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湖南省新田县第一中学高中数学 第一章 1.2.4函数的最大值练习 新人教B版选修2-2


湖南省新田县第一中学高中数学 第一章 1.2.4 函数的最大值练习 新人教 B 版选修 2-2
班级___________
-x

姓名___________学号___________ ( ).

1.函数 y=xe ,x∈[0,4]的最大值是 A.0 1 B. e
3

4 C. 4 e<

br />
2 D. 2 e ).

2.函数 f(x)=x -3ax-a 在(0,1)内有最小值,则 a 的取值范围是( A.[0,1)
2

B.(0,1)

C.(-1,1)

? 1? D.?0, ? ? 2?
).

3. 设 f(x)=x(ax +bx+c)(a≠0)在 x=1 和 x=-1 处均有极值, 则下列点中一定在 x 轴上 的是 A.(a,b) B.(a,c)
3 2

( C.(b,c)

D.(a+b,c)

4.已知函数 f(x)=2x -6x +m(m 为常数)在[-2,2]上有最大值 3,那么此函数在[-2,2] 上的最小值为 A.-37 B.-29 C.-5 ( ). D.-11

? π? 5.函数 y=x+2cos x 在区间?0, ?上的最大值是________. 2? ? ? π π? 6.函数 f(x)=sin x+cos x 在 x∈?- , ?的最大、最小值分别是________. ? 2 2?
4x ,x∈[-2,2]的最大值是________,最小值是________. x2+1

7.函数 f(x)=

3 2 3 8.如果函数 f(x)=x - x +a 在[-1,1]上的最大值是 2,那么 f(x)在[-1,1]上的最小值 2 是________.

9.已知函数 f(x)=-x +3x +9x+a. (1)求 f(x)的单调递减区间; (2)若 f(x)在区间[-2,2]上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值.
1

3

2

10.已知函数 f(x)=x e

2 -ax

(a>0),求函数在[1,2]上的最大值.

1.函数 y=xe ,x∈[0,4]的最大值是 ( 1 4 A.0 B. C. 4 e e 2 D. 2 e ).

-x

2

解析 y′=e -x·e =e (1-x),令 y′=0,∴x=1, 4 1 -1 ∴f(0)=0,f(4)= 4,f(1)=e = ,∴f(1)为最大值,故选 B. e e 答案 B 2.函数 f(x)=x -3ax-a 在(0,1)内有最小值,则 a 的取值范围是 ( A.[0,1) C.(-1,1) B.(0,1) ).
3

-x

-x

-x

? 1? D.?0, ? ? 2? 2 2 解析 ∵f′(x)=3x -3a,令 f′(x)=0,可得 a=x ,
又∵x∈(0,1),∴0<a<1,故选 B. 答案 B

3. 设 f(x)=x(ax +bx+c)(a≠0)在 x=1 和 x=-1 处均有极值, 则下列点中一定在 x 轴上 的是 ( A.(a,b) B.(a,c) C.(b,c) D.(a+b,c) 解析 f′(x)=3ax +2bx+c, 由题意知-1,1 是方程 3ax +2bx+c=0 的两根, 由根与 2b 系数的关系知 1-1=- ,所以 b=0,故选 A. 3a 答案 A
2 2

2

).

? π? 4.函数 y=x+2cos x 在区间?0, ?上的最大值是________. 2? ?
π π π π 解析 y′=1-2sin x=0,x= ,比较 0, , 处的函数值,得 ymax= + 3. 6 6 2 6 答案 π + 3 6

? π π? 5.函数 f(x)=sin x+cos x 在 x∈?- , ?的最大、最小值分别是________. ? 2 2?
解析 f′(x)=cos x-sin x=0,即 tan x=1, π 4

x=kπ + ,(k∈Z),
π π ? π π? 而 x∈?- , ?,当- <x< 时,f′ (x)>0; 2 4 ? 2 2? 当 π π <x< 时,f′(x)<0, 4 2

?π ? ∴f? ?是极大值. ?4?
3

?π ? ? π? ?π ? 又 f? ?= 2,f?- ?=-1,f? ?=1, ?4? ? 2? ?2? ?π ? ? π? ∴函数最大值为 f? ?= 2,最小值为 f?- ?=-1. 4 ? ? ? 2?
答案 2,-1
5 4 3

6.求函数 f(x)=x +5x +5x +1 在区间[-1,4]上的最大值与最小值. 解

f′(x)=5x4+20x3+15x2=5x2(x+3)(x+1),

由 f′(x)=0 得 x=0 或 x=-1 或 x=-3(舍), 列表:

x f′(x) f(x)

-1 0 0

(-1,0) + ?

