tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)(选修2-1)


黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中 2014-2015 学年高二 上学期期中数学试卷(理科) (选修 2-1)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共计 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 2 1. (5 分)抛物线 x =4y 的准线方程是() A.x=1 B.x=﹣1 C.y=1 D.y=﹣1 2. (5 分)命题“

对任意 x∈R 都有 x ≥1”的否定是() 2 2 A.对任意 x∈R,都有 x <1 B. 不存在 x∈R,使得 x <1 2 2 C. 存在 x0∈R,使得 x0 ≥1 D.存在 x0∈R,使得 x0 <1
2

3. (5 分)已知向量 =(x,2,﹣2) ,向量 =(2,y,4) ,若 ∥ ,则 x+y=() A.5 B . ﹣5 C. 3 D.﹣3

4. (5 分)已知焦点在 y 轴上的椭圆 A.4 B. 6
x

+

=1 的长轴长为 8,则 m 等于() C.16
2

D.18

5. (5 分)已知命题 p:?x∈R,x>2 ,命题 q:?x∈R,x >0,则() A.命题 p∨q 是假命题 B. 命题 p∧q 是真命题 C. 命题 p∧(¬q)是真命题 D.命题 p∨(¬q)是假命题 6. (5 分)已知等轴双曲线经过点 A.4 B. 8 ,则双曲线的实轴长为() C. 6 D.

7. (5 分)双曲线 A.y=±
2

=1 的渐近线方程为() B.y=± x C.y=± D.y=± x

8. ( 5 分)抛物线 y =12x 截直线 y=2x﹣6 所得的弦长等于() A. B. 2 C. D.15

9. (5 分)下列有关命题的说法正确的是() 2 2 A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x =1,则 x≠1” 2 B. “x=﹣1”是“x ﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件

C. 命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题 D.若命题 p:“?x0∈R 使 x0 +x0+1<0”,则¬p 为假 命题
2

10. (5 分)如果椭圆 A.x﹣2y=0

的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是() B.x+2y﹣4=0 C.2x+3y﹣12=0 D.x+2y﹣8=0

11. (5 分)正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的所有棱长相等,M 是 CC1 的中点,则直线 AB1 和 BM 所成的角的大小是() A.30° B.45° C.60° D.90° 12. (5 分)已知两点 F1(﹣1,0) 、F2(1,0) ,且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点 P 的轨迹方程是() A. B.

C.

D.

二.填空题: (本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知向量 实数 x 的值为. , ,若 ,则

14. (5 分)已知双曲线



=1(a>0,b>0)与抛物线 y =8x 的公共焦点为 F,其中一个

2

交点为 P,若|PF|=5,则双曲线的离心率为. 15. (5 分)已知直线 y=k(x﹣2) (k>0)与抛物线 y =8x 相交于 A、B 两点,F 为抛物线的 焦点,若|FA|=2|FB|,则 k 的值为. 16. (5 分)下列 4 个命题: ①“如果 x+y=0,则 x、y 互为相反数”的逆命题; 2 ②“如果 x +x﹣6≥0,则 x>2”的否命题; ③在△ ABC 中,“A>30°”是“sinA> ”的充分不必要条件; ④“a=1”是“函数 f(x)=(x﹣1) 在区间 (Ⅱ)求直线 AE 与平面 PAC 所成角的正弦值.
2 2

22. (12 分)已知椭圆 C1 的方程为

+y =1,双曲线 C2 的左、右焦点分别是 C1 的左、右顶

2

点,而 C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点. (1)求双曲线 C2 的方程; (2)若直线 l:y=kx+ 与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B,且 ? >2(其中 O 为

原点 ) ,求 k 的取值范围.

黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中 2014-2015 学 年高二上学期期中数学试卷(理科) (选修 2-1)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共计 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 2 1. (5 分)抛物线 x =4y 的准线方程是() A.x=1 B.x=﹣1 C.y=1 D.y=﹣1 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 先根据抛物线的标准方程得到焦点在 y 轴上以及 2p=4,再直接代入即可求出其准线 方程. 2 解答: 解:因为抛物线的标准方程为:x =4y,焦点在 y 轴上; 所以:2p=4,即 p=2, 所以: =1, ∴准线方程 y=﹣1, 故选 D. 点评: 本题主要考查抛物线的基本性质.解决抛物线的题目时,一定要先判断焦点所在位 置. 2. (5 分)命题“对任意 x∈R 都有 x ≥1”的否定是() 2 2 A.对任意 x∈R,都有 x <1 B. 不存在 x∈R,使得 x <1
2

