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广西梧州、崇左两市联考2015届高三上学期摸底数学试卷(理科)


广西梧州、 崇左两市联考 2015 届高三上学期摸底数学试卷 (理科)
一、选择项:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 M={x|(x+1) (x﹣3)<0,x∈R},N={﹣1,0,1,2,3},则 M∩N 等 于() A.{0,1,2} B.{﹣1,0,1} C.{﹣1,0,2} D.{1,2,3} 2. (5 分)已知复数 z 满足(1+i)z=2i,则 z=() A.1﹣i B.1+i C.﹣1﹣i E. ﹣1+i

D.﹣1﹣i

3. (5 分)设向量 , 满足| + |= A. B.

,| |=1,| |=2,则 ? 等于() C. D.

4. (5 分)已知双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的离心率为

,则 C 的渐近线方程为()

A.y=±2x

B.y=± x
2

C.y=± x
2

D.y=± x

5. (5 分)已知(1+ax) (1﹣x) 的展开式中 x 的系数为 5,则 a 等于() A.1 B . ﹣1 C. 2 D.﹣2 6. (5 分)执行如图所示的程序框图,输出的 k 值为()

A.3

B. 4

C. 5

D.6

7. (5 分)若某物体的三视图如图所示,则该物体的体积是()

A.10+6π

B.10+20π

C.14+5π

D.14+20π

8. (5 分)已知不等式组

,则目标函数 z=2y﹣x 的最大值是()

A.1

B . ﹣1

C . ﹣5

D.4

9. (5 分)设函数 f(x)=

sin2x+ cos2x,若将函数 f(x)的图象向右平移

个单位,所得

图象对应函数为 g(x) ,则() A.f(x)的图象关于直线 x= B. f(x)的图象关于点( 对称,g(x)图象关于原点对称 对称

,0)对称,g(x)图象关于直线 x=

C. f(x)的图象关于直线 x= D.f(x)的图象关于点(

对称,g(x)图象关于原点对称 ,0)对称,g(x)图象关于直线 x=
3 2

对称

10. (5 分)已知函数 f(x)=x +ax ﹣9x+1,下列结论中错误的是() A.?x0∈R,f(x0)=0 B. “a=3”是“﹣3 为 f(x)的极大值点”的充分不必要条件 C. 若 x0 是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(x0,+∞)单调递增 D.若 3 是 f(x)的极值点,则 f(x)的单调递减区间是(﹣1,3)
2

11. (5 分)已知以 F 为焦点的抛物线 y =4x 上的两点 A、B 满足 准线的距离为() A. B. C. 2

=3

,则弦 AB 的中点到

D.1

12. (5 分)若存在 x 使不等式



成立,则实数 m 的取值范围为()

A.

B.

C.(﹣∞,0)

D.(0,+∞)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13. (5 分)若曲线 y=aln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a=. 14. (5 分)设△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=1,b= 则 sinB=. 15. (5 分)若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是单调增函数.如果 实数 t 满足 时,那么 t 的取值范围是.
2 2

,cosC=﹣



16. (5 分)将 a,b 都是整数的点(a,b)称为整点,若在圆 x +y ﹣6x+5=0 内的整点中任取 一点 M,则点 M 到直线 2x+y﹣12=0 的距离大于 的概率为.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (10 分)设数列{an}是公比为正数的等比数列,a1=2,a3﹣a2=12. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列{an+bn}的前 n 项和 Sn.

18. (12 分)如图,DA⊥平面 ABC,DA∥PC,∠ACB=90°,AC=AD=BC=1,PC=2,E 为 PB 的中点. (Ⅰ)求证:DE∥平面 ABC; (Ⅱ)求二面角 E﹣CD﹣B 的余弦值.

19. (12 分)甲、乙两人玩投篮游戏,规则如下:两人轮流投篮,每人至多投 2 次,甲先投, 若有人投中即停止投篮,结束游戏,已知甲每次投中的概率为 ,乙每次投中的概率为 求: (Ⅰ)乙投篮次数不超过 1 次的概率. (Ⅱ)记甲、乙两人投篮次数和为 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望.

