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2013届盐城市高三考前突击精选模拟试卷数学卷2


江苏省盐城市 2013 届高三考前突击精选模拟试卷数学卷 2
一. 填空题 (每题 5 分,计 70 分) 1. 已知集合 A ? ?y y ? sin x , x ? R? , 集合 B ? y y ?

?

则 x , x?R , A? B ? 条件

?

.

2. “ a ? 0 ”是“复数 a ? bi (a, b ? R ) 是纯虚数”的 3. 将函数 y ? sin(2 x ?

?
3

) 的图象先向左平移

?
3

,然后将所得图象上所有的点的横坐标变

为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,则所得到的图象对应的函数解析式为_______________ 4. 若抛物线 y ? ?2 px ( p ? 0) 的焦点与双曲线
2

x2 3

? y 2 ? 1 的左焦点重合,则 p 的值

.

5. 函数 f ( x) ? x ? 2 ? lnx 在定义域内零点的个数为 6. 已知直线 y ? kx ? 1 与曲线 y ? x ? ax ? b 切于点(1, 3) ,则 b 的值为
3

7. 若规定

a b c d

? ad ? bc ,则不等式 log 3

1 1 1 x

? 0 的解集是

? ? ? ? ? ? ? ? 8. 若平面向量 a , b 满足 a ? b ? 1 , a ? b 平行于 x 轴, b ? (2, ?1) ,则 a =
9.在 △ ABC 中, AB ? BC , cos B ? ? 椭圆的离心率 e ? 10. 直线 y ? .

7 18

.若以 A , B 为焦点的椭圆经过点 C ,则该

3 3

x ? 2 与圆心为 D 的圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 3 交于 A、B 两点,则直线

AD 与 BD 的倾斜角之和为 11.如果函数 f ( x) ? 2 sin ? x(? ? 0) 在 ? ?

? 2? 2? ? , ? 上单调递增,则 ? 的最大值为 ? 3 3 ?

12. 等差数列 {an } 中, n 是其前 n 项和, 1 ? ?2008 , S a

S 2007

2007

?

S 2005 2005

? 2 , S 2008 =_____. 则

13 .△ABC 满足 AB ? AC ? 2 3 , ?BAC ? 30? ,设 M 是△ABC 内的一点(不在边界上),定 义 f ( M ) ? ( x, y, z ) ,其中 x, y, z 分别表示△MBC,△MCA,△MAB 的面积,若

??? ???? ?

1 4 1 f ( M ) ? ( x, y, ) ,则 ? 的最小值为 2 x y
14. 设 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 函 数 , 若 f (0) ? 2010 , 且 对 任 意 的 x ? R , 满 足

f ( x ? 2) ? f ( x) ? 3 ? 2 x , f ( x ? 6) ? f ( x) ? 63 ? 2 x ,则 f (2010) ?

二.

解答题 (解答应给出完整的推理过程,否则不得分)

15. (14 分)已知全集 U ? R, 集合 A ? x x ? x ? 6 ? 0 , B ? x x ? 2 x ? 8 ? 0 ,
2 2

?

?

?

?

C ? x x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 ,若 CU ( A ? B ) ? C ,求实数 a 的取值范围.

?

?

16. (14 分)如图,在直角坐标系 xOy 中,锐角△ABC 内接于圆 x ? y ? 1. 已知 BC 平行 于 x 轴,AB 所在直线方程为 y ? kx ? m(k ? 0) ,记角 A、B、C 所对的边分别是 a,b,c。
2 2

(1)若 3k ?

2ac a ?c ?b
2 2 2

, 求 cos 2

A?C

(2)若 k ? 2, 记?xOA ? ? (0 ? ? ?

?

2

? sin 2 B 的值;
3? 2 ), 求 sin(? ? ? ) 的值。

2

), ?xOB ? ? (? ? ? ?

