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【名师A计划】2017高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第一节 三角函数的有关概念课件 理


第三章 三角函数、解三角形

考情分析 2015 2014 考点 同角三角函数的基本 关系式、诱导公式、 新课标卷 新课标卷 三角函数的图象与性 Ⅰ,T8,选择 Ⅰ,T6,选择 质 新课标卷 Ⅰ,T8,选 和差公式、 倍角公式、 新课标卷 择; 三角恒等变换及其综 Ⅰ,T2,选择 新课标卷 合应用 Ⅱ,T14,填 空 新课标卷 新课标卷 Ⅰ,T16,填 正、余弦定理及面积 Ⅱ,T17,解 空; 公式的综合应用 答 新课标卷 Ⅱ,T4,选择

2013

2012

2011

新课标 新课标 卷,T9,选 卷,T11,选 择 择 新课标卷 Ⅰ,T15,填 新课标 空; 卷,T5,选 新课标卷 择 Ⅱ,T15,填 空 新课标卷 Ⅰ,T17,解 新课标 新课标 答; 卷,T17,解 卷,T16,填 新课标卷 答 空 Ⅱ,T17,解 答

第一节 三角函数的有关概念

考纲概述

考查 考查频 备考指导 热点 次

(1)了解任意角 的概念和弧度制 的概念; 三角 角的概念与三角函数的定义单独命题的可 (2)能进行弧度 函数 能性较小,通常是与其他知识结合在一起进 与角度的互化; ★★★ 的定 行考查,但一些基本概念与有关公式必须熟 (3)理解任意角 义 记,平时要加强基础知识的复习与训练. 三角函数(正弦、 余弦、 正切)的定 义.

1.角的有关概念 (1)角的分类 按旋转方向不同分为:正角、负角、零角. 按终边位置不同分为:象限角、轴线角.

第一象 α|2k < α 限角的 < 2k + ,∈Z 集合 2 π 第二象 |2π + < < 2 限角的 2π + π,∈Z 集合 第三象 |2π + π < < 限角的 3π 2 π + ,∈Z 集合 2 3π 第四象 |2π + < < 2 限角的 2π + 2π,∈Z 集合 轴线角 的集合 | 0 π = 2π + ,,0 ∈ 2

(2)终边相同的角:所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可构 成一个集合 S={β|β= k· 360°+α,k∈ Z }.

2.弧度制
(1)1 弧度的角:长度等于 半径长 rad. (2)角度与弧度之间的换算关系 —— 1° = 180°=π rad ——
π 180 180 π

的弧所对的圆心角.弧度记作

rad °

—— 1rad =

(3)弧长、扇形的面积公式 设扇形的弧长为 l,圆心角大小为 α(弧度),半径为 r,则

①l= |α|· r ,②S 扇形=

1 lr 2

=

1 |α|r2 2

.

3.任意角的三角函数
(1)设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),则 sin α=y,cos α=x,tan α= (x≠0). (2)三角函数值在各象限的符号
sin α cos α + + + tan α + +

Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ

+

口诀 一全正、二正弦、三正切、四余弦

4.三角函数线
如图所示,正弦线为有向线段 MP , 余弦线为有向线段 OM ,正切线为有向线段 AT .

5.常用的数学方法与思想
数形结合思想、分类讨论思想.

1.判断下列说法是否正确(打“√”或“×”). (1)锐角一定是第一象限的角,反之也正确. (1)× (2)若手表慢了 5 分钟,只需将分针旋转 30°就可以将它校准. (2)× 【解析】手表慢了 5 分钟,需将分针旋转-30°,即可将它校准. π π (3)若 sin α=sin ,则 α= . 7 7 (3)× (4)-330°角与 30°角的终边相同. (4)√ (5)1 弧度的角与 1 度的角的大小相等. (5)×

( ( ( ( (

) ) ) ) )

2.点 P(sin 1560°,cos 1560°)位于第 象限. A.一 B.二 C.三 D.四 2.D 【解析】因为 1560°=4×360°+120°,所以 sin 1560°=sin 120°>0,cos 1560°=cos 120°<0,所以点 P(sin 1560°,cos 1560°)在第四象限. 3.单位圆中,330°的圆心角所对的弧长为 (
π A. 6 π B. 3

3.C 【解析】因为

11π 5π C. D. 6 3 11π α=330°,即 α= , 所以 = 6

)

|| · =

11π × 6

1=

11π . 6

4. (2015· 吉安四校月考) 已知角 θ 是第二象限角,P(a,3)为其终边上一点,且 cos A.±4 B.±5 C.5 D.-4 4.D 【解析】 r=√ 2 + 9, 由于是第二象限角, 所以 < 0, cos = 5.在 0°~360°之间与角-62°终边相同的角是 5.298° 【解析】360°-62°=298°. .

