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3.2一元二次不等式及其解法


一元二次不等式及其解法
第四课时

教学目标
知识与能力
1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次 函数的关系,掌握图象法解一元二次不等式的方法; 培养数形结合的能力,培养分类讨论的思想方法, 培养抽象概括能力和逻辑思维能力; 2.巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函 数的关系;进一步熟练解一元二次不等式的解法.

>
教学重难点
重点
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型; 一元二次不等式的解法.

难点
理解二次函数、一元二次方程与一元二次 不等式解集的关系.

回顾知识
同学们在初中学习过一元一次不等式的解 法,你能说出一元一次函数,一元一次方程,一 元一次不等式之间的关系吗? 能通过观察一次 函数的图像求得一元一次不等式的解集吗?

一元一次函数,一元一次方程, 一元一次不等式之间的关系 ,如下:

新课导入
问题:某同学想上网查资料,现有两家网 吧可供选择。A网吧每小时收费1.5元(不足1 小时的按1小时计算); B网吧的收费原则为, 在用户上网的第1个小时内(含恰好1个小时) 收费1.7元,第2个小时内收费1.6元,以后每小 时减少0.1元(每天上网最多17小时).

分析:一般来说,一次上网的时间不会超过 17小时.所以,不妨设一次上网的时间总小于17 小时.那么,一次上网在多长时间以内,去A网吧 合算? 问:设该同学上网时间为x小时, (1)若该同学去A网吧,试写出所需费用的表达式? (2)若该同学去B网吧,试写出所需费用的表达式? (3)一次上网在多长时间以内,去A网吧合算?

解: 一次上网的时间为x小时,则网吧A 收取的费用为1.5x(元) 网吧B收取的费用为

x(35-x)/20(元)
若要能够保证选择网吧A比网吧B所 需费用少,则 想想为什么? x(35-x)/20> 1.5x(0<x<17).

经整理得

x2 - 5x > 0
这是一个关于x的一元二次不等式.只要求的 满足此不等式的解集,就得到了答案. 一元二次不等式的定义: 什么是一元二次 不等式? 我们把只含有一个未知数,并且未知数的最 高次数为2次的不等式称为一元二次不等式.

我们已经知道导入中的问题已经归结为求 一个一元二次不等式解的问题,那么怎样求得 下面式子的解集呢?

x - 5x < 0

2

我们先来考察它与二次函数

y ? x2 ? 5x

与 x2 ? 5x ? 0 的关系. 容易知道:

x1 二次方程的有两个实数根: x1 二次函数也正有两个零点 :
y
y = x 2 - 5x

= 0, x2 = 5 = 0, x2 = 5

o

5

x

观察函数图象,可知:当 x<0,或x>5时, 函数图象位于x轴上方,此时,y>0,
2 x - 5x > 0 即

当0<x<5时,函数图象位于x轴下方,此时, y<0, 2 x - 5x < 0 即 y 所以,不等式的解集是,

?x | 0 < x < 5?.

y = x 2 - 5x

o

5

x

1、要解一元二次不等式和一元二次函数 及二次方程用很大关系!
2、同学们在学习过程中应多于以前的知 识相结合.从而作到融汇贯通的效果.

我们已经知道了具体一元二次方程的解法, 能不能由此推出一般一元二次方程的解法? 一元二次方程的一 2 ax般形式是什么? + bx + c ? 0

ax + bx + c ? 0
2 2 2

ax + bx + c ? 0 ax + bx + c <0

第5课时
根据上面的具体问题,我们可以得到,确定一 元二次不等式的解集,关键要考虑以下两点:
2 y = ax + bx + c 与x轴的相关位置的情况, (1)抛物线

2 ax + bx + c = 0 的根的情况 . 也就是一元二次方程
2 y = ax + bx + c的开口方向,即a的符号. (2)抛物线

我们是怎样确定一元二次方程 ax2 + bx + c = 0

的根的呢?
通过以前的知识,我们知道:ax2 + bx + c = 0 2 的根与他的判别式有很大关系. Δ = b - 4ac 即为 它的判别式,当 Δ > 0 时,有两个不同的实根; 当 Δ < 0 时,没有实根; 当 Δ = 0时,有一个实根. 同时我们知道,a<0可以转化为a>0,从而只要 考虑a>0的情况即可.

