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四川省绵阳南山实验高中2015届高考数学一诊试卷(文科)(Word版含解析)


四川省绵阳市南山实验高中 2015 届高考数学一诊试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知全集 U=R,集合 A={x|y=ln(3x﹣1)},B={y|y=sin(x+2)},则(?UA)∩B= () A.( ,+∞) B.(0, ] C. D.?

r />
2. (5 分)若角 α 的终边在直线 y=﹣2x 上,且 sinα>0,则 cosα 和 tana 的值分别为() A. ,﹣2 B. ﹣ ,﹣ C. ﹣ ,﹣2 D.﹣ ,﹣2

3. (5 分)设 , 为向量,则| ? |=| || |是“ ∥ ”的() A.充分不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4. (5 分)已知等差数列{an},且 a4+a10=12﹣a7,则数列{an}的前 13 项之和为() A.24 B.39 C.52 D.104

5. (5 分)已知 O 是坐标原点,点 A(﹣1,1) ,若点 M(x,y)为平面区域

,上

的一个动点,则 A.

?

的取值范围是() B. C. D.

6. (5 分)在△ ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=1,点 P 在 AM 上且满足 等于() A. B. C. D.

,则

7. (5 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|<π)的图象与直线 y=b(0<b <A)的三个相邻交点的横坐标分别是 2、4、8,则 f(x)的单调递增区间为() A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z)

版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com

8. (5 分)已知函数 y=f(x)是定义在实数集 R 上的奇函数,且当 x∈(﹣∞,0)时,xf′ (x) <f (﹣x) 成立 (其中 f′ (x) 是f (x) 的导函数) , 若 a= f(log2 ) ,则 a,b,c 的大小关系是 () A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.a>c>b
3

f (

) , b=f (1) , c= (log2 )

9. (5 分)设定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(1﹣x)=f(x+1) ,且当 x∈时,f(x)=x , 若方程 f(x)﹣cos A.(﹣∞,﹣2) x﹣a=0(a<0)无解,则实数 a 的取值范围是() B.(﹣∞,﹣2] C.(﹣∞,﹣1] D.(﹣∞,﹣1)

10. (5 分)已知正方形 ABCD 的边长为 1,P、Q 分别为边 AB,DA 上的点,若∠PCQ=45°, 则△ APQ 面积的最大值是() A.2﹣ B.3﹣2 C. D.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. (5 分)化简求值: ( ) +lg ﹣1g25=.

12. (5 分)已知函数 f(x)的图象是两条线段(如图,不含端点) ,则 f(f( ) )=.

13. (5 分)已知 sinα﹣cosα= ,0≤α≤π,则 sin(

+2α)=.

14. (5 分)已知实数 a<0,b<0,且 ab=1,那么

的最大值为.

15. (5 分)设 x∈R,用表示不超过 x 的最大整数,称函数 f(x)=为高斯函数,也叫取整函 数.现有下列四个命题: ①高斯函数为定义域为 R 的奇函数; ②“”≥“”是“x≥y”的必要不充分条件; ③设 g(x)=( ) ,则函数 f(x)=的值域为{0,1}; ④方程=的解集是{x|1≤x<5}.
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|x|

其中真命题的序号是. (写出所有真命题的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知函数 f(x)=2cos x+2
2

sinxcosx+a,且当

时,f(x)的最

小值为 2. (1)求 a 的值,并求 f(x)的单调增区间; (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的 ,再把所得 图象向右平移 根之和. 17. (12 分)已知函数 f(x)=x +bx 为偶函数,数列{an}满足 an+1=f(an﹣1)+1,且 a1=3, an>1. (Ⅰ)设 bn=log2(an﹣1) ,证明:数列{bn+1}为等比数列; (Ⅱ)设 cn=n(2bn﹣1) ,求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 18. (12 分)如图,在半径为 ,圆心角为 60°的扇形的弧上任取一点 P,作扇形的内接矩 形 PNMQ,使点 Q 在 OA 上,点 N,M 在 OB 上,设矩形 PNMQ 的面积为 y,∠POB=θ. (Ⅰ)将 y 表示成 θ 的函数关系式,并写出定义域; (Ⅱ)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 y 取最大值时 A=θ+ a= ,cosB= ,D 为 AC 中点,求 BD 的值. ,且
2

