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扬州中学2013-2014学年高一上学期期中考试试卷 数学


扬州中学 2013—2014 学年第一学期期中考试

高一数学试卷
1. 已知全集 A ? {1,2,3}, B ? {3,4} ,则 A ? B ? 2.集合 A ? {0,1, x}, B ? {x2 , y, ?1} ,若 A ? B ,则 y ? 3.函数 f ( x) ? a x?1 ? 1(a ? 0且a ? 1) 恒过定点 4.函数 f

( x) ? lg x 的定义域为 ▲ ▲ ▲ ▲ . . .

2013.11

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题纸相应位置上. ........

?2 x , x ? 0 1 ? 5. 已知 f ( x) ? ? ,则 f ( f ( )) ? 3 log3 x, x ? 0 ? ?



.

6.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? 2x ,则当 x ? 0 时,

f ( x) ?

. ▲ . ▲ .

7.已知函数 f ( x) ? x 3 ? 2 x ? 5 , f (a) ? 3 ,则 f (?a) ?

8.已知 a ? log 0.7 0.9 , b ? log1.10.9 , c ?1.10.9 ,则这三个数从小到大排列为 ....

9.若函数 y ? x2 ? 4x 的定义域为 [ ?4, a ], 值域为 [?4,32], 则实数 a 的取值范围为 ▲ . 10.函数 y ? log2 x 的单调递减区间是 ▲ .

??( x ? 1)2 ? 11. 已 知 函 数 f ( x) ? ? ?(3 ? a) x ? 4a ?
▲ .

?x ? 1 ? 为增函数,则实数 ? x ? 1?

a 的取值范围是

1 12.已知 a>0 且 a≠1,f(x)=x2-ax,当 x∈(-1,1)时均有 f(x)<2,则实数 a 的取值范围是__ ▲ ____.

(1? t )x ? t 2 (t ? R) 的定义域为 D,存在区间 [a, b] ? D,使得 13.已知关于 x 的函数 y ? x
f ( x) 的值域也是 [a, b] .当 t 变化时, b ? a 的最大值是_____▲ _________.
14.设函数 f ( x ) 的定义域为 D,如果存在正实数 k ,使对任意 x ? D ,都有 x ? k ? D ,且

f (x ? k ) ? f (x ) 恒成立,则称函数 f ( x) 为 D 上的“ k 型增函数” .已知 f ( x ) 是定义在 R

1

上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ?| x ? a | ?2a ,若 f ( x ) 为 R 上的“ 2013 型增函数” ,则 实数 a 的取值范围是 ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文 ....... 字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 14 分) 已知集合 A ? x 1 ? x ? 6 , B ? x 2 ? x ? 9 . (1)分别求: A ? B , A ? ? CR B ? ; (2)已知 C ? x a ? x ? a ? 1 ,若 C ? B ,求实数 a 的取值范围.

?

?

?

?

?

?

16. (本题满分 14 分) 计算: ⑴ (2 ) 2 ? (?9.6) ? (3 )
0

1 4

1

3 8

?

2 3

? (1.5) ?2 ;
1 ? log 5 14; 50

(2) log 5 35 ? 2 log 2

2 ? log 5

17. (本小题满分 14 分) 某省两相近重要城市之间人员交流频繁,为了缓解交通压力,特修一条专用铁路,用一列火 车作为交通车,已知该车每次拖 4 节车厢,一日能来回 16 次,如果每次拖 7 节车厢,则每 日能来回 10 次.若每日来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数,每节车厢能载乘 客 110 人. 问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多?并求出每天最多运营人数。 注: ( 来一次回一次为来回两次)

2

18. (本小题满分 16 分) 已知二次函数 f ? x ? 满足 f ? x ?1? ? f ? x ? ? 2x ? x ? R? ,且 f ? 0? ? 1。 (1)求 f ? x ? 的解析式; (2)当 x?? ?1,1? 时,方程 f ( x) ? 2 x ? m 有解,求实数 m 的取值范围; (3)设 g ?t ? ? f ? 2t ? a ? , t ? ? ?1,1? ,求 g ? t ? 的最大值.

19. (本小题满分 16 分) 已知定义域为 R 的函数 f ( x) ?

2x ? 1 是奇函数. a ? 2x?1
(2)判断并证明 f ( x) 的单调性;

(3)若对任意的 t ? R ,不等式 f (mt 2 ? 1) ? f (1 ? mt ) ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围.