20. (12 分)如图,已知椭圆 在椭圆上(e 为椭圆的离心率) . (1)求椭圆的方程; (2)若点 B,C(C 在第一象限)都在椭圆上,满足

的右顶点为 A(2,0) ,点 P(2e, )

,且

,求实数 λ 的值.

21. (14 分)已知函数 f(x)=e ﹣ln(2x) . (Ⅰ)设 x=1 是函数 f(x)的极值点,求 m 的值并讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)当 m≤2 时,证明:f(x)>﹣ln2.

x﹣m

四、请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记 分,作答时标出所选题目的题号.选修 4-1:几何证明选讲. 22. (10 分)如图,已知 AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的切线,C 为切点,连接 AC,过点 A 作 AD⊥CD 于点 D,交⊙O 于点 E. (Ⅰ)证明:∠AOC=2∠ACD;

(Ⅱ)证明:AB?CD=AC?CE.

五、 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知圆 C 的圆心的极坐标为( , ) ,半径 r= ,点 P 的极坐标为(2,π) ,过 P 作直线 l 交圆 C

于 A,B 两点. (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)求|PA|?|PB|的值.

六、 【选修 4-5:不等式选讲】 24.已知函数 f(x)=|x﹣4|﹣t,t∈R,且关于 x 的不等式 f(x+2)≤2 的解集为[﹣1,5]. (1)求 t 值; (2)a,b,c 均为正实数,且 a+b+c=t,求证: + + ≥1.

广西梧州、崇左两市联考 2015 届高三上学期摸底数学试 卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择项:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 M={x|(x+1) (x﹣3)<0,x∈R},N={﹣1,0,1,2,3},则 M∩N 等 于() A.{0,1,2} B.{﹣1,0,1} C.{﹣1,0,2} D.{1,2,3} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求解一元二次不等式化简集合 M,然后直接利用交集运算求解.

解答: 解:∵M={x|(x+1) (x﹣3)<0,x∈R}={x|﹣1<x<3}, N={﹣1,0,1,2,3}, 则 M∩N={x|﹣1<x<3}∩{﹣1,0,1,2,3}={0,1,2}. 故选:A. 点评: 本题考查了交集及其运算,考查了一元二次不等式的解法,是基础题. 2. (5 分)已知复数 z 满足(1+i)z=2i,则 z=() A.1﹣i B.1+i C.﹣1﹣i E. ﹣1+i

D.﹣1﹣i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 利用复数的运算性质即可得出. 解答: 解:∵复数 z 满足(1+i)z=2i,∴(1﹣i) (1+i)z=(1﹣i)×2i,化为 2z=2(i+1) , ∴z=1+i. 故选 B. 点评: 熟练掌握复数的运算性质是解题的关键.

3. (5 分)设向量 , 满足| + |= A. B.

,| |=1,| |=2,则 ? 等于() C. D.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由条件把| + |= 平方,可得 ? 的值. , | |=1, | |=2, ∴ + +2 =6, 即 1+4+2 =6,

解答: 解: ∴向量 , 满足| + |= 求得 = ,

故选:D. 点评: 本题主要考查两个向量的数量积公式,求向量的模的方法,属于基础题.

4. (5 分)已知双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的离心率为

,则 C 的渐近线方程为()

A.y=±2x

B.y=± x

C.y=± x

D.y=± x

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 2015 届高考数学专题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据离心率公式 e= ,求出 a,b 的关系,继而得到渐近线方程.

解答: 解:因为双曲线的离心率公式 e= =

=



∴ =±2,

∵双曲线的渐近线方程为:



=0.

∴y=± ∴y=±2x. 故选:A. 点评: 本题考查双曲线的简单性质,求得 是关键,考查分析、运算能力,属于中档题.