C. 存在 x0∈R,使得 x0 ≥1 考点: 专题: 分析: 解答:

2

D.存在 x0∈R,使得 x0 <1

2

全称命题;命题的否定. 规律型. 利用汽车媒体的否定是特称命题写出结果判断即可. 解:因为全称命题的否定是特称命题,
2

所以命题“对任意 x∈R 都有 x ≥1”的否定是:存在 x0∈R,使得



故选:D. 点评: 本题考查全称命题的否定,注意量词以及形式的改变,基本知识的考查.

3. (5 分)已知向量 =(x,2,﹣2) ,向量 =(2,y,4) ,若 ∥ ,则 x+y=() A.5 B . ﹣5 C. 3 D.﹣3

考点: 共线向量与共面向量. 专题: 空间向量及应用. 分析: 根据空间向量的平行的条件得出 = = ,即可求解 x,y,得出 x+y 的值.

解答: 解:∵向量 =(x,2,﹣2) ,向量 =(2,y,4) , ∥ , ∴ = = ,

求解得出 x=﹣1,y=﹣4, ∴x+y=﹣5, 故选:B 点评: 本题考查了空间向量的平行的条件,属于计算题,难度不大.

4. (5 分)已知焦点在 y 轴上的椭圆 A.4 B. 6

+

=1 的长轴长为 8,则 m 等于() C.16 D.18

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用椭圆的标准方程及其性质即可得出. 解答: 解:∵焦点在 y 轴上的椭圆 + =1 的长轴长为 8,

∴2 =8,解得 m=16. 故选:C. 点评: 本题考查了椭圆的标准方程及其性质,属于基础题.

5. (5 分)已知命题 p:?x∈R,x>2 ,命题 q:?x∈R,x >0,则() A.命题 p∨q 是假命题 B. 命题 p∧q 是真命题 C. 命题 p∧(¬q)是真命题 D.命题 p∨(¬q)是假命题 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据 y=x, y=2 图象以及 x ≥0 即可判断出命题 p, q 都是假命题, 然后根据 p∨q, p∧q, ¬p 的真假和 p,q 真假的关系即可找出正确选项. x x 解答: 解:由函数 y=x 和函数 y=2 的图象知,?x∈R,x<2 ,∴命题 p 是假命题; 2 2 x=0 时,x =0,不满足 x >0,∴命题 q 是假命题; ∴p∨q 是假命题,p∧q 是假命题,p∧(¬q)是假命题,p∨(¬q)是真命题. 故选 A. x 点评: 考查指数函数 y=2 及一次函数 y=x 的图象,以及 p∨q,p∧q,¬p 的真假和 p,q 真 假的关系. 6. (5 分)已知等轴双曲线经过点 A.4 B. 8 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设等轴双曲线的方程为 x ﹣y =λ≠0.把点 曲线的性质可得双曲线的实轴长. 2 2 解答: 解:设等轴双曲线的方程为 x ﹣y =λ≠0. 把点 代入可得:12﹣16=λ,解得 λ=﹣4. 2 2 ∴要求的等轴双曲线的方程为 x ﹣y =﹣4. 即双曲线的标准方程为 ,
2 2 x 2

x

2

,则双曲线的实轴长为() C. 6 D.

代入解得 λ,进而根据双

故 a=2,2a=4, 即双曲线的实轴长为 4, 故选:A 点评: 本题考查的知识点是双曲线的标准方程和简单性质,熟练掌握等轴双曲线的标准方 程是解题的关键.

7. (5 分)双曲线 A.y=±

=1 的渐近线方程为() B.y=± x C.y=± D.y=± x

考点: 双 曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 直接根据双曲线的方程,令方程的右边等于 0 求出渐近线的方程.