3

20. (本小题满分 16 分) 已知 f (log2 x) ? ax2 ? 2 x ? 1 ? a , a ? R . (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)解关于 x 的方程 f ( x) ? (a ?1) ? 4x (3)设 h(x) ?2
?x

f ( x) ,a ?

1 a ?1 时,对任意 x1 , x2 ?[?1,1] 总有 h( x1 ) ? h( x2 ) ? 成立, 2 2

求 a 的取值范围.

命题、校对:刘晓静、蒋红慧

高一数学期中试卷参考答案
一、填空题: 1. ?3? 6. ? x ? 2 x
2

2013.11

2. 0 7. 7

3. (1,2)

, 4. [1 ? ?)
9. [2,8] 14. a ?

5.

1 2

8. b, a, c

10. (0,1)

11. ?1 ? a ? 3 二、解答题:

1 12. [2,1)∪(1,2]

13.

2 3 3

2013 6

15 解: (1) A ? B ? ? 2,6? , A ? (CR B) ? ?x | x ? 9或x ? 6? (2)由 ?

?a ? 2 ,得 2 ? a ? 8 ?a ? 1 ? 9
1 2
[

3 3 ?2 3 ?2 9 27 ? 3 16 解:⑴原式= ( ) 2 ? 1 ? ( ) 3 ? ( ) ?2 = ? 1 ? ( ) ? ( ) 2 2 2 4 8 2
4

=

1 2

1 35 ? 50 ? 2log 2 2 2 ? log5 53 ? 1 ? 4; (2)原式= log5 14

17 解:设每日来回 y 次,每次挂 x 节车厢,由题意 y ? kx ? b 当 x=4 时 y=16 当 x=7 时 y=10 得下列方程组: 16=4k+b 10=7k+b 解得:k= ? 2 b=24 ? y ? ?2 x ? 24 由题意知,每日挂车厢最多时,营运人数最多,设每日营运 S 节车厢 则 S ? xy ? x(?2x ? 24) ? ?2x 2 ? 24x ? ?2( x ? 6) 2 ? 72 所以当 x ? 6 时, S max ? 72 此时 y=12,则每日最多运营人数为 110×72=7920(人)
答:这列火车每天来回 12 次,才能使运营人数最多。每天最多运营人数为 7920.

18.解: (1)设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 代入 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x 和 f (0) ? 1

并化简得 ?

?2ax ? a ? b ? 2 x( x ? R) ,?a ? 1, b ? ?1, c ? 1,? f ( x) ? x2 ? x ? 1 c ?1 ?

(2)当 x?? ?1,1? 时,方程 f ( x) ? 2 x ? m 有解 即方程 x ? 3x ? 1 ? m 在上 x?? ?1,1? 有解
2

令 g ( x) ? x ? 3x ? 1, x ?[?1,1] ,则 g ( x) 的值域是 [?1,5]
2

故 m 的取值范围是 [?1,5] (3) g ?t ? ? f ? 2t ? a ? ? 4t ? ? 4a ? 2? t ? a ? a ? 1, t ???1,1?,
2 2

对称轴是 x ? 1 ○ 当

1 ? 2a 。 4

1 ? 2a 1 ? 0 时,即 a ? 时 4 2

g ?t ?max ? g ? ?1? ? 4 ? ? 4a ? 2? ? a2 ? a ?1 ? a2 ? 5a ? 7 ;
2 ○ 当

1 ? 2a 1 ? 0 时,即 a ? 时, 4 2

g ?t ?max ? g ?1? ? 4 ? ? 4a ? 2? ? a2 ? a ?1 ? a2 ? 3a ? 3.

5

综上所述: g ? t ?max

? 2 ?a ? 5a ? 7, ? ?? ?a 2 ? 3a ? 3, ? ?

1 a? , 2 。 1 a? . 2

19.(1) 由 f (1) ? f (?1) ? 0 得
1 ? 4 ? 2 ?0?a ?2 分 a ?1 a ?1

检验: a ? 2 时, f ( x) ?

2x ? 1 2 ? 2x?1 2? x ? 1 2 x (2? x ? 1) 1 ? 2x f (? x) ? ? x ? x?1 2 ? 2? x?1 2 (2 ? 2? x?1 ) 2 ? 2 ? f ( x) ? f (? x) ? 0 对 x ? R 恒成立,即 f ( x) 是奇函数.

