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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中人教B版数学必修二课时作业:第2章 习题课 圆的方程(2)]


习题课

圆的方程(二)

【课时目标】 1.正确理解直线与圆的概念并能解决简单的实际问题.2.能利用直线 与圆的位置关系解决简单的实际问题.3.体会用代数方法处理几何问题的思想.

用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”:

一、选择题 1.实数 x,y 满足方程 x+y-4=0,则 x2+y2 的

最小值为( ) A.4 B.6 C.8 D.12 2.若直线 ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相交,则点 P(a,b)的位置是( ) A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.都有可能 y 2 3.如果实数满足(x+2) +y2=3,则 的最大值为( ) x 3 3 A. 3 B.- 3 C. D.- 3 3 4.一辆卡车宽 2.7 米,要经过一个半径为 4.5 米的半圆形隧道(双车道,不得违章), 则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过( ) A.1.4 米 B.3.0 米 C.3.6 米 D.4.5 米 5.已知两点 A(-2,0),B(0,2),点 C 是圆 x2+y2-2x=0 上任意一点,则△ABC 面积的最 小值是( ) A.3- 2 B.3+ 2 3- 2 2 C.3- D. 2 2 6.已知集合 M={(x,y)|y= 9-x2,y≠0},N={(x,y)|y=x+b},若 M∩N≠?,则实数 b 的取值范围是( ) A.[-3 2,3 2] B.[-3,3] C.(-3,3 2] D.[-3 2,3) 二、填空题 7.由直线 y=x+1 上的一点向圆(x-3)2+y2=1 引切线,则切线长的最小值为________. 8.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2=4 上有且只有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是________. 9.如图所示,A,B 是直线 l 上的两点,且 AB=2.两个半径相等的动圆分别与 l 相切于 A, B 点, C 是两个圆的公共点, 则圆弧 AC, CB 与线段 AB 围成图形面积 S 的取值范围是______.

三、解答题 10.如图所示,圆 O1 和圆 O2 的半径都等于 1,O1O2=4.过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线 PM、PN(M、N 为切点),使得|PM|= 2|PN|.试建立平面直角坐标系,并求动点 P 的 轨迹方程.

11.自点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在直线与圆 x2+ y2-4x-4y+7=0 相切,求光线 l 所在直线的方程.

能力提升 12.已知圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为 1 的直线 l,使得 l 被 C 截得的弦 AB 为直径的圆经过原点.若存在,求出直线 l 的方程,若不存在,说明理由.

13.一艘轮船沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报,台风中心位于轮船正西 70 km 处,受影响的范围是半径为 30 km 的圆形区域,已知港口位于台风中心正北 40 km 处, 如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?

1. 利用坐标法解决平面几何问题, 是将几何中“形”的问题转化为代数中“数”的问题, 应用的是数学中最基本的思想方法:转化与化归的思想方法,事实上,数学中一切问题的解 决都离不开转化与化归.所谓转化与化归思想是指把待解决的问题(或未解决的问题)转化归结 为已有知识范围内可解决的问题的一种数学意识. 2.利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意 义,然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题.

习题课

圆的方程(二)

答案

作业设计 1.C [令 t=x2+y2,则 t 表示直线上的点到原点距离的平方,当过原点的直线与 l:x+y -4=0 垂直时,可得最小距离为 2 2,则 tmin=8.] 1 2.B [由题意 2 <1?a2+b2>1,故 P 在圆外.] a +b2 3.A [

y CD 3 令 t= , 则 t 表示圆(x+2)2+y2=3 上的点与原点连线的斜率, 如图所示, 此时 k= = x OD 1 = 3,相切时斜率最大.] 4.C [

可画示意图,如图所示,通过勾股定理解得: OD= OC2-CD2=3.6(米).] 5.A [lAB:x-y+2=0,圆心(1,0)到 l 的距离 |3| 3 3 d= = ,∴AB 边上的高的最小值为 -1. 2 2 2 3 1 ∴Smin= ×(2 2)×? -1?=3- 2.] 2 ? 2 ? 6 . C [M∩N≠ ? ,说明直线 y = x + b 与半圆 x2 + y2 = 9(y>0) 相交,画图探索可知- 3<b≤3 2,解决本题的关键是注意到 y= 9-x2?x2+y2=9(y>0)的图形是半圆.] 7. 7 解析 设 P(x0,y0)为直线 y=x+1 上一点,圆心 C(3,0)到 P 点的距离为 d,切线长为 l, 则 l= d2-1,当 d 最小时 l 最小,当 PC 垂直直线 y=x+1 时,d 最小,此时 d=2 2, ∴lmin= ?2 2?2-1= 7. 8.(-13,13) 解析 由题设得,若圆上有四个点到直线的距离为 1,则需圆心(0,0)到直线的距离 d 满足 0≤d<1. |c| |c| ∵d= 2 2=13, 12 +5

∴0≤|c|<13,即 c∈(-13,13). π? 9.? ?0,2-2?

解析 如图所示,由题意知,当两动圆外切时,围成图形面积 S 取得最大值, 此时 ABO2O1 为矩形, 1π 2 π 且 Smax=2×1- ·· 1 ×2=2- . 22 2 10.解 以 O1O2 的中点 O 为原点,O1O2 所在直线为 x 轴,建立如图所示的坐标系, 则 O1(-2,0),O2(2,0).

由已知|PM|= 2|PN|, ∴|PM|2=2|PN|2. 又∵两圆的半径均为 1, 所以|PO1|2-1 =2(|PO2|2-1),设 P(x,y), 则(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1], 即(x-6)2+y2=33. ∴所求动点 P 的轨迹方程为(x-6)2+y2=33. 11.解

如图所示,已知圆 C:x2+y2-4x-4y+7=0 关于 x 轴对称的圆为 C1:(x-2)2+(y+2)2 =1,其圆心 C1 的坐标为(2,-2),半径为 1,由光的反射定律知,入射光线所在直线方程与 圆 C1 相切. 设 l 的方程为 y-3=k(x+3), |5k+5| 则 2 2=1,即 12k2+25k+12=0. 1 +k 4 3 ∴k1=- ,k2=- . 3 4 则 l 的方程为 4x+3y+3=0 或 3x+4y-3=0. 12.解 假设存在,设直线方程为 y=x+b, ? ?y=x+b 则? 2 2 ? ?x +y -2x+4y-4=0 ?2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 Δ=4(b+1)2-8(b2+4b-4)>0. ∴-3-3 2<b<-3+3 2.

而 x1+x2=-(b+1),x1x2= 由 y1y2=(x1+b)(x2+b)

b2+4b-4 , 2

b2+2b-4 =x1x2+b(x1+x2)+b2= , 2 y2 y1 ∵AB 为直径, · =-1,即 y1y2+x1x2=0, x2 x1 b2+4b-4 b2+2b-4 ∴ + =0 即 b2+3b-4=0, 2 2 ∴b=1 或 b=-4. ∴直线 l 的方程为 y=x+1 或 y=x-4. 13.

解 以台风中心为坐标原点, 以东西方向为 x 轴建立直角坐标系(如图所示), 其中取 10 km 2 2 为单位长度,则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为 x +y =9, 港口所对应的点的坐标为(0,4), 轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0), 则轮船航线所在直线 l 的方程为 x y + =1,即 4x+7y-28=0. 7 4 圆心(0,0)到直线 4x+7y-28=0 的距离 |28| 28 d= 2 2= ,而半径 r=3,∵d>r,∴直线与圆相离,所以轮船不会受到台风的影 65 4 +7 响.


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