θ= ,则 a= 5

(

)

2 +9

= ,解得 a=-4.

5

考点 1 象限角及终边相同的角
典例 1 (1)以下四个式子:①sin 1230°,②cos
25π sin1 ,③ ,④sin(3-π),其中为负值的 3 cos2

为 .(填代号) 【解题思路】 利用终边相同的角公式将角转化到范围 0~2π 内,再利用在 0~2π 对应各象
25π π 限的符号来定.①1230°=3×360°+150°,所以 sin 1230°>0;② = 8π + , 3 3 25π π π 所以 cos > 0; ③因为 0 < 1 < , 所以 sin 1 > 0, 又因为 < 2 < π, 所以 cos 2 < 0, 3 2 2 sin1 π 所以 < 0; ④ ? <3-π<0,角的终边在第四象限,所以 sin(3-π)<0.因此四个式子中为 cos2 2

负值的是 ③④. 【参考答案】 ③④

(2)写出与-45°终边相同的角的集合的表达式,并求出 [-360°,720°]之间与-45°终边相同的角的集合. 【解题思路】与-45°终边相同的角的集合为 {β|β=-45°+k×360°,k∈ Z},分别令 k=0,1,2,可得 β=-45°,β=315°,β=675°,所以符合条件的角的集合为 {-45°,315°,675°}. 【参考答案】 {β|β=-45°+k×360°,k∈ Z},{-45°,315°,675°}

(3)已知

【解题思路】解法 1:因为 α 为第二象限角 ,所以 + 2π < < π + 2π, ∈
2 π , 所以 + 4

α 为第二象限角,求 是第几象限的角? 2

π <
2 2

2

<

π + π, 2

∈ . ①当 为偶数时
2

π 2

, 的终边在第一象限, 所以 是第一象限的角; ②当 为奇数时, 的终边在第三象限, 所以 是第三象限的角.
解法

2:对 判断象限问题可采用等分象限法, 将各个象限进行二等分得到 2

8 等分,

再从第一象限的等分开始按逆时针方向依次轮回写出 1,2,3,4, 则 8 个区域中标号为 2(位于第几象限则对应标号几)的即为 所在象限.
2

【参考答案】

是第一象限的角或第三象限的角 2

角的概念的常见问题的求解策略 (1)确定一个绝对值较大的角所在的象限或其函数值的符号,一般 先将角化成 2kπ+α(0≤α<2π)(k∈Z)的形式,再根据 α 所在的象限 予以判断,这里要特别注意是 π 的偶数倍,而不是 π 的整数倍 ; (2)求出在某一指定范围内的某种特殊的角,一般先将角化成 2kπ+α(0≤α<2π)(k∈Z)的形式 ,再对 k 赋值来求解(如本例(2)),也 可采用不等式法求解 ; (3)对某一象限内的角进行 n 等分一般是构成不等式进行讨论,也 可巧用等分象限法.

【变式训练】
1.若 sin α<0,且 tan α>0,则 α 所在的象限是 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 1.C 【解析】因为 sin α<0,所以 α 为第三象限、第四象限的角 或终边在 y 轴的负半轴上,又因为 tan α>0,则 α 为第一象限、 第三 象限的角,综合得 α 在第三象限. 2.已知 α 为第三象限角,则2 是第 象限的角. 2.二或四 【解析】同典例 1(3),利用等分象限法可知 对应于 8 个区域中标号为 3 的部分, 则 是第二或第四象限的 角.
2 2

考点 2 扇形的弧长、面积公式
典例 2 已知扇形的圆心角是 α,半径为 R,弧长为 l. (1)若 α=60°,R=10 cm,求扇形的弧长 l. (2)若扇形的周长是 20 cm,当扇形的圆心角 α 为多少弧度时,这个扇形的面积最大? π (3)若 α= ,R=2 cm,求扇形的弧所在的弓形的面积.
3

【解题思路】 (1)弧长在弧度制下进行求解 ;(2)利用已知构建两个方程,通过联立方程消 去 l,结合一元二次方程的最值来求解 ;(3)利用数形结合法,结合弓形的面积等于扇形的 面积减去三角形面积,即可求解.

π 【参考答案】(1)α=60°= , 3

= 10 ×

(2)由已知得,l+2R=20,
1 2 1 2

π 3

=

10π 3

cm.

所以 S= = (20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25, 所以当 R=5 时,S 取得最大值 25, 此时 l=10,α=2. (3)设弓形面积为 S 弓,由题知 l= 则 S 弓=S 扇形-S 三角形= ×
1 2 2π × 3

2π cm, 3 1 2 ? × 22 × 2

sin =

π 3

2π -√3 3

cm2.