个单位,得到函数 y=g(x) ,求方程 g(x)=2 在区间

上的所有

19. (12 分)已知函数 f(x)=( ) ,x∈,函数 g(x)=f (x)﹣2af(x)+3 的最小值为 h(a) . (1)求 h(a)的解析式; (2)是否存在实数 m,n 同时满足下列两个条件:①m>n>3;②当 h(a)的定义域为时, 值域为?若存在,求出 m,n 的值;若不存在,请说明理由. 20. (13 分)已知函数 f(x)=ax +bx +cx+a (a>0)的单调递减区间是(1,2) ,且满足 f (0)=1. (1)求 f(x)的解析式;
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3 2 2

x

2

(2) 对任意 m∈ (0, 2], 关于 x 的不等式 f (x) < m ﹣mlnm﹣mt+3 在 x∈<e (其中 n∈N , e 是自然对数的底) .
x

3

*

四川省绵阳市南山实验高中 2015 届高考数学一诊试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知全集 U=R,集合 A={x|y=ln(3x﹣1)},B={y|y=sin(x+2)},则(?UA)∩B= () A.( ,+∞) B.(0, ] C. D.?

考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 求出 A 中 x 的范围确定出 A,求出 B 中 y 的范围确定出 B,根据全集 U=R 求出 A 的补集,找出 A 补集与 B 的交集即可. 解答: 解:由 A 中 y=ln(3x﹣1) , 得到 3x﹣1>0,即 x> , ∴A=( ,+∞) , ∵全集 U=R, ∴?UA=(﹣∞, ], 由 B 中 y=sin(x+2) ,得到﹣1≤y≤1, ∴B=, 则(?UA)∩B=. 故选:C. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 2. (5 分)若角 α 的终边在直线 y=﹣2x 上,且 sinα>0,则 cosα 和 tana 的值分别为() A. ,﹣2 B. ﹣ ,﹣ C. ﹣ ,﹣2 D.﹣ ,﹣2

考点: 同角三角函数间的基本关系. 专题: 三角函数的求值.

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分析: 由角 α 的终边在直线 y=﹣2x 上,且 sinα>0,得到 α 为第二象限角,利用同角三 角函数间的基本关系求出 cosα 和 tana 的值即可. 解答: 解:∵角 α 的终边在直线 y=﹣2x 上,且 sinα>0, ∴α 为第二象限角, 则 tanα=﹣2,cosα=﹣ =﹣ .

故选:D. 点评: 此题考查了同角三角函数间的基本关系,熟练掌握基本关系是解本题的关键.

3. (5 分)设 , 为向量,则| ? |=| || |是“ ∥ ”的() A.充分不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;向量的模;平行向量与共线向量. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量的数量积公式得到 与 解答: 解:∵ ? = 若 a,b 为零向量,显然成立; 若 而 因此 ?cosθ=±1 则 与 的夹角为零角或平角,即 ,则 与 的夹角为为零角或平角,有 是 的充分必要条件. . ,故充分性成立. ? = ,根据此公式再看

之间能否互相推出,利用充要条件的有关定义得到结论. ,

故选 C. 点评: 本题考查平行向量与共线向量,以及充要条件,属基础题. 4. (5 分)已知等差数列{an},且 a4+a10=12﹣a7,则数列{an}的前 13 项之和为() A.24 B.39 C.52 D.104 考点: 等差数列的性质;等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 直接利用等差数列的性质结合已知求得 a7=3,然后由 S13=13a7 得答案. 解答: 解:在等差数列{an}中,由 a4+a10=12﹣a7,得 3a7=12,a7=4. ∴S13=13a7=13×4=52. 故选:C. 点评: 本题考查了等差数列的性质,考查了等差数列的和,是基础题.

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5. (5 分)已知 O 是坐标原点,点 A(﹣1,1) ,若点 M(x,y)为平面区域

,上

的一个动点,则 A.

?

的取值范围是() B. C. D.

考点: 简单线性规划的应用;平面向量数量积的运算. 专题: 数形结合. 分析: 先画出满足约束条件 的平面区域,求出平面区域的角点后,逐一代入

?

分析比较后,即可得到

?

的取值范围.