5. (5 分)已知(1+ax) (1﹣x) 的展开式中 x 的系数为 5,则 a 等于() A.1 B . ﹣1 C. 2 D.﹣2 考点: 二项式定理的应用. 专题: 计算题;二项式定理. 分析: 由题意可得展开式中 x 的系数为前一项中常数项与后一项 x 的二次项乘积加上第一 项 x 的系数与第二项 x 的系数乘积之和等于 5,由此解得 a 的值. 解答: 解:已知(1+ax) (1﹣x) =(1+ax) (1﹣2x+x ) 2 展开式中 x 的系数为 1﹣2a=5,解得 a=﹣2, 故选 D. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系 数,注意运用分类法,属于中档题. 6. (5 分)执行如图所示的程序框图,输出的 k 值为()
2 2 2

2

2

A.3

B. 4

C. 5

D.6

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 由已知中的程序框图,可得该程序的功能是利用循环计算并输出满足条件的 k 值, 模拟程序的运行过程,可得答案. 解答: 解:进行循环前,k=1,s=0 第一次执行循环体后,s=1,满足继续循环的条件,k=2 第二次执行循环体后,s=7,满足继续循环的条件,k=3 第三次执行循环体后,s=34,满足继续循环的条件,k=4 第四次执行循环体后,s=142,不满足继续循环的条件,故输出 k 值为 4 故选:B 点评: 本题考查的知识点是程序框图,在写程序的运行结果时,我们常使用模拟循环的办 法,但程序的循环体中变量比较多时,要用表格法对数据进行管理. 7. (5 分)若某物体的三视图如图所示,则该物体的体积是()

A.10+6π

B.10+20π

C.14+5π

D.14+20π

考点: 由三视图求面积、体积.

专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 几何体是长方体与圆柱的组合体,根据三视图判断中长方体的长、宽、高和圆柱的 高及底面半径,把数据代入长方体与圆柱的体积公式计算. 解答: 解:由三视图知:几何体是长方体与圆柱的组合体, 其中长方体的长、宽、高分别为 4、0.5、7, 圆柱的高为 5,底面直径为 2, ∴几何体的体积 V=4×0.5×7+π×1 ×5=14+5π. 故选:C. 点评: 本题考查了由三视图求几何体的体积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应 的几何量是关键.
2

8. (5 分)已知不等式组

,则目标函数 z=2y﹣x 的最大值是()

A.1 考点: 专题: 分析: 解答:

B . ﹣1

C . ﹣5

D.4

简单线性规划. 不等式的解法及应用. 作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求 z 的最大值. 解:作出不等式对应的平面区域, , 经过点 B 时,

由 z=2y﹣x,得 y= 平移直线 y= 直线 y=

,由图象可知当直线 y= 的截距最大,此时 z 最大.





解得

,即 B(3,2) ,

此时 z 的最大值为 z=2×2﹣3=4﹣3=1, 故选:A.

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.

9. (5 分)设函数 f(x)=

sin2x+ cos2x,若将函数 f(x)的图象向右平移

个单位,所得

图象对应函数为 g(x) ,则() A.f(x)的图象关于直线 x= B. f(x)的图象关于点( 对称,g(x)图象关于原点对称 对称

,0)对称,g(x)图象关于直线 x= 对称,g(x)图象关于原点对称 ,0)对称,g(x)图象关于直线 x=

C. f(x)的图象关于直线 x= D.f(x)的图象关于点(

对称

考点: 两角和与差的正弦函数;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由三角函数公式和图象变换可得 f(x)=sin(2x+ 的对称性可得. 解答: 解:化简可得 f(x)= ∴g(x)=sin[2(x﹣ 由 2x+ =kπ+ )+ sin2x+ cos2x=sin(2x+ ) , ) ,g(x)=sin2x,研究三角函数

]=sin2x, , (k∈Z) ,当 k=0 时,可得 f(x)的图象关于直线 x= 对

可得 x=

称; 由于 g(x)为奇函数,故图象关于原点对称. 故选:C 点评: 本题考查三角函数的图象和性质,涉及两角和与差的三角函数公式,属基础题. 10. (5 分)已知函数 f(x)=x +ax ﹣9x+1,下列结论中错误的是() A.?x0∈R,f(x0)=0 B. “a=3”是“﹣3 为 f(x)的极大值点”的充分不必要条件 C. 若 x0 是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(x0,+∞)单调递增 D.若 3 是 f(x)的极值点,则 f(x)的单调递减区间是(﹣1,3) 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 函数的性质及应用;简易逻辑. 2 分析: f′(x)=3x +2ax﹣9,由△ >0,可得 f′(x)=0 有两个不相等的实数根,设 x1,x2 是两个实数根,且 x1<x2. 则函数 f(x)在(﹣∞,x1) , (x2,+∞)单调递增;在(x1,x2)上单调递减.即可判断出 A, C 是否正确. 对于 D:若 3 是 f(x)的极值点,可得 f′(3)=0,a=﹣3,则 f′(x)=3(x+1) (x﹣3) ,即可 判断出.
3 2