0 0 1

(0,4) +

4

?

2 625

又 f(0)=1,f(-1)=0,右端点处 f(4)=2 625, ∴函数 y=x +5x +5x +1 在区间[-1,4]上的最大值为 2 625,最小值为 0. 综合提高 ?限时25分钟? 7.函数 y= +x -3x-4 在[0,2]上的最小值是 3 ( 17 A.- 3 10 B.- 3
2 5 4 3

x3

2

).

64 C.-4 D.- 3
2

解析 y′=x +2x-3(x∈[0,2]),令 x +2x-3=0,知 x=-3 或 x=1 为极值点.当

x=1 时,ymin=- ,故选 A.
答案 A 8.已知函数 f(x)=2x -6x +m(m 为常数)在[-2,2]上有最大值 3,那么此函数在[-2,2] 上的最小值为 ( A.-37 B.-29 C.-5
2 3 2

17 3

).

D.-11

解析 ∵f′(x)=6x -12x=6x(x-2),由 f′(x)=0 得 x=0 或 2. ∵f(0)=m,f(2)=-8+m,f(-2)=-40+m,显然 f(0)>f(2)>f(-2),∴m=3,最小 值为 f(-2)=-37. 答案 A 9.函数 f(x)= 4x ,x∈[-2,2]的最大值是________,最小值是________. x2+1

4

4?x +1?-2x·4x -4x +4 解析 ∵y′= = 2 2 2 2, ?x +1? ?x +1? 令 y′=0 可得 x=1 或-1. 8 8 又∵f(1)=2,f(-1)=-2,f(2)= ,f(-2)=- , 5 5 ∴最大值为 2,最小值为-2. 答案 2 -2 3 2 3 10. 如果函数 f(x)=x - x +a 在[-1,1]上的最大值是 2, 那么 f(x)在[-1,1]上的最小值 2 是________. 解析 f′(x)=3x -3x, 令 f′(x)=0 得 x=0,或 x=1. 5 ∵f(0)=a,f(-1)=- +a, 2
2

2

2

f(1)=- +a,∴f(x)max=a=2.
5 1 ∴f(x)min=- +a=- . 2 2 1 答案 - 2 11.已知函数 f(x)=-x +3x +9x+a. (1)求 f(x)的单调递减区间; (2)若 f(x)在区间[-2,2]上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值. 解 (1)∵f′(x)=-3x +6x+9.
2 3 2

1 2

令 f′(x)<0,解得 x<-1 或 x>3, ∴函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞). (2)∵f(-2)=8+12-18+a=2+a,

f(2)=-8+12+18+a=22+a,
∴f(2)>f(-2). 于是有 22+a=20,∴a=-2. ∴f(x)=-x +3x +9x-2. ∵在(-1,3)上 f′(x)>0,∴f(x)在[-1,2]上单调递增. 又由于 f(x)在[-2,-1]上单调递减, ∴f(2)和 f(-1)分别是 f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值, ∴f(-1)=1+3-9-2=-7, 即 f(x)最小值为-7.
5
3 2

12.(创新拓展)已知函数 f(x)=x e 解 ∵f(x)=x e
2 -ax

2 -ax

(a>0),求函数在[1,2]上的最大值.

(a>0),
2 -ax

∴f′(x)=2xe

-ax

+x (-a)e
-ax 2

=e

-ax

(-ax +2x).

2

令 f′(x)>0,即 e 2 得 0<x< .

(-ax +2x)>0,

a

?2 ? ∴f(x)在(-∞,0),? ,+∞?上是减函数, ?a ? ? 2? 在?0, ?上是增函数. ?
a?
2 当 0< <1,即 a>2 时,f(x)在(1,2)上是减函数,

a

∴f(x)max=f(1)=e . 2 当 1≤ ≤2,即 1≤a≤2 时,

-a

a

f(x)在?1, ?上是增函数, ? a?

?

2?

?2 ? 在? ,2?上是减函数, ?a ? ?2? 4 -2 ∴f(x)max=f? ?= 2e . a ? ? a
2 当 >2,即 0<a<1 时,f(x)在(1,2)上是增函数,

a

∴f(x)max=f(2)=4e

-2a

.
- 2a

综上所述,当 0<a<1 时,f(x)的最大值为 4e 4 -2 当 1≤a≤2 时,f(x)的最大值为 2e ;



a

当 a>2 时,f(x)的最大值为 e .

-a

6


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