解答: 解:已知双曲线

=1,

令:

=0

即得到渐近线方程为:y=± x 故选:B 点评: 本题考查的知识要点:双曲线的渐渐线方程的求法. 8. (5 分)抛物线 y =12x 截直线 y=2x﹣6 所得的弦长等于() A. B. 2 C. D.15
2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由 得:x ﹣9x+9=0,设两交点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,利用根与系数 = 即可
2

的关系和弦长公式|AB|= 得出. 解答: 解:由

得:x ﹣9x+9=0,

2

设两交点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1+x2=9,x1x2=9, ∴|AB|= = = =

15. 故选:D. 点评: 本题考查了直线与抛物线相交问题、弦长公式、根与系数的关系,属于中档题. 9. (5 分)下列有关命题的说法正确的是() 2 2 A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x =1,则 x≠1” 2 B. “x=﹣1”是“x ﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 C. 命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题 2 D.若命题 p:“?x0∈R 使 x0 +x0+1<0”,则¬p 为假命题 考点: 命题的真假判断与应用;四种命题. 专题: 简易逻辑. 分析: 写出原命题的否命题,可判断 A;根据充要条件的定义可判断 B;根据原命题与逆否 命题真假性相同可判断 C;根据命题的否定与原命题真假性相反可判断 D. 2 2 解答: 解:命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x ≠1,则 x≠1”,故 A 错误;

当“x=﹣1”时,“x ﹣5x﹣6=0”成立,当“x ﹣5x﹣6=0”时,“x=﹣1 或 x=6”,即“x=﹣1”不一定成 2 立,故“x=﹣1”是“x ﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件,故 B 错误; 命题“若 x=y,则 sinx=siny”为真命题,故命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题,故 C 正确; 2 若命题 p:“?x0∈R 使 x0 +x0+1<0”为假命题,故¬p 为真命题,故 D 错误; 故选:C 点评: 本题以命题的真假判断为载体,考查了四种命题,充要条件,复合命题等知识点, 难度不大,属于基础题.

2

2

10. (5 分)如果椭圆 A.x﹣2y=0

的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是() B.x+2y﹣4=0 C.2x+3y﹣12=0 D.x+2y﹣8=0

考点: 椭圆的应用;直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 计算题.

分析: 设这条弦的两端点为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则

,两式相减再变形

得 线方程.

,又由弦中点为(4,2) ,可得 k=

,由此可求出这条弦所在的直

解答: 解:设这条弦的两端点为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,斜率为 k,





两式相减再变形得 又弦中点为(4,2) ,故 k= 故这条弦所在的直线方程 y﹣2= , (x﹣4) ,整理得 x+2y﹣8=0;

故选 D. 点评: 用“点差法”解题是圆锥曲线问题中常用的方法. 11. (5 分)正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的所有棱长相等,M 是 CC1 的中点,则直线 AB1 和 BM 所成的角的大小是() A.30° B.45° C.60° D.90°

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 设三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的棱长等于 2,延长 MC1 到 N 使 MN=BB1,连接 AN.可得 ∠AB1N(或其补角)就是异面直线 AB1 和 BM 所成角,然后在△ AB1N 中分别算出三条边的 长, 利用余弦定理得 cos∠AB1N=0, 可得∠AB1N=90°, 从而得到异面直线 AB1 和 BM 所成角. 解答: 解:设三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的棱长等于 2,延长 MC1 到 N 使 MN=BB1,连接 AN, ∵MN∥BB1,MN=BB1, ∴四边形 BB1NM 是平行四边形,可得 B1N∥BM 因此,∠AB1N(或其补角)就是异面直线 AB1 和 BM 所成角 ∵Rt△ B1C1N 中,B1C1=2,C1N=1, ∴B1N= , ∵Rt△ ACN 中,AC=2,CN=3,∴AN= , 又∵正方形 AA1B1B 中,AB1=2 , ∴△AB1N 中,cos∠AB1N= 即异面直线 AB1 和 BM 所成角为 90°. 故选 D. = =0,可得∠AB1N=90°

点评: 本题考查了在所有棱长均相等的正三棱柱中,求异面直线所成的角大小,着重考查 了正三棱柱的性质、余弦定理和异面直线所成角求法等知识,属于基础题. 12. (5 分)已知两点 F1(﹣1,0) 、F2(1,0) ,且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点 P 的轨迹方程是() A. B.

C.

D.