对于 B.a=3 时,f′(x)=3(x﹣1) (x+3)?﹣3 为 f(x)的极大值点. 解答: 解:f′(x)=3x +2ax﹣9,∵△=4a +108>0,∴f′(x)=0 有两个不相等的实数根, 设 x1,x2 是两个实数根,且 x1<x2. 则函数 f(x)在(﹣∞,x1) , (x2,+∞)单调递增;在(x1,x2)上单调递减. 可得 A,C 正确. 对于 D:若 3 是 f(x)的极值点,f′(3)=0,解得 a=﹣3,则 f′(x)=3(x+1) (x﹣3) , 可得 f(x)的单调递减区间是(﹣1,3) ,正确. 对于 B.a=3 时,f′(x)=3(x﹣1) (x+3) ,可得﹣3 为 f(x)的极大值点, 因此“a=3”是“﹣3 为 f(x)的极大值点”的充要条件. 综上可得:只有 B 是错误的. 故选:B. 点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、充要条件的判定,考查了推理能力与 计算能力,属于难题.
2 2 2

11. (5 分)已知以 F 为焦点的抛物线 y =4x 上的两点 A、B 满足 准线的距离为() A. B. C. 2

=3

,则弦 AB 的中点到

D.1

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设 BF=m,由抛物线的定义知 AA1 和 BB1,进而可推断出 AC 和 AB,及直线 AB 的 斜率,则直线 AB 的方程可得,与抛物线方程联立消去 y,进而跟韦达定理求得 x1+x2 的值, 则根据抛物线的定义求得弦 AB 的中点到准线的距离. 解答: 解:设 BF=m,由抛物线的定义知 AA1=3m,BB1=m, ∴△ABC 中,AC=2m,AB=4m,kAB= , 直线 AB 方程为 y= (x﹣1) , 2 与抛物线方程联立消 y 得 3x ﹣10x+3=0, 所以 AB 中点到准线距离为 故选 A. +1= +1= .

点评: 本题主要考查了抛物线的简单性质. 考查了直线与抛物线的关系及焦点弦的问题. 常 需要利用抛物线的定义来解决.

12. (5 分)若存在 x 使不等式



成立,则实数 m 的取值范围为()

A.

B.

C.(﹣∞,0)

D.(0,+∞)

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数的最值及其几何意义. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 不等式 > ,等价于 m< ,故存在 x 使不等式 > 成立,

等价于 m<(

)max,构造函数,确定单调性,即可得出结论. > ,等价于 m< ,

解答: 解:不等式

故存在 x 使不等式



成立,等价于 m<(

)max,

令 y= ∴y= ∴(

,则 y′=1﹣ 在[0,+∞)上是单调减函数, )max=0,

≤1﹣1=0,

∴m<0. 故选 C. 点评: 本题考查存在性问题,同时考查了转化的思想,属于中档题.求解本题的关键是正 确理解题意,区分存在问题与恒成立问题的区别. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13. (5 分)若曲线 y=aln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a=2. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 求出函数的导数,求出切线的斜率,再由切线方程,即可得到斜率,进而得到 a. 解答: 解:y=aln(x+1)的导数为:y′= 则在点(0,0)处的切线斜率为 a, 又在点(0,0)处的切线方程为 y=2x, 则有 a=2, ,

故答案为:2. 点评: 本题考查导数的几何意义:函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率, 考查运算能力,属于基础题. 14. (5 分)设△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=1,b= 则 sinB= .

,cosC=﹣



考点: 余弦定理的应用. 专题: 解三角形. 分析: 利用余弦定理求出 c,然后通过正弦定理求出 sinB 即可. 解答: 解:△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=1,b= 由余弦定理可得:c =a +b ﹣2abcosC=1+2﹣2× ∴c=2,sinC= = ,
2 2 2

,cosC=﹣



=4,

由正弦定理可得:sinB= 故答案为: .