17.(15 分)某公司有价值 a 万元的一条流水线,要提高该流水线的生产能力,就要对其进 行技术改造,从而提高产品附加值,改造需要投入,假设附加值 y 万元与技术改造投 入 x 万元之间的关系满足: ① y 与 a ? x 和 x 的乘积成正比; ②x? ③0 ?

a 2

时, y ? a ;
2

x 2(a ? x)

? t ,其中为常数,且 t ? [0,1] 。

求: (1)设 y ? f ( x) ,求 f ( x) 表达式,并求 y ? f ( x) 的定义域; (2)求出附加值 y 的最大值,并求出此时的技术改造投入。

18. (15 分)已知椭圆的中心为坐标原点 O,椭圆短轴长为 2,动点 M (2, t ) (t ? 0) 在椭 圆的准线上。 (1)求椭圆的标准方程; (2)求以 OM 为直径且被直线 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 截得的弦长为 2 的圆的方程; (3)设 F 是椭圆的右焦点,过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆交于点 N, 求证:线段 ON 的长为定值,并求出这个定值。

19. (16 分)已知函数 f ( x) ? x ln x ,
2

(1)判断函数 f (x) 的奇偶性; (2)求函数 f (x) 的单调区间; (3)若关于 x 的方程

f ( x) ? kx ? 1 有实数解,求实数 k 的取值范围.

20.(16 分) 已知数列 ?a n ? 满足 a1 (1)求 a2 k ?1 (k ? N ? ) ;

? 1, a 2 ? 3, 且 an ? 2 ? (1 ? 2 cos n?
2

) an ? sin

n? 2

, n ? N ?,

( 2 ) 数 列 { yn },{bn } 满 足

yn ? a2 n ?1, b1 ? y1 , 且 当n ? 2 时

bn ? yn 2 (

1 y
2 1

?

1 y2
2

?? ?

1 yn ?12

).

证明:当 n ? 2 时,

bn ?1 (n ? 1)
2

?

bn n
1 b1
2

?

1 n2



(3)在(2)的条件下,试比较 (1 ?

) ? (1 ?

1 b2

) ? (1 ?

1 b3

) ?? ? (1 ?

1 bn

) 与 4 的大小关系.

理科加试
21.已知 ( x ?

1 2 x

)n 的展开式中前三项的系数成等差数列.

(1)求 n 的值; (2)求展开式中系数最大的项.

22.“抽卡有奖游戏”的游戏规则是:盒子中装有 8 张形状大小相同的精美卡片,卡片上分 别印有“奥运福娃”或“奥运会徽”,要求参加游戏的 4 人从盒子中轮流抽取卡片,一 次抽 2 张, 抽取后不放回, 直到 4 人中一人一次抽到 2 张“奥运福娃” 卡才能得到奖并 终止游戏. (1)游戏开始之前,一位高中生问:盒子中有几张“奥运会徽” 卡?主持人说:若从盒中 任抽 2 张卡片不都是“奥运会徽” 卡的概率为 呢? (2)现有甲、乙、丙、丁 4 人参加游戏,约定甲、乙、丙、丁依次抽取.用 ? 表示 4 人中 的某人获奖终止游戏时总共抽取卡片的次数,求 ? 的概率分布及 ? 的数学期望.

25 28

.请你回答有几张“奥运会徽” 卡

23.已知曲线 C 的方程 y ? 3x ? 2 x ,设 y ? tx ,为参数,求曲线 C 的参数方程.
2 2 3

24.已知抛物线 C 的顶点在原点, 焦点为 F(2, 0). (1)求抛物线 C 的方程; (2)过 N (?1,0) 的直线交曲线 C 于 A, B 两点,又 AB 的中垂线交 y 轴于点 D (0, t ) , 求的取值范围.

参考答案
一.填空题(每题 5 分,计 70 分) 1. ? 0,1? 2. 必要不充分 3. y ? sin( x ? 8.

?

?? 1,1? 或 ?? 3,1?

9.

3 8

10.

) 3 4 3

4. 4 11.

5. 2

6. 3 12. -2008

7. (1, 2) 13 .18 。 14.

?

3 4



22010 ? 2009
二.解答题(解答应给出完整的推理过程,否则不得分) 15. 解: A ? ? x ? 2 ? x ? 3? , B ? ? x x ? ?4, 或x ? 2? , A ? B ? ? x x ? ?4, 或x ? ?2?

CU ( A ? B ) ? ? x ? 4 ? x ? ?2? ,而 C ? ? x ( x ? a )( x ? 3a ) ? 0? ??? 7 分
(1)当 a ? 0 时, C ? ? x a ? x ? 3a? ,显然不成立 ??? 9 分 (2)当 a ? 0 时, C ? ? ,不成立 ??? 11 分 (3)当 a ? 0 时, C ? ? x 3a ? x ? a? ,要使 CU ( A ? B ) ? C ,只要 ?