从而结合一元二次函数 y = ax2 + bx + c 的图像,
y = ax2 + bx + c 与x轴的相关位置分三种情况:

y

y

y

x1

x2

x1=x2
0
Δ>0

x
Δ<0

Δ=0

通过以上分析,我们就可以分三种情况来 讨论对应的一元二次不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集了. y y y

x1

x2 x1=x2
Δ>0

Δ=0

0
Δ<0
x?R

x

x ? x1及 解分别为:x1 < x < x2 ,

一元二次不等式的解法
判别式 △=b2- 4ac △>0 y y=ax2+bx+c (a>0)的图象 x1 O x2 x O x1 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异实根 x1, x2 (x1<x2) x O 没有实根 x

△=0
y

△<0
y

有两相等实根 b x1=x2= ? 2a

ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }

b {x|x≠ ? } 2a

R Φ

Φ

解一元二次不等式的基本步骤:“三步曲” (1)转化为不等式的“标准”形式; (2)算△,解相应一元二次方程的根;

(3)根据二次函数的图象以及不等号的方向,
写出不等式的解集.

想想,我们怎样用一个程序图的形式求 解一般一元二次不等式的过程表示出来. 是什么?

程序图是制作电脑程序时用的,目的是 为了简便运算.

开始
将原不等式化为 y = ax2 + bx + c (a>0)
Δ = b2 - 4ac

Δ>0

否 方程 ax2 + bx + c = 0 没有实根


求方程 的两个根x1,x2
ax2 + bx + c = 0

x1=x2?

原不等式解集为R


原不等式解集为 { x | x ≠b/2a}

否 原不等式解集为

{ x |x<x1 或x>x2 }

结束

解不等式

2x2 - 3x - 2 > 0

解:因为△>0,方程 2x2 - 3x - 2 > 0 的解是
x1 =-1/2 ,x2 =2 所以,不等式的解集是 {x |x1<-1/2,或 x2 >2}

第6课时
解不等式 -x2 + 2x - 3 > 0 解:整理,得
x2 - 2x + 3 < 0

因为△<0,方程x2 - 2x + 3 < 0 无实数解,

所以不等式 -x2 + 2x - 3 > 0 的解集是φ.
从而,原不等式的解集是φ.

解不等式 4x2 - 4x +1 > 0 解:因为△=0,方程 4x2 - 4x +1 = 0 的解是 x1 = x2=1/2

所以,不等式的解集是
{x |x ≠ 1/2}.

第7课时
一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装 配流水线,这条流水线生产的摩托车数量x(辆) 与创造的价值y(元)之间有如下的关系:

y = -2x2 + 220x
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流 水线创收6000元以上,那么它在一个星期内大 约应该生产多少辆摩托车?

例3、某种汽车在水泥路面上的刹车距离s(米)和汽车车速x(千 1 1 米/小时)有如下关系 s ? 20 x ? 180 x ,在一次交通事故中,测 得这种车的刹车距离大于39.5m,那么这辆车刹车前的车速 至少是多少?(精确到0.01km/h)
2

解:设这辆车刹车前的车速至少为xkm/h,根 据题意,我们得到 1 x ? 1 x 2 ? 39.5 20 180 移项整理,得 x 2 ? 9 x ? 7110 ? 0
? ? ? 0, 方程x 2 ? 9 x ? 7110 ? 0有2个实根, 即: x1 ? ?88.94, x 2 ? 79.94 由方程x 2 ? 9 x ? 7110 ? 0的图像,可得不等式的解集为 {x | x ? ?88.94, 或x ? 79.94}

在这个实际问题中,x>0,所以这辆车刹车的车速至少 为79.94km/h。

解:设在一个星期内大约应该生产x辆摩托 车,根据题意,我们得到
-2x2 + 220x > 6000

移项整理,得 x2 -110x < 3000
因为方程有两个实数根 x1=50,x2=60

由二次函数的图象,得不等式的解为:
50<x<60.

又因为x只能取正整数,所以,当这条摩托 车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量 在51—59辆之间时,这家工厂能够获得6000元 以上的收益 .