求解扇形弧长、面积问题的三点注意 (1)计算扇形的面积和弧长在弧度制下比在角度制下更方便、简 捷. (2)记住下列公式 :①l=αR;②S= lR;③S= αR2.其中 R 是扇形的半 径 ,l 是弧长,α(0<α<2π)为圆心角,S 是扇形面积. (3)S= lR= αR2.R 是扇形的半径 ,l 是弧长,α(0<α<2π)为圆心角这 三个量中知二可求一.
1 2 1 2 1 2 1 2

【变式训练】
(2015· 太原模拟) 已知圆 O 中 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2,那 么这个圆心角所对的弧长为 ( ) A.2 B.sin 2
1 sin1

C. =

2 sin1

D.sin 1 =
1 , sin1

C 【解析】 设圆的半径为 R,则 sin 所以弧长 = | | · = 2 ×

2 . sin1

1 1= , 解得

考点 3 三角函数的定义及其应用
典例 3
3 5

(2015· 福州三中模拟) 已知角 θ 的终边经过点 P(4,m),且 ( B.3 C.
16 3

sin θ= ,则 m= A.-3 D.±3
3 = 求解. 5 16+2 3 = = ,即 5 16+2

)

【解题思路】利用三角函数定义 sin θ= 由 (4, )可知 = √16 + 2 , 所以 sin

25m2=144+9m2?16m2=144,解得 m=±3,又 m>0,所以 m=3. 【参考答案】 B

★备用典例 (2015· 南昌十校模拟) 已知角 α 的终边与单位圆交于 点 P(m,n),且 n=2m(m≠0),那么 sin 2α 的值是 A.4 5

B.

【解题思路】利用任意角的三角函数的定义求出 sin α 和 cos α 的值 ,再利用二倍角公式求得 sin 2α 的值 .由题意可得 x=m,y=n=2m,r= 2 + 2 = √5| |, ∴ sin = =


4 5

C.-

3 5

D.

3 5

(

)

=

,∴ √5||

sin 2 = 2sin cos = .

4 5

2 , cos 5 | | √

=

【参考答案】 B

三角函数值的常用求法 (1)已知角 α 终边上一点 P 的坐标 ,可先求出点 P 到原点的距离 r, 再利用三角函数的定义求解 ; (2)已知角 α 终边所在直线方程,则可先设出终边上一点的坐标, 求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义求相关问题,若 直线的倾斜角为特殊角,则可直接写出角 α 的三角函数值.

【变式训练】
(2015· 江淮十校联考) 已知角 α 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的 非负半轴重合,终边与单位圆的交点为 A 0 , 5 ,则 sin
7 25
2

4

π 2- 2

=

.(用数值表示)
π 2

【解析】因为 sin 22

= ?cos 2 =
2 0

sin ? cos , 由三角函数的定义可知 =
5 1 5

16 + 25

=

4 3 ± 3 4 5 1, 解得0= ± , sin = = , cos = 5 =

± , 所以 sin 2-

3 5

π 2

= sin2 ? cos2

1 16 9 = ? 25 25

=

7 . 25

三角函数求值问题中的误区分析
典例 (2015· 杭州模拟) 已知角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上,则 5sin α+5cos α+4tan α= 【错解过程】因为角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上,所以在直线上 任取一点 P(4t,-3t),t≠0,则 OP= (4)2 + (-3)2 = √25 2=5t,由三 角函数定义可知 sin α= =
-3 3 =- ,因此 4 4 -3 3 =- ,cos 5 5

α= =

5sin α+5cos α+4tan α=5×

4 4 = ,tan α= = 5 5 3 4 3 - +5× +4× - =-2. 5 5 4

【错解分析】错误定位:OP= (4)2 + (-3)2 = √25 2=5t. 自我更正如下:OP= (4)2 + (-3)2 = √25 2=5|t|,

①当 t>0 时,OP= (4)2 + (-3)2 = √25 2=5t(t>0),解题过程同上(略). ②当 t<0 时,解题过程如下:OP= (4)2 + (-3)2 = √25 2=-5t(t<0),由三角函数定义可
知 sin α= =
3 α=5× +5× 5 -3 3 = ,cos -5 5 4 3 - +4× 5 4

α= =



4 4 =- ,tan -5 5

α= =



-3 3 =- ,因此 4 4

5sin α+5cos α+4tan

=-4.因此综合可知 5sin α+5cos α+4tan α 值为-2 或-4.

【针对训练】
已知角 α 的终边在直线 y=x 上,则 2sin x+cos x= .
3√2 3√2 或? 【解析】当角的终边在第一象限时, sin = 2 2 3√2 √2 cos = , 2sin + cos = ; 当角的终边在第三象限时 2 2 3√2 √2 , sin = cos = ? , 2sin + cos = ? . 2 2



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