?3a ? ?4 ?a ? ?2

,即

4 ?2 ? a ? ? 。 ??? 14 分 3 sin B 2ac 1 16.解: (1) 变式得: 3 ??4 分 ? 2 , 解得 sin B ? , 2 2 cos B a ? c ? b 3 B 1 ? cos B 9?2 2 原式 ? sin 2 ? sin 2 B ? ; ????7 分 ? 2 sin B cos B ? 2 2 18 (2)解法一:∠AOB= ? ? ? ,作 OD⊥AB 于 D, ? ?? ? ? ? ? ?? 1 1 ???11 分 ? ?xOD ? ? ? ? ,? tan ? kOD ? ? ? ? , 2 2 2 k 2 ? ?? 2 tan 4 2 ??? 14 分 sin(? ? ? ) ? ?? . ? ?? 5 1 ? tan 2 2
? x2 ? y 2 ? 1 解法二 :? , 5 x 2 ? 4mx ? m 2 ? 1 ? 0 y ? 2x ? m ? 设A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), x1 ? x2 ? ? . 5 5 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? y1 x2 ? x1 y2 ? (2 x1 ? m) x2 ? x1 (2 x2 ? m) 4 ? 4 x1 x2 ? m( x1 ? x2 ) ? ? ????14分 5 4m , x1 x2 ? m2 ? 1

17.解: (1)设 y ? k (a ? x ) x ,当 x ? ∴定义域为 [0,

a 2

时, y ? a ,可得: k ? 4 ,∴ y ? 4(a ? x) x
2

2at 1 ? 2t

] ,为常数,且 t ? [0,1] 。 a

??????7 分

(2) y ? 4(a ? x) x ? ?4( x ? ) 2 ? a 2

2

当 当

2at 1 ? 2t 2at 1 ? 2t

? ?

a 2 a 2

时,即

1 2

? t ?1, x ? 1 2

a 2

时, ymax ? a 2

,即 0 ? t ?

, y ? 4(a ? x) x 在 [0,

2at 1 ? 2t

] 上为增函数

∴当 x ?

2at 1 ? 2t

时, ymax ?

8a 2t (1 ? 2t ) 2

????????14 分

∴当

1 2

? t ? 1 ,投入 x ? 2at 1 ? 2t

a 2

时,附加值 y 最大,为 a 2 万元;

当0 ? t ?

1 2

,投入 x ?

时,附加值 y 最大,为

8a 2t (1 ? 2t ) 2

万元 ??? 15 分 ?????1 分

18. 解: (1)由 2b ? 2 ,得 b ? 1 又由点 M 在准线上,得

a2 c

? 2 ,故 1 ? c ? 2 ,? c ? 1
2

从而 a ?

2

?4 分

c

所以椭圆方程为

x2 2

? y2 ? 1

?????5 分

(2)以 OM 为直径的圆的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? ) ?
2 2

t

t2 4

2

?1

其圆心为 (1, ) ,半径 r ?

t

t2 4

2

?1

?????7 分

因为以 OM 为直径的圆被直线 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 截得的弦长为 2 所以圆心到直线 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 的距离 d ?

r 2 ?1 ?

t 2

?????9 分

所以

3 ? 2t ? 5 5

?

t 2

,解得 t ? 4
2 2

所求圆的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 5 (3)方法一:由平几知: ON 2 ? OK ? OM 直线 OM: y ?

?????10 分

2 x ,直线 FN: y ? ? ( x ? 1) 2 t

t

?????12 分

t ? ?y ? 2 x t2 t2 t2 4 4 ? 由? 得 xK ? 2 ? ON 2 ? 1 ? xK ? 1 ? xM ? (1 ? ) ? 2 ?2 ? 2 4 4 4 t ?4 t ?4 ? y ? ? 2 ( x ? 1) ? t ?
所以线段 ON 的长为定值 2 。 ?????15 分

???? ???? ? FN ? ( x0 ? 1, y0 ), OM ? (2, t ) 方法二、设 N ( x0 , y0 ) ,则 ???? ? ???? MN ? ( x0 ? 2, y0 ? t ), ON ? ( x0 , y0 )

???? ???? ? ? FN ? OM ,? 2( x0 ? 1) ? ty0 ? 0,? 2 x0 ? ty0 ? 2
又? MN ? ON ,? x0 ( x0 ? 2) ? y0 ( y0 ? t ) ? 0,? x0 ? y0 2 ? 2 x0 ? ty0 ? 2
2

???? ?