课堂小结
1、解一元二次不等式的步骤:
A = ax2 + bx + c (1) 将二次项系数化为 正号;

(2)计算判别式,分析不等式的解的情况: ⅰ. △ >0时,求根x1<x2, A>0,x>x1或x<x2 A<0,x1<x<x2

A>0,x≠x1

ⅱ. △ =0时,求根x1=x2,

A<0, φ
A=0,x=x1 A>0,R A≤0, φ

ⅲ. △ <0时,方程无解,

(3) 写出解集.

2、一元二次方程、一元二次不等式和二次 函数的关系. (1)二次方程的根是函数的零点,即二次 函数图象与x轴交点的横坐标; (2) 结合方程的解与函数图象可以得出二次 不等式的解.

3、数学思想的体现
数形结合的思想及化归思想.

高考链接
2 y = x - 4x +1 (2006 上海)x是什么实数时,函数

(1)等于0?(2)是正数? (3)是负数? 分析:将问题等价转化为 y = x 2 -4x + 1 y=0,y>0,及y<0时,求x取值. 解:(1)因为 x2 - 4x +1 = 0 的解集为 {x |x=2-√3或x=2+√3}, 即, x=2-√3或x=2+√3时,y=0.

(2)因为 x2 - 4x +1 = 0 的解集为

{x | x = 2- 3或x = 2 + 3}
x - 4x + 1 > 0 的解集为 所以,
2

{x | x < 2- 3或x > 2 + 3}
即, x<2-√3或x>2+√3时,y>0. (3)由(2)得即, 2-√3 < x< 2+√3时,y<0.

课堂练习
1、解下列不等式:
2 1 3x ? ? - 7x + 2 < 0

解:由题 3x2 - 7x + 2 = 0对应的△=49-24=25>0 其解为x1=1/3,x2=2

? 3x2 - 7x + 2 < 0的解集为{x |1/3<x<2}.

? 2? - 6x2 - x + 2 ? 0
解:将原不等式变形为:6x2 + x - 2 ? 0

6x2 + x - 2 = 0对应的△=1+48>0
其解 x1=-2/3,x2=1/2;

-6x2 - x + 2 ? 0 的解集为
{x |x≤-2/3或x≥1/2}.

2 3 4x + 4x +1 < 0 ? ?

解:由题 4x2 + 4x +1 = 0 对应的△=16-16=0; 则方程 4x + 4x +1 = 0 的解为x1=x2=1/2 ∴原不等式的解集为φ.
2 4 x ? ? - 3x +5 > 0

2

解:由题x2 - 3x + 5 = 0 对应的△=9-20<0 故 x - 3x + 5 = 0 无实数解 ∴原不等式的解集为R.
2

2、x是什么实数时, x2 + x -12 有意义? 分析:要使式子有意义,则需 x 2 + x -12 ? 0 故问题相当于解这个不等式. 解:由题 x2 + x -12 = 0 对应△=1+48>0,

其解集{x |x=-4或x=3},
2 x 故 + x -12 ? 0 的解集为

{x |x ≤ -4或x ≥ 3}.

3、计算下列各题.

?1? - 2x2 ? x ? 5 ? 0;

(1) R;

?2? x

2

? 4x ? 4 ? 0; (2){ x x ? 2 };

?3? log2 x 2 ? log2 (3 x ? 4)
(3){x︳-1≤x≤4且x≠0};

?4? 求函数y ?

x ? 4的定义域
2

(4){ x x ? 2或x ? ?2 };

习题答案
3 5 1.(1)? x ? x ? ? , 或x ? 2 2 (2)? (3)?

?;

13 13 x ?? ? x? ?; 2 2 x ?x ? ?2, 或x ? 5 ? ;

(4)? x ? 0? x?9

?.

? 3 3? ? ? x ? x < 1 或 x < 1 + ? ? 时y>0, 当 3 3 ? ? ? ? ? 3 3? ? ? 当 x ? ?1 - 3 < x < 1 + 3 ? 时y<0; ? ? ? ?

(2){-5,5},{-5<x<5},{x>5或x<-5};
(3) φ, φ, R; (4){2},{x≠2}, φ.


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