解答: 解:满足约束条件

的平面区域如下图所示:

将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式 当 x=1,y=1 时, 当 x=1,y=2 时, 当 x=0,y=2 时, 故 ? ? ? ? =﹣1×1+1×1=0 =﹣1×1+1×2=1 =﹣1×0+1×2=2

和取值范围为

解法二: z= ? =﹣x+y,即 y=x+z

当经过 P 点(0,2)时在 y 轴上的截距最大,从而 z 最大,为 2. 当经过 S 点(1,1)时在 y 轴上的截距最小,从而 z 最小,为 0.
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?

和取值范围为

故选:C 点评: 本题考查的知识点是线性规划的简单应用, 其中画出满足条件的平面区域, 并将三 个角点的坐标分别代入平面向量数量积公式,进而判断出结果是解答本题的关键.

6. (5 分)在△ ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=1,点 P 在 AM 上且满足 等于() A. B. C. D.

,则

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 根据向量加法的几何意义,得出 =2 ,从而所以 = .

解答: 解:如图 因为 M 是 BC 的中点,根据向量加法的几何意义, 又 所以 , = = . =2 ,

故选:A. 点评: 本题考查向量加法的几何意义,向量数量积的计算,属于基础题. 7. (5 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|<π)的图象与直线 y=b(0<b <A)的三个相邻交点的横坐标分别是 2、4、8,则 f(x)的单调递增区间为() A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 考点: 正弦函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由题意可得, 第一个交点与第三个交点的差是一个周期; 第一个交点与第二个交点 的中点的横坐标对应的函数值是最大值.从这两个方面考虑可求得参数 ω、φ 的值,进而利 用三角函数的单调性求区间. 解答: 解:与直线 y=b(0<b<A)的三个相邻交点的 横坐标分别是 2,4,8 知函数的周期为 T= =2( ﹣ ) ,得 ω= ,

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再由五点法作图可得 ∴函数 f(x)=Asin( 令 2kπ﹣ ≤ x﹣

? x﹣ ≤2kπ+

+φ= ) .

,求得 φ=﹣



,k∈z,

求得 x∈(k∈Z) , 故选:B.

点评: 本题主要考查正弦函数的图象性质, 充分体现了转化、 数形结合思想, 属于基础题. 8. (5 分)已知函数 y=f(x)是定义在实数集 R 上的奇函数,且当 x∈(﹣∞,0)时,xf′ (x) <f (﹣x) 成立 (其中 f′ (x) 是f (x) 的导函数) , 若 a= f(log2 ) ,则 a,b,c 的大小关系是 () A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.a>c>b f ( ) , b=f (1) , c= (log2 )

考点: 函数的单调性与导数的关系;函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用;导数的概念及应用. 分析: 根据条件构造函数,利用函数的奇偶性和单调性之间的关系,即可得到结论. 解答: 解:∵函数 y=f(x)是定义在实数集 R 上的奇函数, ∴当 x∈(﹣∞,0)时,xf′(x)<f(﹣x)等价为 xf′(x)+f(x)<0, 构造函数 g(x)=xf(x) , 则 g′(x)=xf′(x)+f(x)<0, ∴当 x∈(﹣∞,0)时,函数 g(x)单调递减, 且函数 g(x)是偶函数, ∴当 x∈(0,+∞)时,函数 g(x)单调递增, 则 a= f( )=g( ) ,b=f(1)=g(1) ,c=(log2 )f(log2 )=g(log2 )=g(﹣2)

=g(2) , ∵1 <2, ∴g(1)<g( 即 b<a<c, )<g(2) ,

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故选:A. 点评: 本题主要考查函数值的大小比较, 根据函数的奇偶性构造函数, 利用导数研究函数 的单调性是解决本题的关键. 9. (5 分)设定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(1﹣x)=f(x+1) ,且当 x∈时,f(x)=x , 若方程 f(x)﹣cos A.(﹣∞,﹣2) x﹣a=0(a<0)无解,则实数 a 的取值范围是() B.(﹣∞,﹣2] C.(﹣∞,﹣1] D.(﹣∞,﹣1)
3

考点: 抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的奇偶性和单调性之间的关系, 推出函数的周期性, 求出函数的最值即可 得到结论. 解答: 解:由 f(x)﹣cos 设 g(x)=f(x)﹣cos x, x﹣a=0 得 f(x)﹣cos x=a,