????

所以, ON ?

x0 2 ? y0 2 ? 2 为定值。
??????? 1 分

19. 解: (1)函数 f (x) 的定义域为{ x | x ? R 且 x ? 0 }

f (? x) ? (? x) 2 ln | ? x |? x 2 ln x ? f ( x) ∴ f (x) 为偶函数 ????? 4 分
(2)当 x ? 0 时, f ?( x) ? 2 x ? ln x ? x 2 ? 若0 ? x ? e
? 1 2

1 x

? x ? (2 ln x ? 1) ??????? 5 分
若x ? e
? 1 2

,则 f ?( x) ? 0 , f (x) 递减;



则 f ?( x) ? 0 , f (x) 递增.

再由 f (x) 是偶函数,得 f (x) 的 递增区间是 ( ? e
? 1 2

, 0) 和 (e
1 2

?

1 2

, ? ?) ;
? 1 2

递减区间是 (0 , e

?

) 和 (?? , ? e

) ??? 9 分
1 x ?k
?????? 10 分

(3)由 f ( x) ? kx ? 1 ,得: x ln | x | ?

令 g (x) ? x ln | x | ?

1 x

,当 x ? 0 , g ?(x) ? ln x ? 1 ?

1 x2

? ln x ?

x2 ?1 x2

???12 分

显然 g ?(1) ? 0 , 0 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 , g (x) ? , x ? 1 时, g ?( x) ? 0 , g (x) ? ∴ x ? 0 时, g ( x) min ? g (1) ? 1 ??????? 14 分

又 g (? x) ? ? g ( x) , ? g (x) 为奇函数,∴ x ? 0 时, g ( x) max ? g (?1) ? ?1 ∴ g (x) 的值域为(-∞,-1]∪[1,+∞) ∴ k 的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞) ??? 16 分 .

20. (1)设 n ? 2k ? 1, k ? N 由 a2 k ?1 ? (1 ? 2 cos

?

(2k ? 1)? 2

) a2 k ?1 ? sin

(2k ? 1)? 2

? a2 k ?1 ? 1

? a2 k ?1 ? a2 k ?1 ? 1 ,∴当 k ? N ? 时,数列 {a2 k - 1} 为等差数列.
∴ a2 k ?1 ? a1 ? (k ? 1) ?1 ? k (2)证: yn ? a2 n ?1 ? n 当 n ? 2 时, 由 bn ? yn 2 ( ??4 分

1 y
2 1

?

1 y2
2

?? ?

1 y
2 n ?1

) ,得

bn yn
2

?

1 y
2 1

?

1 y2
2

?? ?

1 yn ?12





bn n
2

?

1 1
2

?

1 2
2

?? ?

1 (n ? 1) ? bn n
2 2

??①



bn ?1 (n ? 1)
2

?

1 1
2

?

1 2
2

?? ?

1 n2

??②

②式减①式,有

bn ?1 (n ? 1)
2

?

1 n2

,得证.

??? 8 分
1 b1 1 b2 5 4

(3)解:当 n ? 1 时, 1 ?

1 b1

? 2 ? 4 ;当 n ? 2 时, (1 ?

)(1 ?

) ? 2?

? 4,

由(2)知,当 n ? 2 时,

bn ?1 (n ? 1) 2
1 b2

?

1 ? bn n2
1 b3

?

1 ? bn bn ?1
1 bn

?

n2 (n ? 1) 2

??? 10 分

∴当 n ? 3 时, (1 ?

1 b1

) ? (1 ?

) ? (1 ?

) ?? ? (1 ?

)

?

1 ? bn 1 ? b1 1 1 ? b2 1 ? b3 1 ? bn ?1 1 ? b1 1 ? b2 1 ? b3 ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? (1 ? bn ) b1 b2 b3 bn b1 b2 b3 b4 bn

1 22 32 ( n ? 1) 2 n2 1 1 1 1 ? 2 ? ? 2 ? 2 ?? ? b ? 2[1 ? 2 ? 2 ? ? ? ? 2] 2 2 n ?1 2 4 3 4 n (n ? 1) 2 3 ( n ? 1) n


1 n
2

?

1 n(n ? 1)

?

1 n ?1
1

?
1

1 n

(n ? 2) ,
1 1 1 2 ? )] ? 2(2 ? ) ? 4 ? ? 4 , n ?1 n n n 1

∴上式 ? 2[1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? (

2

2

3

∴ (1 ?

