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江苏省黄桥中学2014-2015学年度高二下学期理科数学周周练十


江苏省黄桥中学高二数学(理科)周周练十
2015/6/2 一、填空题 2i 1、已知复数 z= -1,其中 i 为虚数单位,则 z 的模为 1-i ▲ .

2-bi 2、如果复数 (其中 i 为虚数单位,b 为实数)的实部和虚部互为相反数,那么 b 等于 1+2i ▲ . 3、 已知 a∈R, 则“a>2”是“a2>2a”成立的 ▲ 条件. (填

“充分不必要” 、 “必 要不充分” 、 “充要”或“既不充分也不必要”) 4、已知四边形 ABCD 为梯形,AB∥CD,l 为空间一直线,则“l 垂直于两腰 AD,BC”是“l 垂直于两底 AB, DC”的 ▲ 条件(填写“充分不必要”, “必要不充分”, “充要”, “既不充分也不必要”中的一个). 5、记不等式 x2+x-6<0 的解集为集合 A,函数 y=lg(x-a)的定义域为集合 B.若“x∈A” 是“x∈B”的充分条件,则实数 a 的取值范围为 ▲ . 6、给出下列三个命题: ①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件; ②“α>β”是“cosα<cosβ”的必要不充分条件; ③“a?0”是“函数 f(x) ??x3+ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件. 其中正确命题的序号为 ▲ .

7、现有一个关于平面图形的命题:如下图,同一个平面内有两个边长都是 a 的正方形,其中 a2 一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为 .类比到空间,有两个 4 棱长均为 a 的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积 恒为 ▲ .

8、如上图,在平面中△ABC 的角 C 的内角平分线 CE 分△ABC 面积所成的比

S△AEC AC = ,将 S△BEC BC

这个结论类比到空间:在三棱锥 A BCD 中,平面 DEC 平分二面角 A CD B 且与 AB 交于 E, 则类比的结论为 ▲ . 9、设 p:方程 x +2mx+1=0 有两个不相等的正根,q:方程 x +2(m-2)x-3m+ 10=0 无实根,则使 p∨q 为真,p∧q 为假的实数 m 的取值范围是 ▲ . 10、某台小型晚会由 6 个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位,节目乙 不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的编排方案共有
2 2

▲ .种. 11、从甲、乙等 10 名同学中挑选 4 名参加某项公益活动,要求甲、乙中至少有 1 人参加,则 不同的挑选方法共有 ▲ .种. 16 2 1 12、已知(a2+1)n 展开式中各项系数之和等于? 5 x + ?5 的展开式的常数项,而(a2+1)n 展开 x? ? 式的二项式系数最大的项的系数等于 54,则 a 的值为
2





13、已知集合 A={x|x +a≤(a+1)x,a∈R},?a∈R,使得集合 A 中所有整数的 元素和为 28,则实数 a 的取值范围是 ▲ . 14 、 已 知 函 数

f ( x) ? x3 ? x2 ? mx ? 2 , 若 对 任 意 x1 , x2 ? R , 均 满 足
▲ .

(x1 ? x2) ? f (x1) ? f (x2 )? ? 0 ,则实数 m 的取值范围是
二、解答题 15、已知矩阵 A=?

a 1? ? 1 a ?,直线 l:x-y+4=0 在矩阵 A 对应的变换作用下变为

直线 l?:x-y+2a=0. (1)求实数 a 的值; (2)求 A2.

? x ? r cos ?, 16、在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数,r 为常数,r> ? y ? r sin ?,

0) .以原 点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极 坐标系,直 线 l 的极坐 标方程为

? 2? cos(? ? ) ? 2 ? 0 .若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,且 AB ? 2 2 ,求 r 的值. 4

17、袋中共有 8 个球,其中有 3 个白球,5 个黑球,这些球除颜色外完全相同.从袋中随机取 出一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回,并且另 补一个白球放入袋中.重复上述过程 n 次后,袋中白球的个数记为 Xn. (1)求随机变量 X2 的概率分布及数学期望 E(X2); (2)求随机变量 Xn 的数学期望 E(Xn)关于 n 的表达式.

18、在等比数列{an}中,前 n 项和为 Sn,若 Sm,Sm+2,Sm+1 成等差数列,则 am,am
+2

,am+1 成等差数列.

(1)写出这个命题的逆命题; (2)判断逆命题是否为真?并给出证明.

1 1 a + ?. 19、在各项均为正数的数列{an}中,数列的前 n 项和为 Sn 满足 Sn= ? 2? n an? (1)求 a1,a2,a3 的值; (2)由(1)猜想出数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想.