考点: 椭圆的定义. 专题: 计算题. 分析: 根据|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,得到 2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,即|PF1|+|PF2|=4,得到 点 P 在以 F1,F2 为焦点的椭圆上,已知 a,c 的值,做出 b 的值,写出椭圆的方程. 解答: 解:∵F1(﹣1,0) 、F2(1,0) , ∴|F1F2|=2,

∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项, ∴2|F1F2|=|PF1|+|PF2|, 即|PF1|+|PF2|=4, ∴点 P 在以 F1,F2 为焦点的椭圆上, ∵2a=4,a=2 c=1 ∴b =3, ∴椭圆的方程是 故选 C. 点评: 本题考查椭圆的方程,解题的关键是看清点所满足的条件,本题是用定义法来求得 轨迹,还有直接法和相关点法可以应用. 二.填空题: (本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知向量 实数 x 的值为 . , ,若 ,则
2

考点: 空间向量的数量积运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量垂直与数量积的定义,构造关于 x 的议程,解方程即可得出 x 值. 解答: 解:∵向量 若 解得:x= , 故答案为: 点评: 本题考查了向量垂直与数量积的关系,属于基础题. ,则 , ,

=(﹣1,﹣2,1)?(1,x﹣2,4)=﹣1﹣2x+4+4=0,

14. (5 分)已知双曲线



=1(a>0,b>0)与抛物线 y =8x 的公共焦点为 F,其中一个

2

交点为 P,若|PF|=5,则双曲线的离心率为 2. 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由已知条件推导出设双曲线方程为 求出双曲线的离心率. ,且过 P(3, ) ,由此能

解答: 解:∵双曲线



=1(a>0,b>0)与抛物线 y =8x 的公共焦点为 F,

2

∴双曲线



=1(a>0,b>0)的一个焦点为 F(2,0) ,

∵双曲线



=1 与抛物线 y =8x 的一个交点为 P,|PF|=5, = , ,

2

∴xP=5﹣2=3,yP= ∴设双曲线方程为

把 P(3,
2 2

)代入 ,得

解得 a =1,或 a =36(舍) , ∴e= =2. 故答案为:2. 点评: 本题考查双曲线的离心率的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意抛物线、双 曲线的简单性质的灵活运用. 15. (5 分)已知直线 y=k(x﹣2) (k>0)与抛物线 y =8x 相交于 A、B 两点,F 为抛物线的 焦点,若|FA|=2|FB|,则 k 的值为 . 考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 计算题. 分析: 先过 A,B 两点分别作准线的垂线,再过 B 作 AC 的垂线,垂足分别为 C,D,E, 在直角三角形 ABE 中,求得 cos∠BAE,进而可求直线 AB 的斜率 解答: 解:∵直线 y=k(x﹣2) (k>0)恒过定点(2,0)即为抛物线 y =8x 的焦点 F 过 A,B 两点分别作准线的垂线,垂足分别为 C,D,再过 B 作 AC 的垂线,垂足为 E, 设|BF|=m, ∵|FA|=2|FB|, ∴|AF|=2m ∴AC=AF=2m,|BD|=|BF|=m 如图,在直角三角形 ABE 中,AE=AC﹣BD=2m﹣m=m,AB=3m, ∴cos∠BAE= ∴直线 AB 的斜率为:k=tan∠BAE=2 故答案为 2
2 2

点评: 本题主要考查了抛物线的简单性质、共线向量及解三角形的知识,解答本题的关键 是利用抛物线的定义作出直角三角形 ABE,从而求得直线的斜率,体现了数形结合起来的思 想 16. (5 分)下列 4 个命题: ①“如果 x+y=0,则 x、y 互为相反数”的逆命题; ②“如果 x +x﹣6≥0,则 x>2”的否命题; ③在△ ABC 中,“A>30°”是“sinA> ”的充分不必要条件; ④“a=1”是“函数 f(x)=(x﹣1) 在区间 ①若 p 为真命题,q 为假命题,则 k 满足 ②若 p 为假命题,q 为真命题,则 k 满足 ,因此 4≤k≤6; ,因此 k≤1;
2 2

综上所述,k 的取值范围是{k|k≤1 或 4≤k≤6}. 点评: 考查椭圆的标准方程,双曲线的标准方程,以及 p∨q,p∧q 的真假和 p,q 真假的关 系.