1 b1

) ? (1 ?

1 b2

) ? (1 ?

1 b3

) ?? ? (1 ?

1 bn

)? 4.

??? 16 分

2 21. 解: (1)由题设,得 C0 ? ? Cn ? 2 ? ? C1 , n n

1

1

4

2

即 n ? 9n ? 8 ? 0 ,解得 n=8,n=1(舍去) .
2

1 r ?1 ?1 r ? 2r C8 ≥ 2r ?1 C8 , ? (2)设第 r+1 的系数最大,则 ? ? 1 Cr ≥ 1 Cr ?1 . 8 8 ? ? 2r 2r ?1

1 ? 1 ? 8 ? r ≥ 2(r ? 1) , ? 即? 解得 r=2 或 r=3. ?1 ≥ 1 . ? 2r 9 ?1 ?
9

所以系数最大的项为 T3 ? 7 x5 , T4 ? 7 x 2 . 22.解: (1)设盒子中有“会徽卡”n 张,依题意有, 1 ? 解得 n=3 即盒中有“会徽卡”3 张.
2 Cn

C

2 8

?

25 28

(2)因为 ? 表示某人一次抽得 2 张“福娃卡”终止时,所有人共抽取了卡片的次数, 所以 ? 的所有可能取值为 1,2,3,4, P (? ? 1) ?
1 1 2 C32 C52 C3 ? C5 C4 2 ? 2? ? 2 ? ; C82 C6 C82 C6 7

2 C5

C

2 8

?

5 ; 14

P (? ? 2) ?

1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 C32 C1 ? C5 C4 C3 ? C5 C2 C4 C3 ? C5 C2 ? C4 C32 3 ; P (? ? 3) ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 2? 2 ? ? 2 ? 2 ? 2 2 C8 C6 C4 C8 C6 C4 C8 C6 C4 14

P (? ? 4) ?

1 1 1 1 1 1 2 C3 ? C5 C2 ? C4 C1 ? C3 C2 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? , C82 C6 C4 C2 7

概率分布表为:

?
P

1

2

3

4

5 14

2 7

3 14

1 7

? ? 的数学期望为 E? ? 1 ?

5 2 3 1 15 。 ? 2 ? ? 3? ? 4? ? 14 7 14 7 7

23.解:将 y ? tx 代入 y 2 ? 3x 2 ? 2 x3 , 得 t 2 x 2 ? 3x 2 ? 2 x3 ,即 2 x3 ? (3 ? t 2 ) x 2 .

当 x=0 时,y=0; 当 x ? 0 时, x ? 从而 y ?
3 ? t2 2



3t ? t 3 2



? 3 ? t2 x? , ? ? 2 ∵原点 (0, 0) 也满足 ? , 3 ? y ? 3t ? t ? ? 2 ? 3 ? t2 , ?x ? ? 2 ∴曲线 C 的参数方程为 ? (为参数) . 3 ? y ? 3t ? t ? ? 2

24.解: (1)设抛物线方程为 y ? 2 px ,则
2

p 2

? 2 ,? p ? 4

所以,抛物线的方程是 y ? 8 x .
2

(2)直线的方程是 y ? k ( x ? 1) ,联立 ?

? y ? k ( x ? 1), ? y ? 8 x.
2

消去 x 得 ky 2 ? 8 y ? 8k ? 0 ,

显然 k ? 0 ,由 ? ? 64 ? 32k 2 ? 0 ,得 0 ?| k |? 由韦达定理得, y1 ? y2 ? 所以 x1 ? x2 ? 由

2.

8 k

, y1 y2 ? 8 , 8 k
2

y1 ? y2 k

?2?

? 2 ,则 AB 中点 E 坐标是 (

4 ? 1, ) , k k
2

4

k DE ? k ? ?1 可得 k 3t ? 3k 2 ? 4 ? 0 ,
4 k
3

所以, t ?

?

3 k

,令

1 k

? x ,则 t ? 4 x 3 ? 3 x ,其中 | x |?

2 2 2 2


2 2 , ??) 上增函数.

因为 t ? ? 12 x 2 ? 3 ? 0 ,所以函数 t ? 4 x 3 ? 3 x 是在 (??, ? 所以,的取值范围是 (??, ? 5 2 ) ? ( 5 2 , ??) .
2 2

), (


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