20、某品牌设计了编号依次为 1,2,3,?,n(n≥4,且 n∈N*)的 n 种不同款式的时装,由甲、 乙两位模特分别独立地从中随机选择 i,j(0≤i,j≤n,且 i,j∈N)种款式用来拍摄广告. (1)若 i=j=2,且甲在 1 到 m(m 为给定的正整数,且 2≤m≤n-2)号中选择,乙在(m+1) 到 n 号中选择.记 Pst(1≤s≤m,m+1≤t≤n)为款式(编号)s 和 t 同时被选中的概率,求所有的 Pst 的和; (2)求至少有一个款式为甲和乙共同认可的概率.

江苏省黄桥中学高二数学(理科)周周练十参考答案
1、 5 2 2、- 3 3、充分不必要 4、充分不必要 9、(-∞,-2]∪[-1,3) 5、(-∞,-3] a3 6、③ 7、 8

S△ACD VA CDE 8、 = VB S△BDC CDE

10、42 11、140 12、± 3

13、[7,8) 14、 ? , ?? ?

?1 ?3

? ?

15、解: (1)设直线 l 上一点 M0(x0,y0)在矩阵 A 对应的变换作用下变为 l ?上点 M(x,y),

则?

? x ?=? a 1 ?? x0 ? ? ? y ? ? 1 a ?? y0

?=? ax0+y0 ? ? ? ? x0+ay0

?x=ax0+y0, ? ?, 所以?y=x +ay . ? 0 0 ?

代入 l ?方程得(ax0+y0)-(x0+ay0)+2a=0,即(a-1)x0-(a-1)y0+2a=0. 2a 因为(x0,y0)满足 x0-y0+4=0,所以 =4,解得 a=2. a-1 (2)由 A=? 2 1? 2 ? 2 1 ?? 2 1 ? ?5 4? ? 1 2 ?,得 A =? 1 2 ??? 1 2 ?=? 4 5 ?.

? 16、解:由 2? cos(? ? ) ? 2 ? 0 ,得 ? cos? ? ? sin ? ? 2 ? 0 ,即直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 . 4
? x ? r cos ?, 由? 得曲线 C 的普通方程为 x2 ? y 2 ? r 2 ,圆心坐标为 (0, 0) , ? y ? r sin ?,

所以,圆心到直线的距离 d ? 2 ,由 AB ? 2 r 2 ? d 2 ,则 r ? 2 . 17、解: (1)由题意可知 X2?3,4,5. 当 X2?3 时,即二次摸球均摸到白球,其概率是 P(X2?3)?
C1 C1 9 3 3 ? ? ; 1 1 C8 C8 64
1 1 C1 C1 35 3 C5 5 C4 ? ? ; 1 1 1 C1 C C C 64 8 8 8 8

当 X2?4 时,即二次摸球恰好摸到一白,一黑球,其概率是 P(X2?4)? 当 X2?5 时,即二次摸球均摸到黑球,其概率是 P(X2?5)? 所以随机变量 X2 的概率分布如下表: X2 P 3 4 5 9 35 5 64 64 16 (一个概率得一分 不列表不扣分)

1 C1 5 5C4 ? .?? 1 1 C8 C8 16

4分

9 35 5 267 .???????????? 7分 ? 4? ? 5? ? 64 64 16 64 (2)设 P(Xn?3+k)?pk,k?0,1,2,3,4,5. 则 p0+p1+p2+p3+p4+p5?1,E(Xn)?3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5. 3 4 4 6 5 5 3 P(Xn+1?3)? p0 ,P(Xn+1?4)? p0+ p1,P(Xn+1?5)? p1+ p2,P(Xn+1?6)? p2+ p3, 8 8 8 8 8 8 8 2 7 1 8 P(Xn+1?7)? p3+ p4,P(Xn+1?8)? p4+ p5,????????? 10 分 8 8 8 8 所以,E(Xn+1) 4 4 6 2 7 3 5 5 3 1 8 ?3× p0+4× ( p0+ p1)+5× ( p1+ p2)+6× ( p2+ p3)+7× ( p3+ p4)+8× ( p4+ p5) 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 29 36 43 50 57 64 ? p0+ p1+ p2+ p3+ p4+ p5 8 8 8 8 8 8 7 ? (3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5)+ p0+p1+p2+p3+p4+p5 8 7 ? E(Xn)+1. ???????13 分 8 7 由此可知,E(Xn+1)?8? (E(Xn)?8). 8 35 35 7 又 E(X1)?8? ? ,所以 E(Xn)? 8 ? ( )n ?1 .??????????? 15 分 8 8 8 18、解 (1)逆命题:在等比数列{an}中,前 n 项和为 Sn,若 am,am+2,am+1 成
数学期望 E(X2)? 3 ?

