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第二章 基本初等函数(题型完美版)


文思泉涌

智者先行

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高中数学必修(1)资料
第二章 基本初等函数
本章承袭第一章,包含三类基本函数,在学习过程中,会用到第一章所学的函数的性质。 本章所包含的三类函数,定义域又有了新的限制条件,图像也各有不同,在解题过程中,同学 们一定要习惯去画图。

第一部分

指数函数

1.根式 (1)根式的概念 如果一个数的 n 次方等于 a(n>1 且,n∈N*),那么这个数叫做 a 的 n 次方根.也就是,若 xn=a,则 x 叫做 n a 的 n 次方根,其中 n>1 且 n∈N*.式子 a叫做根式,这里 n 叫做根指数,a 叫做被开方数. (2)根式的性质 n ①当 n 为奇数时, 正数的 n 次方根是一个正数, 负数的 n 次方根是一个负数, 这时, a 的 n 次方根用符号 a 表示. n ②当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两个,它们互为相反数,这时,正数的正的 n 次方根用符号 a表示, n n 负的 n 次方根用符号- a 表示.正负两个 n 次方根可以合写为± a(a>0). n ?n ③? ? a? =a. n ④当 n 为奇数时, an=a;
? ? a≥0? ?a n 当 n 为偶数时, an= |a|=? . ? a 0? ?-a ? <

⑤负数没有偶次方根. 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正整数指数幂:an=a·a·… (n∈N*); ②零指数幂:a0=1(a≠0); 1 ③负整数指数幂:a -p=ap(a≠0,p∈N*); m n ④正分数指数幂:a n = am(a>0,m、n∈ N*,且 n>1); m 1 1 ⑤负分数指数幂:a- n = m= (a>0,m、n∈N*且 n>1). a n n am

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【注】若 a>0,p 是一个无理数,则 ap 表示一个确定的实数. 上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指 数幂都适用 3.指数函数的图象与性质 y=ax a>1 0<a<1

图象

定义域 值域 性质

R (0,+∞) 过定点(0,1)

x<0 时,0<y<1 x<0 时,y>1. 在(-∞,+∞)上是减函数

当 x>0 时,0<y<1; 当 x>0 时,y>1; 在(-∞,+∞)上是增函数

【注 1】当底数没有确定又涉及函数的单调性问题时,要对指数函数和对数函数的底 0 ? a ? 1 或 a ? 1 进行 讨论。 【注 2】第一象限中,指数函数底数与图象的关系

【分析考向】 考向一:指数式与根式运算问题 指数幂的化简与求值的原则及结果要求 1.化简原则 (1)化负指数为正指数;(2)化根式为分数指数幂;(3)化小数为分数;(4)注意运算的先后顺序.

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2.结果要求

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(1)若题目以根式形式给出,则结果用根式表示;(2)若题目以分数指数幂的形式给出,则结果用分数指数幂 表示; (3)结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又有负指数幂.

专题一 指数与指数幂的运算
[例 1](1) (?10)
2

(2) 4 (3 ? ? )

4

(3) ( a ? b)

2

[例 2]已知 a ? 0 ,将 a a a 化为分数指数幂的形式为________. [例 3]化简下列各式:
1 (1) a 3 b 2 ? (?3a 2 b 3 ) ? ( a 6 b 6 ) ,其中 a ? 0 , b ? 0 . 3
2 1 1 1 1 5

1

(2) (?2 x 4 y

?

1 1 3 )(3x 2

2

8

y3)

(3) (a 5 b

?

6 1 ? 5) 2

? 5 a 4 ? 5 b3

[例 4]计算 3 ? 2 2 ? 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 .

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第 3 页 共 3 页

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巩固练习: 1.有下列四个命题:其中正确的个数是( ①正数的偶次方根是一个正数; ⑤负数的偶次方根是一个负数; A.0 B.1 C.2 D.3 )

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②②正数的奇次方根是一个正数; ④④负数的奇次方根是一个负数。

2. 给出下 列 4 个等式:① a 2 ? a ;② ( a ) 2 ? a ; ③ 3 a3 ? a ;④ (3 a )3 ? a 。其中不一定正 确的是 ( ) A. ① 3.化简 (1 ? 2
?

B. ②

C. ③

D. ④ )

1 1 1 1 1 ? ? ? ? 32 )(1 ? 2 16 )(1 ? 2 8 )(1 ? 2 4 )(1 ? 2 2 ) ,结果是(
1

? 1 1 A. (1 ? 2 32 ) ?1 2 2
1 32

B. (1 ? 2

?

1 32 ) ?1

C. 1 ? 2

?

? 1 D. (1 ? 2 32 ) 2

1

4.(1) 12 ? 2 35 的平方根是 5.若 x 满足 4 (1 ? 3x) 4 ? 5 ,则 x 的值为 6. 3 (?2)3 ? 4 (? ? 4) 4 ? 3 (2 ? ?)3 ?