∵定义在 R 上的偶函数 f(x) , ∴g(x)也是偶函数, 3 当 x∈时,f(x)=x , ∴g(x)=x ﹣cos
3

x,则此时函数 g(x)单调递增,则 g(0)≤g(x)≤g(1) ,

即﹣1≤g(x)≤1, ∵偶函数 f(x)满足 f(1﹣x)=f(x+1) , ∴f(1﹣x)=f(x+1)=f(x﹣1) , 即 f(x)满足 f(x+2)=f(x) , 即函数的周期是 2, 则函数 g(x)在 R 上的值域为, 若方程 f(x)﹣cos x﹣a=0(a<0)无解,即 g(x)=f(x)﹣cos x=a 无解,

则 a<﹣1, 故选:D 点评: 本题主要考查抽象函数的应用, 根据条件判断函数的单调性和周期性, 以及求出函 数的值域是解决本题的关键. 10. (5 分)已知正方形 ABCD 的边长为 1,P、Q 分别为边 AB,DA 上的点,若∠PCQ=45°, 则△ APQ 面积的最大值是() A.2﹣ B.3﹣2 C. D.

考点: 三角形的面积公式. 专题: 直线与圆;立体几何.

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分析: 如图所示,C(1,1) .设 P(a,0) ,Q(0,b) ,0<a,b<1.可得 kPC= kPQ=1﹣b.利用到角公式、一元二次不等式的解法、三角形的面积计算公式即可得出. 解答: 解:如图所示,C(1,1) . 设 P(a,0) ,Q(0,b) ,0<a,b<1. 则 kPC= ,kPQ=1﹣b.



∵∠PCQ=45°,

∴tan45°=

=

=1,

化为 2+ab=2a+2b, ∴2+ab , 化为 解得 ∴ (舍去) ,或 . , , ,当且仅当 a=b=2﹣ 时取等号.

∴△APQ 面积= ab≤3﹣2 其最大值是 3 故选:B. .

点评: 本题考查了“到角公式”、一元二次不等式的解法、三角形的面积计算公式、斜率计 算公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. (5 分)化简求值: ( ) +lg ﹣1g25=0.

考点: 有理数指数幂的化简求值;有理数指数幂的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据指数幂的运算法则进行化简即可

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解答: 解:原式=: (



+lg

=

+lg

=2﹣2=0.

故答案为:0 点评: 本题主要考查指数幂和对数的基本运算,比较基础.

12. (5 分)已知函数 f(x)的图象是两条线段(如图,不含端点) ,则 f(f( ) )= .

考点: 函数奇偶性的性质;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由图象可得函数 f(x)= .即可得出.

解答: 解:由图象可得函数 f(x)=





=

, = .

=



∴f(f( ) )= 故答案为: .

点评: 本题考查了直线的方程、分段函数的性质,考查了数形结合的思想方法,属于基础 题.

13. (5 分)已知 sinα﹣cosα= ,0≤α≤π,则 sin(

+2α)=



考点: 二倍角的余弦;运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 把所给的条件两边平方,写出正弦和余弦的积,判断出角在第一象限,求出两角和 的结果,解方程组求出正弦和余弦值,进而用二倍角公式得到结果. 解答: 解:∵sinα﹣cosα= ,①0≤x≤π ∴1﹣2sinαcosα= ∴2sinαcosα= , ,

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∴α∈(0,

) ,

∴1+2sinαcosα=

∴sinα+cosα= ,② 由①②得 sinα= ,cosα= , ∴sin( +2α)=cos2α=2cos α﹣1= .
2

=﹣



故答案为:﹣

点评: 本题考查三角函数同角的三角函数关系, 二倍角公式的应用, 解题的关键是分析角 的范围,关键正弦值和余弦值的积,判断范围.

14. (5 分)已知实数 a<0,b<0,且 ab=1,那么

的最大值为﹣1.

考点: 基本不等式. 专题: 常规题型. 分析: 将 整理得到 ,利用基本不等式即可求得 的最大值.