18. (12 分)已知椭圆 C:

=1(a>b>0) ,离心率为

,两焦点分别为 F1、F2,过 F1

的直线交椭圆 C 于 M,N 两点,且△ F2MN 的周长为 8. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求过点(1,0)且斜率为 的线 l 被 C 所截线段的中点坐标.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: ( I)由△ F2MN 的周长求出 a 的值,再根据离心率求出 c 以及 b 的值即可;

( II)求出直线 l 的方程,与椭圆方程联立,消去 y,由根与系数的关系求出 x1+x2 的值,即 得线段 AB 的中点的横坐标,再求出纵坐标即可. 解答: 解: ( I)∵△F2MN 的周长为 8,即|MN|+|MF2|+|NF2|=4a=8, ∴a=2;﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分) 又∵e= =
2 2 2

,∴c=

a=

;…4 分

∴b =a ﹣c =1;…5 分 ∴椭圆 C 的方程为 ;﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分)

( II)∵过点(1,0)且斜率为 的直线 l 的方程为 ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7 分)

∴直线方程与椭圆方程
2

联立,

消去 y 得,2x ﹣2x﹣3=0;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9 分) 设 l 与 C 交于 A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点, 则 x1+x2=1;﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分) ∴线段 AB 的中点为 P ,即 ;﹣﹣﹣﹣﹣﹣(11 分)

又∵P 在直线 l 上,∴ ∴P 点的坐标为

= ×( ﹣1)=﹣ ; .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)

点评: 本题考查了直线与圆锥曲线的应用问题,考查了弦长中点的应用问题,解题时通常 用根与系数的关系求出中点坐标,是中档题. 19. (12 分)如图,正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=2AB=4,点 E 在 CC1 上且 C1E=3EC (1)证明:A1C⊥平面 BED; (2)求二面角 A1﹣DE﹣ B 的余弦值.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定. 专题: 计算题. 分析: (1) 以 DA, DC, DD1 为 x, y, z 轴, 建立空间直角坐标系, 则 , (2)由 , ,同理得平面 BDE 的法向量为 ,由向量法能证明 A1C⊥平面 BED. ,得到平面 A1DE 的法向量 ,由向量法能求 ,

出二面角 A1﹣DE﹣B 的余弦值. 解答: 解: (1)如图,以 DA,DC,DD1 为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系, 则 A1(2,0,4) ,B(2,2,0) ,C(0,2,0) ,D(0,0,0) ,E(0,2,1) , ∵ , ∴ , , , , ,

∴A1C⊥平面 BED (2)∵ 设平面 A1DE 的法向量为 由 及 , , , ,

得﹣2x+2y﹣3z=0,﹣2x﹣4z=0, 取 同理得平面 BDE 的法向量为 ,

∴cos<

>=

=

=﹣



所以二面角 A1﹣DE﹣B 的余弦值为



点评: 本题考查直线与平面垂直的证明和求二面角的余弦值,解题时要认真审题,仔细解 答,注意向量法的灵活运用.

20. (12 分)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的离心率为



(Ⅰ)若原点到直线 x+y﹣b=0 的距离为 ,求椭圆的方程; (Ⅱ)设过椭圆的右焦点且倾斜角为 45°的直线和椭圆交于 A,B 两点.当|AB|= 值. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)由已知得 = ,e=
2 2

,求 b 的

,由此能求出椭圆的方程.
2

(Ⅱ)由已知椭圆的方程可化为:x +3y =3b ,AB:y=x﹣ |AB|= ,由此能求出 b=1.

,从而 4x ﹣6

2

bx+3b =0,

2

解答: 解: (Ⅰ)∵d=

=

,∴b=2,

∴e=
2

,∴



解得 a =12, 椭圆的方程为 .

(Ⅱ)∵

,∴a =3b ,
2 2 2

2

2



∴椭圆的方程可化为:x +3y =3b ,① ∵右焦点 F( ,0) ,据题意有 AB:y=x﹣

,②

由①,②有:4x ﹣6

2

bx+3b =0,③ ,x1x2= ,

2

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 ∴|AB|=

=

=

,解得 b=1.

点评: 本题考查椭圆方程的求法,考查实数值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注 意椭圆弦长公式的合理运用. 21. (12 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为是矩形,PA⊥底面 ABCD,E 为棱 PD 的中点,AP=2,AD= ,且三棱锥 E﹣ACD 的体积为 . (Ⅰ)求证:PB∥平面 AEC; (Ⅱ)求直线 AE 与平面 PAC 所成角的正弦值.

