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导数在圆锥曲线中的应用


S 数学 H I T I 试 题研 究 Y A N J I U 锥 圆 在 导数 用 应 的 曲线中 王 敏 ⊙ 武汉中学 导数的 引入大 大丰富 了高中 数学的 知识体 系, 给 许多常 规问题的 解法提 供了新 的视野 , 同 时也拓 宽了 解决圆 锥曲线问 题的思 路, 尤其是 求圆锥 曲线中 的切 线、 最值等问题. 一、 导数在求圆锥曲线面积问题中的应用 例1 过函 数 y= x (0 < x< 1) 图象 上一点 M 作切 1 2 令 x= 0 得, y= ∴ P(0, x0 2 ). x0 2 , Q, 线 l 与 y 轴和直线 y= 1 分别交于点 P , 点 N(0,1) , P QN 面积的最大值为 则Δ 分析 求解综合问题的能力. 解 设 M(x0 ,x0 2 ) (0 < x0 < 1) , - 1 2 1 . 本题 主要 考查利 用导 数和解 析几 何知识 令 y= 1 得, x = 2 x 0 - x0 , ∴ Q(2 x0 - x0 ,1) . 于是 SΔPQM = 1 (1 2 x0 2 )(2 x0 - x 0) , 由 y′ = 1x 2 1x 知切线 l 的斜率为 k = y′ x= x = 2 0 0 | - 1 2 , 令 t= x 0 (0 < t < 1) , 所以切线 l 的方程为 y - x 0 2 = 1 x0 2 (x- x0 ) , 2 1 1 即 y= 1 x+ 2 x0 x0 2 y N P O . Q M 1 1 - t )(2t - t 2 )= 1 (t 3 - 4t2 + 4t) 则 SΔPQM = f (t ) = ( . 2 2 4 (t ) = 1 (3t2 - 8t + 4) = 1 (t - 2)(3t - 2) , ∴ f′ 4 4 2 (t) = 0 , 令 f′ 得 t = 2(舍 ) 或 t= . 3 2 t∈ (0, ) ,f ′ (t)> 0 ,f (t) 单调递增; 3 t∈ (2 ,1) ,f ′ (t) < 0 ,f (t) 单调递减. 3 2 8 P QN 面积 的最 大值 所 以 f (t)ma x = f ( ) = , 即Δ 3 27 8 为 27 . 答案 8 27 y =1 x 安得壮士挽天河, 一洗烦郁清九区。 ( 王冕) 33 S 试 题研 究 H I T I 数学 N J I U Y A 点拨 解析几 何中 抛物线 的切线 问题 用导数 知 y= 识解决是非常便 捷的, 另 外用导数来求解解析 几何中 有关三 次函数 的最值 是我们 需要熟 练掌握 的重要 解 题方法. y= 二、 导数在求圆锥曲线切线问题中的应用 例2 2 2 如图, 抛 物线 C1:x = 4y,C2 :x = - 2py ( p > 0 ). x1 + x2 , ④ 8 x1 x2 (x - x1 )+ 1 , ⑤ 2 4 2 2 切线 MA , MB 的方程为 y= x2 x2 (x - x 2) + 2 , ⑥ 2 4 x1 + x 2 xx , y0 = 1 2 , 2 4 x12 + x 22 , ⑦ 6 由⑤⑥得 MA , MB 的交点 M(x0 ,y0 ) 的坐标为 x0 = 点 M(x0 ,y 0 ) 在抛物线 C2 上, 过 M 作 C1 的切线, 切点为 A,B ( M 为 原 点 O 时 ,A,B 重 合 于 O ). 当 x0 = 1 1 时,

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