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2014年福建省高考理科数学试卷及答案


2014 年福建高考数学试题(理)
第I卷(选择题
项是符合题目要求的. 1.复数 z ? (3 ? 2i)i 的共轭复数 z 等于( )

共 50 分)

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一

A. ? 2 ? 3i

/>B. ? 2? i 3

C. 2? i 3

D. 2? i 3


2.某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是(

A. 圆柱

B. 圆锥

C. 四面体

D. 三棱柱
)

3.等差数列 {an } 的前 n 项和 Sn ,若 a1 ? 2, S3 ? 12 ,则 a6 ? (

A.8

B. 1 0

C. 1 2

D.14


4.若函数 y ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) 的图像如右图所示,则下列函数图象正确的是(

5.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的 S 得值等于(



A.18

B. 2 0

C. 2 1

D.40

6.直线 l : y ? kx ? 1 与圆 O : x2 ? y 2 ? 1 相交于 A, B 两点, 则 " k ? 1" 是 “ ?ABC 的面积为 的( )

1 ” 2

A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分又不必要条件

7.已知函数 f ?x ? ? ? A. f ?x ? 是偶函数

?x 2 ? 1, x ? 0 ?cos x, x?0

则下列结论正确的是(



B. f ?x ? 是增函数

C. f ?x ? 是周期函数 D. f ?x ? 的值域为 ?? 1,??? )

8.在下列向量组中,可以把向量 a ? ?3,2? 表示出来的是( A. e1 ? (0,0), e2 ? (1,2) C. e1 ? (3,5), e2 ? (6,10)
2

B . e1 ? (?1,2), e2 ? (5,?2) D. e1 ? (2,?3), e2 ? (?2,3)

9.设 P, Q 分别为 x 2 ? ? y ? 6? ? 2 和椭圆 ( A. 5 2 ) B. 46 ? 2 C. 7 ? 2

x2 ? y 2 ? 1 上的点,则 P, Q 两点间的最大距离是 10

D. 6 2

10.用 a 代表红球,b 代表蓝球,c 代表黑球,由加法原理及乘法原理,从 1 个红球和 1 个篮 球中取出若干个球的所有取法可由 ?1 ? a ??1 ? b? 的展开式 1 ? a ? b ? ab 表示出来,如: “1” 表示一个球都不取、 “ a ”表示取出一个红球,而“ ab ”则表示把红球和篮球都取出来。. 依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从 5 个无区别的红球、5 个无区别的蓝球 5 个

有区别的黑球中取出若干个球,且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是 A. 1 ? a ? a 2 ? a3 ? a 4 ? a5 1 ? b5 ?1 ? c? B. 1 ? a5 1 ? b ? b2 ? b3 ? b4 ? b5 ?1 ? c?
5

?

??

?

5

?

?? ?

?

5

C. ?1 ? a? 1 ? b ? b2 ? b3 ? b4 ? b5 1 ? c5 D. 1 ? a5 ?1 ? b? 1 ? c ? c 2 ? c3 ? c 4 ? c5
5

?

??

?

?

?

?
共 100 分)

第 II 卷(非选择题

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。把答案填在答题卡的相应位置。

?x ? y ? 1 ? 0 ? 11、若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 8 ? 0 则 z ? 3x ? y 的最小值为________ ?x ? 0 ?
12、在 ?ABC 中, A ? 60?, AC ? 4, BC ? 2 3 ,则 ?ABC 的面积等于_________ 13、要制作一个容器为 4 m ,高为 1m 的无盖长方形容器,已知该容器的底面造价是每平方 米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是_______(单位:元) 14.如图,在边长为 e ( e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则他落到阴影部
3

分的概率为______. 15.若集合 {a, b, c, d } ? {1,2,3,4}, 且下列四个关系: ① a ? 1 ;② b ? 1 ;③ c ? 2 ;④ d ? 4 有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组

(a, b, c, d ) 的个数是_________.
三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 13 分)

已知函数

1 f ( x) ? cos x(sin x ? cos x) ? . 2 ?