解答: 解:由于 ab=1,则 又由 a<0,b<0,则 , 故 ,当且仅当﹣a=﹣b 即 a=b=﹣1 时,取“=”

故答案为﹣1. 点评: 本题考查基本不等式的应用,牢记不等式使用的三原则为“一正,二定,三相等”. 15. (5 分)设 x∈R,用表示不超过 x 的最大整数,称函数 f(x)=为高斯函数,也叫取整函 数.现有下列四个命题: ①高斯函数为定义域为 R 的奇函数; ②“”≥“”是“x≥y”的必要不充分条件; ③设 g(x)=( ) ,则函数 f(x)=的值域为{0,1}; ④方程=的解集是{x|1≤x<5}. 其中真命题的序号是②③④. (写出所有真命题的序号) 考点: 命题的真假判断与应用.
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|x|

专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: ①,举例说明,高斯函数 f(x)=中,f(﹣1.1)≠﹣f(1.1) ,可判断①错误; ②,利用充分必要条件的概念,举例如≥,但 4.1<4.5,说明“”≥“”是“x≥y”的必要不充分条 件; ③,作出 g(x)=( ) 的图象,利用高斯函数 f(x)=可判断函数 f(x)=的值域为{0, 1}; ④,方程=?+1=,通过对 0≤ <1,1≤ <2,2≤ <3 三种情况的讨论与相应的
|x|

的取值范围的讨论可得原方程的解集是{x|1≤x<5},从而可判断④正确. 解答: 解:对于①,f(﹣1.1)==﹣2,f(1.1)==1,显然 f(﹣1.1)≠﹣f(1.1) ,故定 义域为 R 的高斯函数不是奇函数,①错误; 对于②,“”≥“”不能?“x≥y”,如≥,但 4.1<4.5,即充分性不成立; 反之,“x≥y”?“”≥“”,即必要性成立,所以“”≥“”是“x≥y”的必要不充分条件,故②正确; 对于③,设 g(x)=( ) ,作出其图象如下:
|x|

由图可知,函数 f(x)=的值域为{0,1},故③正确; 对于④,===﹣1, 即+1=,显然, (1)当 0≤ > ,即 x>﹣1;

<1,即﹣1≤x<3 时,=0,+1=1; <2,即 1≤x<3,与﹣1≤x<3 联立得:1≤x<3;

要使+1=,必须 1≤ (2)当 1≤

<2,即 3≤x<7 时,=1,+1=2; <3,即 3≤x<5,与 3≤x<7 联立得:3≤x<5;

要使+1=,必须 2≤ (3)当 2≤

<3,即 7≤x<11 时,=2,+1=3; <4,即 5≤x<7,与 7≤x<11 联立得:x∈?;

要使+1=,必须 3≤

综上所述,方程=的解集是{x|1≤x<5},故④正确.
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故答案为:②③④. 点评: 本题考查高斯函数的性质,综合考查函数的奇偶性、指数函数的图象与性质、充分 必要条件的概念、方程思想与分类讨论思想的综合应用,属于难题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知函数 f(x)=2cos x+2
2

sinxcosx+a,且当

时,f(x)的最

小值为 2. (1)求 a 的值,并求 f(x)的单调增区间; (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的 ,再把所得 图象向右平移 根之和. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;复合三角函数的 单调性. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: (1)利用三角函数中的恒等变换应用,可求得 f(x)=2sin(2x+ )+a+1,x∈时 个单位,得到函数 y=g(x) ,求方程 g(x)=2 在区间 上的所有

f(x)的最小值为 2,可求得 a,利用正弦函数的单调性可求 f(x)的单调增区间; (2)利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,可求得 g(x)=2sin(4x﹣ g(x)=2 得 sin(4x﹣ )= ,x∈,可求得 x=
2

)+1,依题意,



,从而可得答案.

解答: 解: (1)f(x)=2cos x+2 =cos2x+1+ sin2x+a =2sin(2x+ ∵x∈, ∴2x+ ∈, )+a+1,

sinxcosx+a

∴f(x)min=a+2=2,故 a=0, ∴f(x)=2sin(2x+ 由 2kπ﹣ 解得:kπ﹣ ≤2x+ )+1, (k∈Z) ,

≤2kπ+

≤x≤kπ+

(k∈Z) ,

故 f(x)的单调增区间是(k∈Z) , (2)g(x)=2sin+1=2sin(4x﹣ 由 g(x)=2 得 sin(4x﹣ )+1,

)= ,

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则 4x﹣ 解得 x= ∵x∈, ∴x= 或

=2kπ+ + 或

或 2kπ+ +

(k∈Z) ,

, (k∈Z) ;