=



点评: 本题考查三角形的解法,余弦定理以及正弦定理的应用,考查计算能力. 15. (5 分)若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是单调增函数.如果 实数 t 满足 时,那么 t 的取值范围是 ≤t≤e.

考点: 奇偶性与单调性的综合. 分析: 先根据对数的运算性质和函数的奇偶性性化简不等式,然后利用函数是偶函数得到 不等式 f(lnt)≤f(1) .等价为 f(|lnt|)≤f(1) ,然后利用函数在区间[0,+∞)上单调递增即 可得到不等式的解集. 解答: 解:∵函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴f(lnt)+f(ln )=f(lnt)+f(﹣lnt)=f(lnt)+f(lnt)=2f(lnt) , ∴不等式 等价为 2f(lnt)≤2f(1) ,

即 f(lnt)≤f(1) . ∵函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增. ∴不等式 f(lnt)≤f(1)等价为 f(|lnt|)≤f(1) . 即|lnt|≤1, ∴﹣1≤lnt≤1,

解得 ≤t≤e 即实数 m 的取值范围是 ≤t≤e, 故答案为: ≤t≤e. 点评: 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用,利用函数是偶函数的性质得到 f(a)=f (|a|)是解决偶函数问题的关键.先利用对数的性质将不等式进行化简是解决本题的突破点. 16. (5 分)将 a,b 都是整数的点(a,b)称为整点,若在圆 x +y ﹣6x+5=0 内的整点中任取 一点 M,则点 M 到直线 2x+y﹣12=0 的距离大于 的概率为 .
2 2

考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 概率与统计. 分析: 首先化为标准方程,画出图象,找到满足条件的点,再根据点到直线距离公式,找 到满足点 M 到直线 2x+y﹣12=0 的距离大于 的点,根据概率公式计算即可. 2 2 2 2 解答: 解:∵圆 x +y ﹣6x+5=0,即(x﹣3) +y =4 内整数点有(2,1) , (2,0) , (2,﹣1) , (3,1) , (3,0) , (3,﹣1) , (4,1) , (4,0) , (4,﹣1)共 9 个, 设点 M(x,y) ,点 M 到直线 2x+y﹣12=0 的距离大于 , ∴ > ,

即|2x+y﹣12|>5, 即 2x+y>17,或 2x+y<7, 即 y>17﹣2x,或 y<7﹣2x, 则满足条的有其中(2,1) , (2,0) , (2,﹣1) , (3,0) , (3,﹣1)共 5 种, 故点 M 到直线 2x+y﹣12=0 的距离大于 故答案为: 的概率为 P=

点评: 本题考查圆的标准方程,点与直线的位置关系,得到满足条件的点的坐标,是解题 的关键,属于基础题. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (10 分)设数列{an}是公比为正数的等比数列,a1=2,a3﹣a2=12. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列{an+bn}的前 n 项和 Sn. 考点: 数列的求和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (1)依题意,可求得等比数列{an}的公比 q=3,又 a1=2,于是可求数列{an}的通项 公式; (2)可求得等差数列{bn}的通项公式,利用分组求和的方法即可求得数列{an+bn}的前 n 项和 Sn . 解答: 解: (1)设数列{an}的公比为 q,由 a1=2,a3﹣a2=12, 2 2 得:2q ﹣2q﹣12=0,即 q ﹣q﹣6=0. 解得 q=3 或 q=﹣2, ∵q>0, ∴q=﹣2 不合题意,舍去,故 q=3. ∴an=2×3 ; (2)∵数列{bn}是首项 b1=1,公差 d=2 的等差数列, ∴bn=2n﹣1, ∴Sn=(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn) =
n 2 n﹣1

+

=3 ﹣1+n . 点评: 本题考查数列的求和,着重考查等比数列与等差数列的通项公式与求和公式的应用, 突出分组求和方法的应用,属于中档题.