(2)判断:单调递增 证明: 设 x1 ? R, x2 ? R且x1 ? x2 则
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
2 2 x1 ? 1 2 x 2 ? 1 1 2 x 1? 1 2 x ? 1 ? ? ( x 1 ? x 2 ) 2 ? 2 x1 ?1 2 ? 2 x 2?1 2 2 ? 1 2 ? 1

1 2 2 1 1 2 x1 ? 2 x2 ? [(1 ? x1 ) ? (1 ? x2 )] ? x2 ? x1 ? x1 2 2 ?1 2 ?1 2 ? 1 2 ? 1 (2 ? 1)(2 x2 ? 1)

? x1 ? x2 ?2x1 ? 2x2 即 2x1 ? 2x2 ? 0
又 2 1 ? 1 ? 0, 2 2 ? 1 ? 0 即
x x

2 x1 ? 2 x2 ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) (2 ? 1)(2 x2 ? 1)
x1

? f ( x) 在 R 上是增函数

(3) ? f ( x) 是奇函数

? 不等式 f (mt 2 ? 1) ? f (1 ? mt ) ? 0 ? f (mt 2 ? 1) ? f (mt ?1)
? f ( x) 在 R 上是增函数

? 对任意的 t ? R ,不等式 f (mt 2 ? 1) ? f (1 ? mt ) ? 0 恒成立
即 mt 2 ? 1 ? mt ? 1 对任意的 t ? R 恒成立 即 mt 2 ? mt ? 2 ? 0 对任意的 t ? R 恒成立 1? m ? 0 时,不等式即为 2 ? 0 恒成立,合题意;
?m ? 0 2? m ? 0 时,有 ? 即0? m ?8 2 ?? ? m ? 8m ? 0

综上:实数 m 的取值范围为 0 ? m ? 8 20 解: (1)令 log 2 x ? t 即 x ? 2 ,则 f (t ) ? a ? (2 ) ? 2 ? 2 ? 1 ? a
t

t 2

t

6

即 f ( x) ? a ? 22 x ? 2 ? 2x ? 1 ? a, x ? R (2)由 f ( x) ? (a ?1) ? 4x 化简得: 22 x ? 2 ? 2 x ? 1 ? a ? 0 即 (2x ? 1)2 ? a 当 a ? 0 时,方程无解 当 a ? 0 时,解得 2 ? 1 ? a
x

若 0 ? a ? 1 ,则 x ? log2 (1 ? a ) 若 a ? 1 ,则 x ? log2 (1 ? a ) (3)对任意 x1 , x2 ?[?1,1] 总有 h( x1 ) ? h( x2 ) ? 当 x ?[?1,1] 时, hmax ? hmin ?

a ?1 成立,等价于 2

a ?1 2

1? a ?2 2x 1? a 1 ? 2, t ? [ , 2] 令 2x ? t , 则 y ? at ? t 2 1? a 1 ? 2, t ? [ ,2] 令 g (t ) ? at ? t 2 1? a 1 ? 2, t ? [ ,2] 单调递增, ①当 a ? 1 时, g (t ) ? at ? t 2 3(a ? 1) 1 3a g (t ) min ? g ( ) ? ? 此时 g (t ) max ? g (2) ? , 2 2 2 6a ? 3 a ? 1 4 g (t ) max - g (t ) min ? ? 即 a ? (舍) 2 2 5 1? a 1 4 ? 2, t ? [ ,2] 单调递增 ②当 ? a ? 1 时, g (t ) ? at ? 5 t 2 3(a ? 1) 1 3a g (t ) min ? g ( ) ? ? 此时 g (t ) max ? g (2) ? , 2 2 2 6a ? 3 a ? 1 4 4 g (t ) max - g (t ) min ? ? 即a ? ?a ? 2 2 5 5 1 4 1? a 1 ? 2, t ? [ ,2] ③当 ? a ? 时, g (t ) ? at ? 2 5 t 2 h( x ) ? a ? 2 x ?
在[ ,

1 2

1 1 ? 1] 上单调递减,在 [ ? 1, 2] 上单调递增 a a
1 2 3(a ? 1) 2

且 g ( 2) ? g ( ) ? g (t ) max ? g (2) ?

g (t ) min ? g (

1 ? 1) ? 2 a(1 ? a) ? 2 a

7

? g (t ) max ? g (t ) min ? ?

3(a ? 1) a ?1 4 ? (2 a(1 ? a) ? 2) ? 即a ? 2 2 5

1 4 1 4 ? a ? ,综上: ? ? a ? 2 5 2 5

8


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