,故方程所有根之和为

+

=



点评: 本题考查:三角函数中的恒等变换应用,考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换, 突出考查正弦函数的单调性,考查综合运算能力,属于难题. 17. (12 分)已知函数 f(x)=x +bx 为偶函数,数列{an}满足 an+1=f(an﹣1)+1,且 a1=3, an>1. (Ⅰ)设 bn=log2(an﹣1) ,证明:数列{bn+1}为等比数列; (Ⅱ)设 cn=n(2bn﹣1) ,求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 考点: 数列的求和;等比关系的确定. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用函数 f(x)=x +bx 为偶函数,可得 b,根据数列{an}满足 an+1=2f(an﹣1) +1,可得 bn+1+1=2(bn+1) ,即可证明数列{bn+1}为等比数列; n (2)由 cn=n(2bn﹣1)=2n?2 ﹣3n,利用错位相减可求数列的和. 2 解答: (Ⅰ)证明:∵函数 f(x)=x +bx 为偶函数, ∴f(﹣x)=f(x) ,∴b=0 ∵an+1=2f(an﹣1)+1, 2 ∴an+1﹣1=2(an﹣1) , ∵bn=log2(an﹣1) , ∴bn+1=1+2bn, ∴bn+1+1=2(bn+1) ∴数列{bn+1}是以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列 n (Ⅱ)解:由(Ⅰ)得,bn+1=2 , n ∴bn=2 ﹣1, n ∴cn=n(2bn﹣1)=2n?2 ﹣3n, ∴Sn=2×(1?2+2?2 +…+n?2 )﹣
2 n 2 n 2 2



∴令 T=1?2+2?2 +…+n?2 , 2 3 n n+1 2Tn=1?2 +2?2 +…+(n﹣1)?2 +n?2 2 3 n n+1 n+1 两式相减可得,﹣Tn=2+2 +2 +…+2 ﹣n?2 =(1﹣n)?2 ﹣2 n+1 ∴Tn=(n﹣1)?2 +2, ∴Sn=(n﹣1)?2
n+2

+4﹣



点评: 本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解数列的通项公式, 错位相减 求数列的和的应用是求解的关键. 18. (12 分)如图,在半径为 ,圆心角为 60°的扇形的弧上任取一点 P,作扇形的内接矩 形 PNMQ,使点 Q 在 OA 上,点 N,M 在 OB 上,设矩形 PNMQ 的面积为 y,∠POB=θ.
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(Ⅰ)将 y 表示成 θ 的函数关系式,并写出定义域; (Ⅱ)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 y 取最大值时 A=θ+ a= ,cosB= ,D 为 AC 中点,求 BD 的值. ,且

考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 三角函数的图像与性质;解三角形. 分析: (Ⅰ)在 Rt△ PON 中,PN=OPsinθ= =sinθ.可得 MN=0N﹣0M= y=PN?NM= 可得出. (Ⅱ)当 = 时,y 取得最大值,θ= .由正弦定理可得:

,ON=

cosθ.在 Rt△ OQM 中,

.可得矩形 PNMQ 的面积 ,再利用倍角公式、两角和差的正弦公式即

.可得 A=

.由 cosB=

,可得

.利用两角和差的正弦公式可得 sinC=sin .在△ ABD 中,由余弦定理可

(A+B)=sinAcosB+cosAsinB.由正弦定理可得: 得:BD =AB +AD ﹣2AB?ADcosA. 解答: 解: (Ⅰ)在 Rt△ PON 中,PN=OPsinθ= 在 Rt△ OQM 中, = =sinθ. .
2 2 2

,ON=

cosθ.

∴MN=0N﹣0M= ∴矩形 PNMQ 的面积 y=PN?NM=

=3sinθcosθ﹣

= = ﹣ , .

(Ⅱ)当 ∴A= =

= .

时,y 取得最大值,θ=



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∵cosB=

,∴ ,

=



由正弦定理可得:



=

=2.

sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= 由正弦定理可得: ,

+

=





=

=


2 2 2

在△ ABD 中,由余弦定理可得:BD =AB +AD ﹣2AB?ADcosA = +1 ﹣2×
2

×

=13.

∴BD= . D 为 AC 中点,求 BD 的值.