(1)若 0 ? ? (2)求函数

?
2

,且 sin ?

?

2 ,求 f (? ) 的值; 2

f ( x) 的最小正周期及单调递增区间.

17.(本小题满分 12 分) 在平行四边形 ABCD 中, AB ? BD ? CD ? 1 , AB ? BD, CD ? BD .将 ? ABD 沿

BD 折起,使得平面 ABD ? 平面 BCD ,如图.
(1)求证:AB ? CD; (2)若 M 为 AD 中点,求直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值.

18.(本小题满分 13 分) 为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1000 位顾客进行奖励,规定:每位顾客 从 一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球, 球上所标的面值之和为该顾 客所获的奖励额. (1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元,其余 3 个均为 10 元,求 ①顾客所获的奖励额为 60 元的概率 ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望; (2)商场对奖励总额的预算是 60000 元,并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的两种球组成, 或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励 总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的 4 个球

的面值给出一个合适的设计,并说明理由.

19.(本小题满分 13 分) 已知双曲线 E :

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线分别为 l1 : y ? 2 x, l2 : y ? ?2 x . a 2 b2

(1)求双曲线 E 的离心率; (2)如图, O 为坐标原点,动直线 l 分别交直线 l1 , l2 于 A, B 两点( A, B 分别在第一, 四象限) ,且 ?OAB 的面积恒为 8,试探究:是否存在总与直线 l 有且只有一个公 共点的双曲线 E ?若存在,求出双曲线 E 的方程;若不存在,说明理由。

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ?x ? ? e ? ax( a 为常数) 的图像与 y 轴交于点 A , 曲线 y ? f ?x ? 在点 A 处
x

的切线斜率为-1. (I)求 a 的值及函数 f ?x ? 的极值; (II)证明:当 x ? 0 时, x ? e ;
2 x

(III)证明:对任意给定的正数 c ,总存在 x0 ,使得当 x ? ?x0, ? ?? ,恒有 x ? ce .
2 x

21. 本题设有(1) , (2) , (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分. 如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题 号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换 已知矩阵 A 的逆矩阵 A ? ? ?1 ?
?1

? 2 1? ?. 2? ?

(I)求矩阵 A ; (II)求矩阵 A 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量. (2) (本小题满分 7 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知直线 l 的参数方程为 ?
?1

? x ? a ? 2t , ( t 为参数) ,圆 C 的参数方程为 ? y ? ?4t

? x ? 4 cos? , ( ? 为参数). ? ? y ? 4 sin ?
(I)求直线 l 和圆 C 的普通方程; (II)若直线 l 与圆 C 有公共点,求实数 a 的取值范围. (3) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 已知定义在 R 上的函数 f ?x? ? x ?1 ? x ? 2 的最小值为 a . (I)求 a 的值;

q, r 为正实数,且 p ? q ? r ? a ,求证: p 2 ? q 2 ? r 2 ? 3 . (II)若 p ,

2014 年福建高考数学试题(理)答案
一.选择题:本大题考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,共 50 分.

1-10

CACBBADBDA

二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算,每小题 4 分,共 20 分。 11. 1 12. 2 3 13. 160 14.

2 e2

15. 6

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16、本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和与差的三角函数及三角 函数的 图象与性质等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想。满分 13 分. 解法一:(1)因为 0 ? ? ?

?
2

, sin ? ?

2 2 , 所以 cos ? ? . 2 2

所以 f (? ) ? (2)因为

2 2 2 1 1 ( ? )? ? 2 2 2 2 2

f ( x) ? sin x cos x ? cos 2 x ?
,所以 T ?

1 1 1 ? cos 2 x 1 1 1 2 ? ? sin 2 x ? ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 2 2 2 2 2 2 2 4

k? ?

3? ? 3? ? ? x ? k? ? , k ? Z .所以 f ( x) 的单调递增区间为 [k? ? , k? ? ], k ? Z . 8 8 8 8

2? ? ? ? ? ? .由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z , 得 2 2 4 2

解法二:

f ( x) ? sin x cos x ? cos2 x ?