考点: 直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ) 由三棱锥体积求 CD 的长度, 建立坐标系, 得到 (Ⅱ)设平面 PAC 的一个法向量 =(x,y,z) ,利用 利用 , 的数量积求它们的夹角余弦值. ,得 CD=3,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∥ , 可证 PB∥平面 AEC; =0 求一个法向量,

=0,且

解答: 解: ( I)由 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分) 如图所示,以 A 为坐标原点,

方向为 x 轴正方向,建立空间直角坐标系

取 AC 中点 O, 则

, , , ∥ ,

即 PB∥EO﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) ∵EO?平面 AEC,PB?平面 AEC

∴PB∥平面 AEC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) ( II) 设平面 PAC 的一个法向量 =(x,y,z) 则 ∴ ⊥ ,且 ⊥ ,即 =0,且 =0 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

,令 x=1,解得 =

﹣﹣﹣﹣(8 分)

cos<

, >=

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10

分) 直 A E 与平面 PAC 所成角的正弦值为 分) ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (12

点评: 本题考查了线面平行的判定以及线面角的求法;本题借助于向量解答,体现了向量 的工具性,属于中档题.
2

22. (12 分)已知椭圆 C1 的方程为

+y =1,双曲线 C2 的左、右焦点分别是 C1 的左、右顶

点,而 C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点. (1)求双曲线 C2 的方程; (2)若直线 l:y=kx+ 与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B,且 ? >2(其中 O 为

原点) ,求 k 的取值范围. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;双曲线的标准方程. 专题: 综合题. 分析: (1)设出双曲线的标准方程,根据根据椭圆方程求得双曲线的左右顶点和焦点,进 而求得双曲线方程中的 a 和 b,则双曲线方程可得.

(2)将直线代入双曲线方程消去 y,进而根据判别式求得 k 的范围,设出 A,B 的坐标,根 据韦达定理求得 x1+x2 和 x1x2 的表达式,进而根据 范围,最后综合求得答案. 解答: 解: (1)设双曲线 C2 的方程为 则 a =4﹣1=3,c =4, 2 2 2 2 由 a +b =c ,得 b =1, 故 C2 的方程为 (2)将 y=kx+
2 2 2 2

?

>2 求得关于 k 的不等式,求得 k 的



=1,

﹣y =1. 代入 ﹣y =1,得
2

2

(1﹣3k )x ﹣6 kx﹣9=0. 由直线 l 与双曲线 C2 交于不同的两点,得

∴k ≠ 且 k <1.① 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1+x2= ,x1x2= . ) (kx2+ ) .

2

2

∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+ =(k +1)x1x2+
2

k(x1+x2)+2=

又∵ ∴

?

>2,得 x1x2+y1y2>2, >2,



>0,解得 <k <3,②
2

2

由①②得 <k <1, 故 k 的取值范围为(﹣1,﹣ )∪( ,1) .

点评: 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆 锥曲线知识体系的重点内容,是高考的热点.


推荐相关:

黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)(选修2-1)

黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)(选修2-1)_数学_高中教育_教育专区。黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中 ...


黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)(选修2-1)

黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)(选修2-1)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理...


黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)(选修1-1)

黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)(选修1-1)_数学_高中教育_教育专区。黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中 ...


黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中2014-2015学年高二上学期期中化学试卷

黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中2014-2015学年高二上学期期中化学试卷_高中教育_教育专区。2014-2015 学年黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中高二 (上)...


黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中2015-2016学年高二上学期期中化学试卷(理科)

黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中2015-2016学年高二上学期期中化学试卷(理科)_高中教育_教育专区。黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中 2015-2016 学年高二...


黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中2013-2014学年高二(上)期中化学试卷(理科)

2013-2014 学年黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中高二 (上)期中化学试卷(理科)一、选择题(每个小题只有一个正确选项,每小题 3 分,共 60 分) 1. (3 ...


黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中2013-2014学年高二(上)期中化学试卷(理科) Word版含解析

2013-2014 学年黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中高二 (上)期中化学试卷(理科)一、选择题(每个小题只有一个正确选项,每小题 3 分,共 60 分) 1. (3 ...


黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中2012-2013学年高二(上)期中化学试卷(理科)

黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中2012-2013学年高二(上)期中化学试卷(理科...(2015 春?台中市校级期中)下列有关“电离平衡”的叙述中正确的是( ) A.电解...


黑龙江省友谊县红兴隆管理局第一高级中学2015-2016学年高二历史上学期期中试题 理

黑龙江省友谊县红兴隆管理局第一高级中学2015-2016学年高二历史上学期期中试题 理...——陈独秀《罪案之答辩书》 (1)材料一中的作者是谁?他提出了什么思想?(4 ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com