.(2) 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2 =_________. . .
1 1 3 4

7.化简下列各式(其中各字母均为正数).
? 5 (1) a 3 b ? 2 ? (?3a 2 b ?1 ) ? (4a 3 b ?3 ) 2 6 1 1 2

(2) 0.064

?

? 4 ? (? ) 0 ? 8 3 5

(2) (3x

?

1 1 3 8 y 4 z 4 ) ?4

? (16x ?2 y 3 ) 2 ? (27x 8 y 8 z 3 )

1 1

3

5

?

4 3

(4) (

25 1 64 1 ) 2 ? 0.1?2 ? ( ) 3 ? (3? )0 9 27

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专题二 比较大小

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?3? 3 ? 3? 2 ?4? 2 [例 1]已知 a ? ? ? , b ? ? ? , c ? ? ? ,则 a,b,c 三个数的大小关系是( ?5? ?5? ?3?
A. c ? a ? b
a

?

1

?

1

?

1



B. c ? b ? a
a

C. a ? b ? c

D. b ? a ? c

[例 2]比较 0.7 与 0.8 的大小.

[例 3]比较 a

2 x 2 ?1

与a

x2 ? 2

( a ? 0 ,且 a ? 1 )的大小.

巩固练习: 1.已知 a>b,ab ? 0 下列不等式(1)a2>b2,(2)2a>2b,(3) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

1 1 1 1 ? ,(4)a 3 >b 3 ,(5)( )a<( )b 中恒成立的有( a b 3 3

1

1



2.若 a ?3 ? a10 ,则 a 的取值范围为_________.

1 3.设 y1 ? 40.5 , y2 ? 80.48 , y3 ? ( ) ?1.5 ,则( 2
A. y3 ? y1 ? y2 C. y1 ? y2 ? y3 4.比较 1.4 0.1 与 0.9 0.3 的大小. B. y2 ? y1 ? y3 D. y1 ? y3 ? y2



5. 2 、 3 、 6 这三个数的大小关系为( A. 6 6 ? 33 ? 2 2
1 1
1

1 2

1 3

1 6


1

B. 6 6 ? 2 2 ? 3 3

1

1

C. 2 2 ? 33 ? 6 6

1

1

1

D. 33 ? 2 2 ? 6 6

1

1

1

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专题三 指数式的化简求值
[例 1]已知 a ? ?3 3, 求

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a ?3b ?2 (?3a 2b ?1 ) 的值。 9a ?2b ?3

[例 2]已知 x ? y ? 12, xy ? 27 ,且 x ? y 。 求

x2 ? y2 x ?y
1 2 1 2

1

1

的值。

1

[例 3]已知 a 2 ? a

?

1 2

? 3 ,求下列各式的值。
3

(1) a ? a ?1

(2) a 2 ? a ?2

(3)

a2 ? a
1

? ?

3 2 1 2

a2 ? a

巩固练习: 1.已知 a
2x

? 2 ? 1 ,求

a 3 x ? a ?3 x 的值。 a x ? a? x

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1 x2 1 2
3 x2

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2.已知

?x

?

? 3 ,求

? x ?3 的值. x 2 ? x ?2 ? 2

?

3 2

3.已知 ax3 ? by3 ? cz 3 ,且

1 1 1 ? ? ? 1 ,求证: (ax2 ? by 2 ? cz 2 ) 3 ? a 3 ? b 3 ? c 3 . x y z

1

1

1

1

专题四 指数函数
类型一 指数函数的定义 1.下列函数中指数函数的个数是( )

① y ? 2 ? 3x ;② y ? 3 x ?1 ;③ y ? 3 x ;④ y ? x 3 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 .

2. y ? (a2 ? 3a ? 3)a x 是指数函数,则 a 的值为

类型二 指数函数过定点问题 1.指数函数 y ? a x (a ? 0且a ? 1) 恒过点______. 2.指数函数 f ( x ) 的图象过点 (2,9) ,则 f (?2) ? ______. 3.函数 f ( x) ? 2
x ?5

? 6 恒过定点

.

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类型三 指数函数的单调性 [例 1]讨论函数 f ( x) ? 22?3x 的单调性,并求其值域。

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1 2 [例 2]讨论函数 f ( x) ? ( ) x ?2 x 的单调性,并求其值域。 3

[例 3]讨论函数 y ? ( ) ? ( )
x

1 4

1 2

x ?1

? 2 的单调性。

[例 4]若函数 y ? a2 x ? 2a x ?1(a ? 0 且 a ? 1) 在 x ?[?1?1] 上的最大值为 14,求 a 的值.