1 1 1 ? cos 2 x 1 1 1 2 ? ? sin 2 x ? ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 2 2 2 2 2 2 2 4

(1)因为 0 ? ? ?

?
2

, sin ? ?

? 2 , 所以 ? ? 4 2

从而 f (? ) ? (2) T ? 由 2 k? ?

2 ? 2 3? 1 sin(2? ? ) ? sin ? 2 4 2 4 2

?

2? ?? 2 ? 2x ?

?

4 2 3? ? , k? ? ], k ? Z . 调递增区间为 [ k? ? 8 8

2

? 2 k? ?

?

, k ? Z , 得 k? ?

3? ? ? x ? k? ? , k ? Z .所以 f ( x) 的单 8 8

17. 本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考 查空间想 象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思 想、函数与方程思想。满分 13 分。 解 : (1) 因 为 ABD ? 平 面 B C D, 平 面 ABD

? 平面 BCD

B ,D ? AB 平面

ABD, AB ? BD, 所以 AB ? 平面 BCD. 又 CD ? 平面 BCD, 所以 AB ? CD .

(2)过点 B 在平面 BCD 内作 BE ? BD ,如图. 由(1)知 AB ? 平面 BCD, BE ? 平面 BCD, BD ? 平面 BCD, 所以 AB ? BE, AB ? BD . 以 B 为坐标原点,分别以 BE, BD, BA 的方向为 x 轴, y 轴, z 轴的正方向建立空间直角坐 标系. 依题意,得 B(0, 0, 0), C (1,1, 0), D(0,1, 0), A(0, 0,1), M (0, , ) . 则 BC ? (1,1, 0), BM ? (0, , ), AD ? (0,1, ?1) . 设平面 MBC 的法向量 n ? ( x0 , y0 , z0 ) .

1 1 2 2

1 1 2 2

? x ? y0 ? 0 ? ?n ? BC ? 0 ? 0 则? 即 ?1 . y ? z ? 0 n ? BM ? 0 ? 0 0 ? ? ?2
取 z0 ? 1, 得平面 MBC 的一个法向量 n ? (1, ?1,1) . 设直线 AD 与平面 MBC 所成角为 ? , 则 sin ? ? cos ? n, AD ? ?

n ? AD n AD

?

6 , 3
6 . 3

即直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值为

18.本小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识,考 查数据处理能力、运算求解能力、应用意识,考查必然与或然思想、分类与整合思想。 满分 13 分。 解:(1)设顾客所获的奖励为 X. ①依题意,得 P( X ? 60) ?
1 1 C1 C3 1 ? . 2 C4 2

即顾客所获得的奖励额为 60 元的概率为 ②依题意,得 X 的所有可能取值为 20,60.

1 . 2

C2 1 1 P( X ? 60) ? , P( X ? 20) ? 32 ? . 2 C4 2
即 X 的分布列为 X P 20 0.5 60 0.5

所以顾客所获得的奖励额的期望为 E ( X ) ? 20 ? 0.5 ? 60 ? 0.5 ? 40 (元). (2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励为 60 元.所以先寻找期望为 60 元的可能方案.对 于面值由 10 元和 50 元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为 60 元是面值之和的 最大值,所以期望不可能为 60 元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为 60 元是面值之和的最 小值,所以数学期望也不可能为 60 元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案 1. 对于面值由 20 元和 40 元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案, 所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案 2. 以下是对两个方案的分析: 对于方案 1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励为 X 1 ,则 X 1 的分布列为

X1
P

20

60

100

1 6

2 3

1 6

1 2 1 X1 的期望为 E ( X 1 ) ? 20 ? ? 60 ? ? 100 ? ? 60 , 6 3 6 1 2 1 1600 . X1 的方差为 D( X 1 ) ? (20 ? 60) 2 ? ? (60 ? 60) 2 ? ? (100 ? 60) 2 ? ? 6 3 6 3
对于方案 2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励为 X 2 ,则 X 2 的分布列为

