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高二数学必修五讲义之1.2解三角形应用


解斜三角形的应用

一、一周知识概述 本节内容是在上一节解三角形的基础上提出了更高的要求,要我们能从实际问题中抽象出一 个或几个三角形.并根据已知条件分析出这些三角形中的对应量,再运用所学的解三角形的知识 去解决问题,从而达到提高解决实际问题的能力. 二、知识归纳及讲解 1、解斜三角形应用题的一般步骤是: ①分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图,抽象成三角形相应边和角及相应大小、 位置,从而成为一个纯解三角形的问题. ②建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一 个解斜三角形的数学模型. ③求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解. ④检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的结论. 解斜三角的基本思路

2、常用术语与相关概念 (1)坡度(亦叫坡角):坡与水平面的夹角的度数. (2)坡比:坡面的铅直高度与水平宽度之比,即坡角的正切值. (3)仰角和俯角:与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线 在水平视线上方时叫仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角. (4)方向角:从指定方向线到目标方向线的水平角.

(5)方位角:从指北方向线顺时针到目标方向线的水平角. 三、难点知识剖析 1、解斜三角形应用题的一般步骤是: (1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图. (2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建 立一个解斜三角形的数学模型. (3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求出数学模型的解. (4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解. 2、解斜三角形应用题常见的几种情况: (1)实际问题经抽象概括后,已知与未知量全部集中在一个三角形中,一次可用正弦定理 或余弦定理解之. (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个三角形中,这时需按顺序逐步在两 个三角形中求出问题的解. (3)实际问题经抽象概括后,涉及的三角形只有一个,但由题目已知条件解此三角形需连 续使用正弦定理或余弦定理. 四、例题讲解 例 1、如图,为了测定河的宽度,在河岸取定基线 BC,其长为α ,在河对岸取定点 A,测得∠ABC= α ,∠ACB=β ,求河宽.

例 2、 隔河看两目标 A 与 B, 但不能到达, 在岸边选取相距

的 C、 两点, D 同时, 测得∠ACB=75°,

∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A、B、C、D 在同一平面内).求两目标 A、B 之间的距 离.

例 3、在海岸 A 处,发现北偏东 45°方向,距 A 75°方向, A 为 距 的 C 处的缉私船奉命以

的 B 处有一艘走私船.在 A 处北偏西 的速度追截走私船, 此时走私船正以 10km

/h 的速度从 B 处向北偏东 30°方向逃窜.问缉私船沿什么方向能最快追上走私船,并求出所需 要的时间.

例 4、 如图所示, 在斜度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 15°, 向山顶前进 100m 后,又从 B 点测得斜度为 45°,设建筑物的高为 50m.求此山对于地平面的斜 度的倾斜角θ (用反三角函数表示).

例 5、A、B、C 是一条直路上的三点,AB=BC=1km,从这三点分别遥望一座电视发射塔 P,A 见塔 在东北方向,B 见塔在正东方向,C 见塔在南偏东 60°方向.求塔到直路的距离.

例 6、 (2003 年全国高考题) 在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市 O(如

图)的东偏南 ( =arccos

)方向 300km 的海面 P 处,并以 20km/h 的速度向西偏北 45°方向移

动.台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为 60km,并以 10km/h 的速度不断增大.问几小时后该 城市开始受到台风的侵袭?


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