巩固练习: 1.求下列函数的单调性: (1) y ?
2x ?1 2x ?1

(2) y ? 2

? x 2 ?4 x

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(3) y ? 9 x ? 2 ? 3x ? 1

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1 (4) y ? ( ) 3

3? x

2.已知 ?1 ? x ? 2 ,求函数 f ( x) ? 3 ? 2 ? 3x?1 ? 9 x 的最大值和最小值。

3.已知 x ?[?3,2] ,求 f ( x) ?

1 1 ? x ? 1 的最小值与最大值。 x 4 2

类型四 利用单调性解不等式 [例 1]不等式 6 x
2

? x?2

<1 的解集是

.
2 x2 ?3 x ? 2

[例 2]设 0 ? a ? 1 ,解关于 x 的不等式 a

? a2 x

2

? 2 x ?3

.

巩固练习: 1.已知 2 x
2

?x

1 1 ? ( ) x?2 ,求函数 y ? ( ) x 的值域. 2 4

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2.设有两个函数 y1 ? a 2 x
2

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?3 x ?1

与 y2 ? a x

2

? 2 x ?5

,要使 y1 ? y2 ,求 a 、 x 的取值范围.

类型五 利用指数函数解方程 1.解方程 4 x ? 2 x ? 2 ? 12 ? 0 .

2.若 (0.25)5? x ? 4 ,则 x 的值是_____. 3.满足 3x
2

?1

?

1 的 x 的值的集合是__________. 9

类型六 指数型函数的奇偶性 [例 1]已知 a ? 0 且 a ? 1 , f ( x) ?

1 1 ? ,则 f ( x) 是( x 2 1? a



A.奇函数 C.非奇非偶函数

B.偶函数 D.奇偶性与 a 有关

x [例 2]已知函数 y ? f ( x) 是奇函数,则当 x ? 0 时, f ( x) ? 3 ? 1 ,求当 x ? 0 时 y ? f ( x) 的解析式。

巩固练习: 1.若函数 f ( x) ?

1 ? a 是奇函数,求 a 的值. 2 ?1
x

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2.已知 y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ? 2 x ,求函数的解析式并画出其图像。

2 ( x ? R) , 2 ?1 (1)试证明:对于任意 a , f ( x) 在 R 上位增函数
3.设 a 是实数 f ( x) ? a ?
x

(2)试确定 a 的值,使 f ( x) 为奇函数。

类型七 指数函数综合题型 1.设 f ( x ) ?
4x , 4x ? 2

求:(1) f (a) ? f (1 ? a) 的值;

1 2 3 1000 (2) f ( )? f( )? f( ) ?贩 ? ?f ( ) 的值. 1001 1001 1001 1001

2.已知函数 f ( x) ?

ax ?1 (a ? 1) , ax ?1

(1)判断 f ( x) 奇偶性, (2)求函数 f ( x) 的值域, (3)证明 f ( x) 是区间 (??,??) 上的增函数.

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3.已知函数 f ( x) ? (

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1 1 3 ? ) x .? 2 ?1 2
x

(1)求 f ( x) 的定义域;(2)讨论 f ( x) 的奇偶性;

4.已知 f ( x) ?

10 x ? 10? x , 10 x ? 10? x

求:(1)判断函数奇偶性;(2)判断 f(x)的单调性。?

5.某合资企业 1994 年的产值达 2 万美元,1999 年的产值达 64 万美元,求平均每年增长的百分率是多少?

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第 12 页 共 12 页

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第二部分 对数函数

一、对数的概念 一般地,如果 a?a ? 0, a ? 1? 的 b 次幂等于 N,就是 a b ? N ,那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作
loga N ? b ,a 叫做对数的底数,N 叫做真数
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二、对数的运算性质 1. loga (MN ) ? loga M ? loga N ; 2. loga

M ? loga M ? loga N ; N

3. loga M n ? n loga M (n ? R) ; 4.换底公式: log a N ? 5.两个常用的推论: (1) loga b ? logb a ? 1 ;(2) log am b ?
n

log m N ( a > 0 , a ? 1 ; m ? 0, m ? 1 ). log m a
n log a b ( a 、 b ? 0 且均不为 1). m

6.常用的结论: (1) loga 1 ? 0 ,(2) loga a ? 1 . (3)对数恒等式:如果把 a b ? N 中的 b 写成 loga N , 则有 a 三、常用对数 1.我们通常将以 10 为底的对数叫做常用对数 为了简便,N 的常用对数 log10 N 简记作 lgN 例如:log10 5 简记作
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loga N

?N.