X2
P

40

60

80

1 6

2 3

1 6

1 2 1 X 2 的期望为 E ( X 2 ) ? 40 ? ? 60 ? ? 80 ? ? 60 , 6 3 6 1 2 1 400 . X 2 的方差为 D( X 2 ) ? (40 ? 60) 2 ? ? (60 ? 60) 2 ? ? (80 ? 60) 2 ? ? 6 3 6 3

由于两种方案的奖励额都符合要求,但方案 2 奖励的方差比方案 1 的小,所以应该选择方案 2. 19. 本小题主要考查双曲线的 方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查 抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力,考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类 与整合思想、函数与方程思想。满分 13 分。 解法一:(1)因为双曲线 E 的渐近线分别为和 y ? 2 x, y ? ?2 x .

所以

b c2 ? a2 ? 2,? ? 2,? c ? 5a , a a

从而双曲线 E 的离心率 e ? 5 .

(2)由(1)知,双曲线 E 的方程为 设直线 l 与 x 轴相交于点 C.

x2 y 2 ? ? 1. a 2 4a 2

当 l ? x 轴时,若直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点, 则 OC ? a, AB ? 4a , 又因为 ?OAB 的面积为 8, 所以

1 1 OC AB ? 8,? a ? 4a ? 8,? a ? 2 . 2 2

此时双曲线 E 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 16

x2 y 2 ? ?1. 若存在满足条件的双曲线 E,则 E 的方程只能为 4 16
以下证明:当直线 l 不与 x 轴垂直时,双曲线 E:

x2 y 2 ? ? 1 也满足条件. 4 16

设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,依题意,得 k>2 或 k<-2. 则 C (? 由?

m , 0) ,记 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) . k

? y ? 2x 2m 2m 1 ,得 y1 ? ,同理得 y2 ? .由 S ?OAB ? OC y1 ? y2 得, 2?k 2?k 2 ? y ? kx ? m

1 m 2m 2m ? ? ? ? 8 即 m2 ? 4 4 ? k 2 ? 4(k 2 ? 4) . 2 k 2?k 2?k

? y ? kx ? m ? 2 2 2 2 由 ? x2 y2 得, (4 ? k ) x ? 2kmx ? m ?16 ? 0 .因为 4 ? k ? 0 , ?1 ? ? ? 4 16
所以 ? ? 4k m ? 4(4 ? k )(m ? 16) ? ?16(4k ? m ?16) ,
2 2 2 2 2 2 2 2 又因为 m ? 4(k ? 4) .所以 ? ? 0 ,即 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点.

因此,存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 16

20.本小题主要考查导数的运算及导数的应用、全称量词等基础知识的考查运用,考查抽象 概括能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、有限与无限思想、化归与转化思想、 分类与整合思想、函数与方程思想等。 满分 14 分。
x x 解法一: (I)由 f ( x) ? e ? ax ,得 f '( x) ? e ?a .又 f '(0) ? 1 ? a ? ?1 ,得 a ? 2 .所 x x 以 f ( x) ? e ? 2x, f '( x) ? e ? 2 . 令 f '( x) ? 0 , 得 x ? ln 2 . 当 x ? ln 2 时 ,

f '( x) ? 0, f ( x) 单调递减 ; 当 x ? ln 2 时 , f '( x) ? 0, f ( x) 单调递增 . 所以当 x ? ln 2 时 ,

f ( x) 取得极小值,且极小值为 f (ln 2) ? eln 2 ? 2ln 2 ? 2 ? ln 4, f ( x) 无极大值.
(II) 令 g ( x) ? e x ? x 2 ,则 g '( x) ? e x ? 2 x .由 (I) 得 g( ' x) ?f ( x) ?f ( l n2 ) 0?
2 x 在 R 上单调递增,又 g (0) ? 1 ? 0 ,因此,当 x ? 0 时, g ( x) ? g (0) ? 0 ,即 x ? e .

,故 g ( x)

x x 2 x (III)①若 c ? 1 ,则 e ? ce .又由(II)知,当 x ? 0 时, x ? e .所以当 x ? 0 时,

x 2 ? ce x .取 x0 ? 0 ,当 x ? ( x0 , ??) 时,恒有 x 2 ? cx 2 .
②若 0 ? c ? 1 ,令 k ?