18. (12 分)如图,DA⊥平面 ABC,DA∥PC,∠ACB=90°,AC=AD=BC=1,PC=2,E 为 PB 的中点. (Ⅰ)求证:DE∥平面 ABC; (Ⅱ)求二面角 E﹣CD﹣B 的余弦值.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 专题: 空间角. 分析: (1)根据线面平行的判定定理即可证明 DE∥平面 ABC; (2)建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,利用向量法即可求二面角 E﹣CD﹣B 的余弦 值. 解答: 解: (1)取 BC 的中点 F,连结 EF, 则 EF∥PC∥DA,且 EF= PC=DA=1, 则四边形 ADEF 是平行四边形, 即 DE∥AF, ∵DE?平面 ABC,AF?平面 ABC, ∴DE∥平面 ABC; (2)∵DA⊥平面 ABC,DA∥PC, ∴PC⊥平面 ABC, ∵∠ACB=90°,AC=AD=BC=1,PC=2, ∴分别以 DA,CB,CP 所在的直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间坐标系如图, 则 A(1,0,0) ,B(0,1,0) ,D(1,0,1) ,P(0,0,2) , 则 E(0, ,1) ,则 =(1,0,﹣1) , =(1,2,1) ,

设 =(x,y,z)是平面 ECD 的法向量, , ,





令 z=1,则 x=﹣1,y=﹣2,则 =(﹣1,﹣2,1) , 设 =(x,y,z)是平面 BCD 的法向量, ∵ , ,





令 z=1,则 x=﹣1,则 =(﹣1,0,1) , ∴cos< >= .

易知二面角 E﹣CD﹣B 为锐角, 故二面角 E﹣CD﹣B 的余弦值为 .

点评: 本题主要考查空间直线和平面平行的判定以及空间二面角的计算,利用向量法是解 决本题的关键.空间二面角的基本方法. 19. (12 分)甲、乙两人玩投篮游戏,规则如下:两人轮流投篮,每人至多投 2 次,甲先投, 若有人投中即停止投篮,结束游戏,已知甲每次投中的概率为 ,乙每次投中的概率为 求: (Ⅰ)乙投篮次数不超过 1 次的概率. (Ⅱ)记甲、乙两人投篮次数和为 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;互斥事件与对立事件. 专题: 概率与统计. 分析: (I)记“甲投篮投中”为事件 A,“乙投篮投中”为事件 B,由题设条件,“乙投篮次数 不超过 1 次”包括三种情况:一种是甲第 1 次投篮投中,另一种是甲第 1 次投篮未投中而乙第 1 次投篮投中,再一种是甲、乙第 1 次投篮均未投中而甲第 2 次投篮投中,利用互斥事件的概 率公式即可求解; (II)由题意知甲、乙投篮总次数 ξ 的取值 1,2,3,4,分别求出相应的概率,即可得到 ξ 的 分布列与期望. 解答: 解: (I)记“甲投篮投中”为事件 A,“乙投篮投中”为事件 B. “乙投篮次数不超过 1 次”包括三种情况:一种是甲第 1 次投篮投中,另一种是甲第 1 次投篮未 投中而乙第 1 次投篮投中,再一种是甲、乙第 1 次投篮均未投中而甲第 2 次投篮投中, 所求的概率是 P=P(A+ = =

乙投篮次数不超过 1 次的概率为 …(7 分) (2)甲、乙投篮总次数 ξ 的取值 1,2,3,4, P(ξ=1)=P(A)= ; P(ξ=2)=P( P(ξ=3)=P( P(ξ=4)=P( )= )= )= = ; = ; = ;

甲、乙投篮次数总和 ξ 的分布列为: ξ 1 2 P …(11 分) 甲、乙投篮总次数 ξ 的数学期望为

3

4

…(13 分)

点评: 本题考查互斥事件概率的求解,考查离散型随机变量的分布列与期望,解题的关键 是确定变量的取值,理解变量取值的含义,属于中档题.

20. (12 分)如图,已知椭圆 在椭圆上(e 为椭圆的离心率) . (1)求椭圆的方程; (2)若点 B,C(C 在第一象限)都在椭圆上,满足

的右顶点为 A(2,0) ,点 P(2e, )

,且

,求实数 λ 的值.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)由已知条件推导出 a=2, ,由此能求出椭圆的方程.

