0.4.

Eξ=7.5,则a=

练习二

练习二
1.一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球,从
中同时取2个,则其中含红球个数的数学期望是 1.2 .

2.(1)若 E(ξ)=4.5,则 E(-ξ)= -4.5 .
(2)E(ξ-Eξ)= 0 .

3. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中得0 分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7,则他罚球1次 的得分ξ的期望为 . 0.7 (详细解答过程见课本例1) 这是一个特殊的二项分布的随机变量的期望,那 么一般地 ,若ξ~B(n,p),则Eξ=?

结论2:若ξ~B(n,p),则Eξ= np
ξ 0 1 … k … n P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 … Cnkpkqn-k … Cnnpnq0 证明:∵P(ξ=k)= Cnkpkqn-k (∵ k Cnk =n Cn-1k-1) ∴E ξ =0×Cn0p0qn+ 1×Cn1p1qn-1+ 2×Cn2p2qn-2 + …+ k×Cnkpkqn-k+…+ n×Cnnpnq0 =np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ … + Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) +…+ Cn-1n-1pn-1q0)

=np(p+q)n-1=np 期望在生活中的应用广泛,见课本第72页例2.例3

例2.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个 选项,其中有且仅有一个选项正确,每题选对得5分,不选 或选错不得分,满分100分.学生甲选对任一题的概率为 0.9,学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选 择一个.求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值. 解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题 个数分别是?和η,则 ξ~B(20,0.9),η~B(20,0.25), 所以Eξ=20×0.9=18, Eη=20×0.25=5. 由于答对每题得5分,学生甲和学生乙在这次测验 中的成绩分别是5ξ和5η.这样,他们在测验中的成绩 的期望分别是 E(5ξ)=5Eξ=5×18=90, E(5η)=5Eη=5×5=25. 思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗?他的 均值为90分的含义是什么? 不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成 绩大约是90分
思考1 思考2

思考1.某商场的促销决策:

统计资料表明,每年端午节商场内促销活动可获利 2万元;商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元; 如遇下雨可则损失4万元。6月19日气象预报端午节下 雨的概率为40%,商场应选择哪种促销方式?
解:因为商场内的促销活动可获效益2万元 设商场外的促销活动可获效益?万元,则?的分布列

? 10 -4 P 0.6 0.4 所以E?=10×0.6+(-4) ×0.4=4.4
因为4.4>2, 所以商场应选择在商场外进行促销.

学习小结:
1、本节课学习了离散型随机变量ξ的期望及公式:
(1)E(aξ+b)=aEξ+b;

(2)若ξ~B(n,p),则Eξ=np 2、会根据离散型随机变量的分布列求出期望。

作业:课本 P 至 P 练习 2,3,4,5 73 74

思考2. 有场赌博,规则如下:如掷一个骰子,出现1,你赢8 元;出现2或3或4,你输3元;出现5或6,不输不赢.这场 赌博对你是否有利?

1 1 1 1 E? ? ? 10 ? ? ? ?3? ? ? 0 ? ? . 6 2 3 6
对你不利!劝君莫参加赌博.

课外思考:
彩球游戏准备一个布袋,内装6个红球与6个白球,除颜色 不同外,六个球完全一样,每次从袋中摸6个球,输赢的 规则为: 6个全红 赢得100元 5红1白 赢得50元 4红2白 赢得20元 3红3白 输100元 2红4白 赢得20元 1红5白 赢得50元 6个全白 赢得100元

你动心了吗?

作业:课本 P 至 P 练习 2,3,4,5 73 74


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