1 ? 1 ,要使不等式 x 2 ? ce x 成立,只要 e x ? kx 2 成立.而要使 e x ? kx 2 c

成立,则只要 x ? ln(kx2 ) ,只要 x ? 2 ln x ? ln k 成立.令 h( x) ? x ? 2ln x ? ln k ,则

h '( x) ? 1 ?

2 x?2 ? .所以当 x ? 2 时, h '( x) ? 0, h( x) 在 (2, ??) 内单调递增.取 x x

x0 ? 16k ? 16 ,所以 h( x) 在 ( x0 , ??) 内单调递增.又 h( x0 ) ? 16k ? 2ln(16k ) ? ln k ? 8(k ? ln 2) ? 3(k ? ln k ) ? 5k .易知
k ? ln k , k ? ln 2,5k ? 0 .所以 h( x0 ) ? 0 .即存在 x0 ? x 2 ? ce x .
综上,对任意给定的正数 c,总存在 x0 ,当 x ? ( x0 , ??) 时,恒有 x ? ce .
2 x

16 ,当 x ? ( x0 , ??) 时,恒有 c

解法二: (I)同解法一 (II)同解法一 (III)对任意给定的正数 c,取 xo ?

4 c
x x x

x 由(II)知,当 x>0 时, e ? x ,所以 e ? e 2 , e 2 ? ( ) ( )
2

2

x 2

x 2

2

当 x ? xo 时, e ? ( ) ( ) ?
x 2 2

x 2

x 2

4 x 2 1 2 ( ) ? x c 2 c
2 x

因此,对任意给定的正数 c,总存在 x0 ,当 x ? ( x0 , ??) 时,恒有 x ? ce . 21.(1)选修 4—2:矩阵与变换 本小题主要考查逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量等基础知识,考查运算求解能力,考 查化归与转化思想。满分 7 分。

(I)因为矩阵 A 是矩阵 A

?1

?1 的 逆 矩 阵 , 且 A ? 2 ? 2 ? 1? 1 ? 3 ? 0 , 所 以

3? ?2 ? ? ? 1 ? 2 ?1? 3 A? ? ?. ??? 3 ? ?1 2 ? ? 1 2 ? ? ?? ? 3 3 ?
(II)矩阵 A 的特征多项式为 f (? ) ?
?1

? ? 2 ?1 ? ? 2 ? 4? ? 3 ? (? ? 1)(? ? 3) ,令 ?1 ? ? 2

?1 ? f (? ) ? 0 ,得矩阵 A ?1 的特征值为 ?1 ? 1或 ?2 ? 3 ,所以 ?1 ? ? ? 是矩阵 A ?1 的属于特征值 ? ?1?

?1 ? 1的一个特征向量. ?2 ? ? ? 是矩阵 A ?1 的属于特征值 ?2 ? 3 的一个特征向量. ? 1?
(2)选修 4-4:坐标系与参数方程 本小题主要考查直线与圆的 参数方程等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转 化思想。满分 7 分。 (I)直线 l 的普通方程为 2 x ? y ? 2a ? 0 .圆 C 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 16 . (II)因为直线 l 与圆有公共点,故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d ?

? 1?

?2a 5

? 4 ,解得

?2 5 ? a ? 2 5 .
(3)选修 4-5:不等式选讲 本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归 与转化思想。满分 7 分。 (I)因为 x ?1 ? x ? 2 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 3 ,当且仅当 ?1 ? x ? 2 时,等号成立, 所以 f ( x ) 的最小值等于 3,即 a ? 3 . (II)由(I)知 p ? q ? r ? 3 ,又因为 p, q, r 是正数, 所以 ( p ? q ? r )(1 ? 1 ? 1 ) ? ( p ?1 ? q ?1 ? r ?1) ? ( p ? q ? r ) ? 9 ,
2 2 2 2 2 2 2 2

即 p ? q ? r ? 3.
2 2 2


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