(2)设直线 OC 的斜率为 k,则直线 OC 方程为 y=kx,直线 AB 方程为 y=k(x﹣2) ,分别代 入椭圆方程 x +4y =4,由
2 2

=0,求出 k=

,再由

=

,能求出实数 λ 的值.

解答: 解: (1)∵椭圆

的右顶点为 A(2,0) ,∴a=2,

∵点 P(2e, )在椭圆上,

∴ ∵a =4,
2

, ,a =b +c ,
2 2 2 2

∴b =1,c =3, ∴椭圆的方程为 .

2

(2)设直线 OC 的斜率为 k,则直线 OC 方程为 y=kx, 代入椭圆方程 得(1+4k )x =4,∴
2 2

,即 x +4y =4, ,

2

2

∴C(



) ,
2 2

又直线 AB 方程为 y=k(x﹣2) ,代入椭圆方程 x +4y =4, 2 2 2 2 得(1+4k )x ﹣16k x+16k ﹣4=0, ∵xA=2,∴xB= ,

∵ ∴

=0, + =0,

∴ ∵

,∵C 在第一象限,∴k>0,∴k= =( ) ,



=(2﹣

,0﹣

)=(



) ,

由 ∴k=

=

,得 ,∴ .



点评: 本题考查椭圆方程的求法,考查实数的值的求法,解题时要认真审题,仔细运算, 注意推理论证能力的培养. 21. (14 分)已知函数 f(x)=e ﹣ln(2x) . (Ⅰ)设 x=1 是函数 f(x)的极值点,求 m 的值并讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)当 m≤2 时,证明:f(x)>﹣ln2. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 综合题;导数的概念及应用. 分析: (Ⅰ)求出 f′(x) ,由题意可知 f'(1)=0,由此可求 m,把 m 值代入 f′(x) ,由 f′ (x)的单调性及 f'(1)=0 可知其符合变化规律,从而可得单调性; (Ⅱ)x∈(0,+∞)时,e ≥e ≥x﹣1 恒成立,取函数 h(x)=x﹣1﹣ln(2x) (x>0) ,可 x﹣m x﹣2 得 f(x)=e ﹣ln(2x)≥e ﹣ln(2x)≥x﹣1﹣ln(2x)≥﹣ln2,即可得出结论. x﹣m 解答: (Ⅰ)解:∵f(x)=e ﹣ln(2x) , ∴f′(x)=e
1﹣m x﹣m x﹣m x﹣2 x﹣m

﹣ ,

由 x=1 是函数 f(x)的极值点得 f′(1)=0, 即e ﹣1=0,∴m=1.
x﹣1

…(2 分)
x﹣1

于是 f(x)=e 由 f″(x)=e

﹣ln(2x) ,f′(x)=e

﹣ ,

x﹣1

+

>0 知 f′(x)在 x∈(0,+∞)上单调递增,且 f′(1)=0,

∴x=1 是 f′(x)=0 的唯一零点. …(4 分) 因此,当 x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)递减; x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)递增, ∴函数 f(x) 在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. …(6 分) (Ⅱ)证明:当 m≤2,x∈(0,+∞)时,e ≥e x x﹣m x﹣2 又 e ≥x+1,∴e ≥e ≥x﹣1. …(8 分)
x﹣m x﹣2



取函数 h(x)=x﹣1﹣ln(2x) (x>0) ,h′(x)=1﹣ , 当 0<x<1 时,h′(x)<0,h(x)单调递减;当 x>1 时,h′(x)>0,h(x)单调递增,得 函数 h(x)在 x=1 时取唯一的极小值即最小值为 h(1)=﹣ln2.…(12 分) ∴f(x)=e ﹣ln(2x)≥e ﹣ln(2x)≥x﹣1﹣ln(2x)≥﹣ln2, 而上式三个不等号不能同时成立,故 f(x)>﹣ln2.…(14 分) 点评: 本题考查利用导数研究函数的极值、单调性,考查学生灵活运用知识分析解决问题 的能力. 四、请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记 分,作答时标出所选题目的题号.选修 4-1:几何证明选讲.
x﹣m x﹣2

22. (10 分)如图,已知 AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的切线,C 为切点,连接 AC,过点 A 作 AD⊥CD 于点 D,交⊙O 于点 E. (Ⅰ)证明:∠AOC=2∠ACD; (Ⅱ)证明:AB?CD=AC?CE.