王新敞
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lg5 ; log10 3.5 简记作 lg3.5. 2.自然对数:在科学技术中常常使用以无理数 e=2.71828……为底的对数,以 e 为底的对数叫自然对数,为了 简便,N 的自然对数 loge N 简记作 lnN 四、对数函数 1.对数函数的定义:函数 y ? loga x (a ? 0且a ? 1) 叫做对数函数,定义域为 (0,??) . 2.对数函数的图像
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第 13 页 共 13 页

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通过列表、描点、连线作 y ? log2 x 与 y ? log1 x 的图象:
2
3 3 2.5 2.5 2 2 1.5

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1
-1

1.5 1

0.5

1
1

1

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8 -1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1 -1 -1.5 -1.5 -2 -2 -2.5 -2.5

总结:根据图像可知 y ? log2 x 与 y ? log1 x 的图象是关于 x 轴对称。
2

3.在同一坐标系中画出下列对数函数的图象。 (1) y ? log2 x (2) y ? log 1 x
2

(3) y ? log3 x (4) y ? log1 x
3

3.对数函数的性质 由对数函数的图象,观察得出对数函数的性质. a>1
3 3 2.5 2.5

0<a<1

2

2

1.5

1.5

图 象

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域:(0,+∞) 值域:R 性 质 过点(1,0),即当 x=1 时,y=0
x ? (0,1) 时, y ? 0 x ? (1,?? ) 时, y ? 0 x ? (0,1) 时, y ? 0 x ? (1,?? ) 时, y ? 0

在(0,+∞)上是增函数

在(0,+∞)上是减函数

专题一 对数与指数的换算 1.对数式与指数式的转化: (1) 54 ? 625 (2) log 2 8 ? 3

1 (3) ( ) ?2 ? 16 4

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专题二 对数的运算性质 1.求下列各式的值: (1)log26-log23 (2)lg5+lg2

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1 (3)log53+log53

(4)log35-log315

2.(1)求 log8 9 ? log27 32 的值.

(2)求证: logx y ? logy z ? logx z .

巩固练习: (1)计算 log5 4 ? log8 5 .

(2)已知 log5 3 ? a, log5 4 ? b ,求: log25 12 (用 a,b 表示).

3.计算(1) 2 log 2 8 ? _____;(2) 2 log 2 5 ? _____;(3) 2log0.5 8 ? _____. 巩固练习: (1) 5
1?log0.2 3



(2) log4 3 ? log9 2 ? log2 4 32 .

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4.化简 (1)log4 25 ? _____; (2)log1 25 ? _____; (3)
5

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lg 243 =_____; (4)loga a ? _____ ( a ? 0且a ? 1 ) ; lg 9

(5) loga 1 ? _____.

专题三 对数函数的综合运算 [例 1]计算: (1)lg14-2lg

7 +lg7-lg18 3

(2)

lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 lg1.2

巩固练习: lg 27+lg8-lg 1 000 (1) ; lg1.2 (2)(lg5)2+lg2· lg50.

[例 2]计算:(1) 5

1?log0.2 3



(2) log4 3 ? log9 2 ? log2 4 32 .

巩固练习: 求值: (1) 2 log5 25 ? 3 log2 64 ? 8 log10 1 ; (2)lg25+lg2· lg50+(lg2)2 .

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[例 3]已知 log2 3 ? a , log3 7 ? b ,用 a, b 表示 log42 56 .

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[例 4]若 log8 3 ? p , log3 5 ? q ,求 lg 5 .

[例 5]计算: (log4 3 ? log8 3)(log3 2 ? log9 2) ? log1 4 32 .
2

[例 6]若 log3 4 ? log4 8 ? log8 m ? log4 2 ,求 m .

[例 7]已知 lga 和 lgb 是关于 x 的方程 x2-x+m=0 的两个根,而关于 x 的方程 x2-(lga)x-(1+lga)=0 有两 个相等的实数根,求实数 a,b 和 m 的值.

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[例 8]计算: 2(lg 2 ) 2 ? lg 2 ? 5 ? (lg 2 ) 2 ? lg 2 ? 1 .

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[例 9]设 3x ? 4 y ? 6 z ? t ? 1 ,求证:

1 1 1 ? ? . z x 2y

巩固练习: x 1.已知 2x=3y,则y=( lg2 A.lg3 lg3 B.lg2 ) 2 C.lg3 3 D.lg2

2.若 lg2=a,lg3=b,则 log512=_____.
1

3.求值:(1) (log4 3 ? log8 3)(log3 2 ? log9 2) ;(2) log8 9 ? log27 32 ;(3) 9 2

? log3 5

.

4.已知 log18 9 ? a , 18 ? 5 ,求 log36 45 (用 a, b 表示).
b

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1 1 5.已知 3a=5b=M,且a+b=2,求 M 的值.

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6.计算:(1) log2.5 6.25 ? lg

1 ? ln e ? 21?log2 3 100

(2) lg 25 ? lg 2 ? lg50 ? (lg 2) 2

a 7.若 lg a 、 lg b 是方程 2 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 的两个实根,求: lg(ab) ? (lg ) 2 的值. b

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