等差数列,则 Sm,Sm+2,Sm+1 成等差数列. (2)设数列{an}的首项为 a1,公比为 q. 由题意知,2am+2=am+am+1, 即 2a1·qm+1=a1·qm-1+a1·qm. 因为 a1≠0,q≠0,所以 2q2-q-1=0, 1 解得 q=1 或 q=-2. 当 q=1 时,有 Sm=ma1, Sm+2=(m+2)a1,Sm+1=(m+1)a1. 显然 2Sm+2≠Sm+Sm+1,此时逆命题为假. 1 当 q=-2时,有 ? 1?m+2? ? 2a1?1-? ?-2? ? ? ? ? 4 ? ? 1?m+2? ?, 2Sm+2= = a 1?1-?- ? 1 3 ? ? 2? ? 1+2

? ? 1?m? ? 1?m+1? ? a1?1-? ?-2? ? a1?1-?-2? ? ? ? ? ? ? ? ? Sm+Sm+1= + 1 1 1+2 1+2 4 ? 1?m+2? ?, =3a1?1-? ?-2? ? ? ? ? 故 2Sm+2=Sm+Sm+1,此时逆命题为真. 综上所述,当 q=1 时,逆命题为假; 1 当 q=-2时,逆命题为真.
1 1 2 a1+ ?得,a1 19、解 (1)由 S1= ? =1,而 an>0,所以 a1=1. a ? 2 1? 1 1 2 a2+ ?得,a2 由 S2= ? +2a2-1=0,所以 a2= 2-1. a2? 2? 1 1 a3+ ?得,a2 又由 S3= ? 3+2 2a3-1=0, a3? 2? 所以 a3= 3- 2.(6 分) (2)猜想 an= n- n-1(n∈N*).(8 分) ①当 n=1 时,a1=1= 1- 1-1,猜想成立; ②假设 n=k(k≥1)时猜想成立,即 ak= k- k-1, 1 1 1 1 ak+ ?. 则当 n=k+1 时,ak+1=Sk+1-Sk= ?ak+1+a ?- ? a ? 2? 2 + ? k? k 1 1 1 1 1? ? 即 ak+1= ?ak+1+a ?- ? k- k-1+ ? 2? 2? k- k-1? k+1? 1 1 = ?ak+1+a ?- k,(12 分) 2? k+1? 化简得 a2 k+1+2 k ak+1-1=0,解得 ak+1= k+1- k= k+1- ?k+1?-1, 即 n=k+1 时猜想成立,(14 分) 综上,由①、②知 an= n- n-1(n∈N*).(16 分) 20、解 (1)甲从 1 到 m(m 为给定的正整数,且 2≤m≤n-2)号中任选两款,乙从(m+1)到 n
2 号中任选两款的所有等可能基本事件的种数为 C2 mCn-m,

记“款式 s 和 t(1≤s≤m,m+1≤t≤n)同时被选中”为事件 A,则事件 A 包含的基本事件
1 1 1 的种数为 C1 C1 Cn-?m+1?, 1Cm-1· 1 1 C1 C1 4 1Cm-1· 1Cn-?m+1? 所以 P(A)=Pst= = , 2 C2 m?n-m? mCn-m

4 1 则所有的 Pst 的和为:C1 =4; mCn-m· m?n-m?
1 2 n n (2)甲从 n 种不同款式的服装中选取服装的所有可能种数为:C0 n+Cn+Cn+?+Cn=2 ,

同理得,乙从 n 种不同款式的服装中选取服装的所有可能种数为 2n, 据分步乘法计数原理得,所有等可能的基本事件的种数为:2n· 2n=4n, 记“至少有一个款式为甲和乙共同认可”为事件 B,则事件 B 的对应事件 B 为:“没有 一个款式为甲和乙共同认可”,而事件 B 包含的基本事件种数为:
0 1 2 n 1 1 2 n 1 n 1 1 Cn · (C 0 (C 0 (C 0 n + C n + C n +?+ C n ) + C n · n-1 + C n-1 + C n-1 +?+ C n-1 ) +?+ C n · 1+C1 ) +
- -

n Cn · (C0 0) 1 =C0 2n+C1 2n 1+?+Cn 2+Cn 20 n· n· n · n·
- -

=(1+2)n=3n, 3?n 所以 P(B)=1-P( B )=1-? ?4? .


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