考点: 与圆有关的比例线段;弦切角. 专题: 直线与圆. 分析: (Ⅰ)连结 BC,由已知条件推导出∠ACD=∠ABC,∠OCB=∠ABC,由此能够证明 ∠AOC=2∠ACD. (Ⅱ)由已知条件推导出 OAC=∠OCA=∠CAE=∠ECD,从而得到 Rt△ ABC∽Rt△ CED,由 此能够证明 AB?CD=AC?CE. 解答: 证明: (Ⅰ)连结 BC,∵CD 是⊙O 的切线,C 为切点, ∴∠ACD=∠ABC, ∵OB=OC,∴∠OCB=∠ABC, 又∵∠AOC=∠OCB+∠OBC, ∴∠AOC=2∠ACD. (Ⅱ)∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°, 又∵AD⊥CD 于 D,∴∠ADC=90°, ∵CD 是⊙O 的切线,C 为切点,OC 为半径, ∴∠OAC=∠CAE,且 OC⊥CD, ∴OC∥AD,又∵OC=OA, ∴∠OAC=∠OCA=∠CAE=∠ECD, ∴Rt△ ABC∽Rt△ CED,∴ ∴AB?CD=AC?CE. ,

点评: 本题考查角相等的证明,考查线段乘积相等的证明,是中档题,解题时要认真审题, 注意圆的简单性质的灵活运用. 五、 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知圆 C 的圆心的极坐标为( , ) ,半径 r= ,点 P 的极坐标为(2,π) ,过 P 作直线 l 交圆 C

于 A,B 两点. (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)求|PA|?|PB|的值. 考点: 点的极坐标和直角坐标的互化. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (1)利用 可把圆 C 的圆心的极坐标化为直角坐标,即可得出圆的直角

坐标方程. (2)点 P 的极坐标为(2,π) ,化为直角坐标 P(﹣2,0) .当直线 l 与圆 C 相切于等 D 时, 则|PD| =|PC| ﹣r .利用切割线定理可得|PA|?|PB|=|PD| . 解答: 解: (1)圆 C 的圆心的极坐标为 C( ∴x= =1,y= =1,
2 2 2 2 2 2



) ,

∴圆 C 的直角坐标方程为(x﹣1) +(y﹣1) =2. (2)点 P 的极坐标为(2,π) ,化为直角坐标 P(﹣2,0) . 当直线 l 与圆 C 相切于等 D 时,则|PD| =|PC| ﹣r =(﹣2﹣1) +(0﹣1) ﹣
2 2 2 2 2 2

=8.

∴|PA|?|PB|=|PD| =8. 点评: 本题考查了极坐标化为直角坐标、圆的方程、切割线定理,考查了计算能力,属于 基础题. 六、 【选修 4-5:不等式选讲】 24.已知函数 f(x)=|x﹣4|﹣t,t∈R,且关于 x 的不等式 f(x+2)≤2 的解集为[﹣1,5]. (1)求 t 值; (2)a,b,c 均为正实数,且 a+b+c=t,求证: + + ≥1.

考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 不等式. 分析: (1)由 f(x+2)≤2 得|x﹣4|﹣t≤2,解得﹣t≤x≤t+4,即可得出结论; (2)利用(1)的结论得 a+b+c=1,则 + + +(a+b+c)=( )+( +c)+( +a)

利用基本不等式即可得出证明. 解答: 解: (1)由 f(x+2)≤2 得|x﹣4|﹣t≤2, ∴当 t+2≥0 时,解得﹣t≤x≤t+4,

又∵不等式 f(x+2)≤2 的解集为[﹣1,5], ∴﹣t=﹣1 且 t+4=5,∴t=1. (2)∵a,b,c 均为正实数,且 a+b+c=1, ∴ =2 ∴ + + ≥ 1. + + +(a+b+c)=( )+( +c)+( +a)≥2 +2 +2 =2(a+b+c)

点评: 本题主要考查含绝对值的不等式的解法及利用基本不等式证明不等式成立等知识, 解题时注意不等式的变形,属于中档题.


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