点评: 本题综合考查了直角三角形的边角关系、 倍角公式、 两角和差的正弦公式及其单调 性、正弦定理余弦定理,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 19. (12 分)已知函数 f(x)=( ) ,x∈,函数 g(x)=f (x)﹣2af(x)+3 的最小值为 h(a) . (1)求 h(a)的解析式; (2)是否存在实数 m,n 同时满足下列两个条件:①m>n>3;②当 h(a)的定义域为时, 值域为?若存在,求出 m,n 的值;若不存在,请说明理由. 考点: 函数单调性的性质;函数最值的应用.
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x 2

分析: (1)g(x)为关于 f(x)的二次函数,可用换元法,转化为二次函数在特定区间 上的最值问题,定区间动轴; (2)由(1)可知 a≥3 时,h(a)为一次函数且为减函数,求值域,找关系即可. 解答: 解: (1)由 已知 令 设 f(x)=t,则 g(x)=y=t ﹣2at+3,则 g(x)的对称轴为 t=a,故有: ①当 时,g(x)的最小值 h(a)=
2

, ,

②当 a≥3 时,g(x)的最小值 h(a)=12﹣6a ③当 时,g(x)的最小值 h(a)=3﹣a
2

综上所述,

(2)当 a≥3 时,h(a)=﹣6a+12,故 m>n>3 时,h(a)在上为减函数, 所以 h(a)在上的值域为. 由题意,则
2

?
2



两式相减得 6n﹣6m=n ﹣m , 又 m≠n,所以 m+n=6,这与 m>n>3 矛盾, 故不存在满足题中条件的 m,n 的值. 点评: 本题主要考查一次二次函数的值域问题, 二次函数在特定区间上的值域问题一般结 合图象和单调性处理,“定轴动区间”、“定区间动轴”. 20. (13 分)已知函数 f(x)=ax +bx +cx+a (a>0)的单调递减区间是(1,2) ,且满足 f (0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)对任意 m∈(0,2],关于 x 的不等式 f(x)< m ﹣mlnm﹣mt+3 在 x∈,不等式 f(x) < m ﹣mlnm﹣mt+3 在 x∈恒成立,再分离参数转化求函数最值问题即可. 解答: 解: (1)由已知得,f′(x)=3ax +2bx+c, 3 2 2 ∵函数 f(x)=ax +bx +cx+a 的单调递减区间是(1,2) , ∴由 f′(x)<0,得 1<x<2, 2 ∴f′(x)=3ax +2bx+c=0 的两个根分别是 1 和 2,且 a>0, 2 从 f(0)=a =1 且 a>0 可得 a=1,
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2 3 3 3 2 2


3 2

,解得



∴f(x)=x ﹣ x +6x+1.
2

(2)由(1)得,f′(x)=3x ﹣9x+6=3(x﹣1) (x﹣2) , 当 x∈恒成立, 也即 mt< m ﹣mlnm 对任意 m∈(0,2]恒成立,即 t< m ﹣lnm 对任意 m∈(0,2]恒成立, 设 h(m)= m ﹣lnm,m∈(0,2],则 t<h(m)min,
2 3 2

h′(m)=m﹣ =

=

,令 h′(m)=0,得 m=1 或 m=﹣1(舍) ,

当 m∈(0,2]时,h′(m)与 h(m)的变化情况如下表: m (0,1) 1 (1,2) 2 h′(m) ﹣ 0 + h(m) ↘ 极小值 ↗ 2﹣ln2

∴m=1 时,h(m)min=h(m)极小值= , 所以 t< ,即实数 t 的取值范围为 t< . 点评: 本题主要考查利用导数研究函数的单调性、 函数的最值求解、 不等式恒成立等问题, 考查运算求解能力,考查方程思想、化归与转化思想,综合性强,难度大. 21. (14 分)已知函数 f(x)=lnx﹣a(x﹣1) ,g(x)=e . (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)过原点分别作函数 f(x)与 g(x)的切线,且两切线的斜率互为倒数,证明:a=0 或 1<a<2; (Ⅲ)求证: (1+ ) (1+ ) (1+ )…<e(其中 n∈N ,e 是自然对数的底) .
* x x

考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程;数列的求和. 专题: 计算题;证明题;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求函数的导数即可求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)根据导数的几何意义,求出切线的斜率,建立条件关系即可得到结论; (Ⅲ)利用 ln(x+1)≤x 在} =ln(1+ )+ln(1+ )+ln(1+ )+…+ln



+

+…+

=2(

+

+…+



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=2( 则有(1+

)<1, ) (1+ ) (1+ )…<e.

点评: 本题主要考查函数的单调区间的求解, 以及导数的几何意义, 考查导数的基本运算, 考查不等式的证明要借助所给函数构造不等式,利用它进行放缩证明,本题难度比较大,是 一道综合题.

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