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2.2.1 直线的参数方程


§2 直线和圆锥曲线的参数方程

-1-

2.1

直线的参数方程

-2-

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D典例透析 S随堂演练
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1.掌握直线参数方程的标准形式,理解参数 t 的几何意义. 2.能依据直线的几何性质,写出它的两种形式的参数方程,体会参数的 几何意义. 3.能利用直线的参数方程解决简单的实际问题.

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直线的参数方程
已知条件 参数方程 参数的几何意义 x = x0 + tα, y = y0 + tα (t 为参数) M(x,y)为直线上任意一点,参 点 P(x0,y0),倾斜角 α 令 a=cos α,b=sin α, 数 t 表示从点 P 到点 M 的位 x = x0 + at, 移 (t 为参 y = y0 + bt 数,a2+b2=1) M(x,y)为直线上任意一点,参 x +λ x 数 λ 的几何意义是动点 M 分 x = 1 2, QM 1+ λ ( λ 为参 有向线段 QP 的数量比 .当 y 1+ λ y 2 MP Q(x1,y1),P(x2,y2)(x1≠ x2) y= 1+ λ λ>0 时,M 为内分点;当 λ<0, 数,λ≠ -1) 且 λ≠ -1 时,M 为外分点;当 λ=0 时,M 与 Q 重合.

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【做一做 1】直线 A.30° 答案 :B

= -2 + cos60°, (t 为参数)的倾斜角 α 等于( = 3 + sin60° B.60° C.-45° D.135°

).

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【做一做 2】经过点 M(-2,3),倾斜角为 的直线 l 的参数方程是( A. = -2 + sin = 3 + cos = 2-cos
3π 4 3π 4 4 3π 4



).

, (t 为参数)

B.

,
4

= 3 + sin = 2-sin
4



(t 为参数)



C.

,

= 3 + cos



(t 为参数) , (t 为参数)

D.

= -2 + cos

4 3π

= 3 + sin 4 答案 :D

4 3π

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【做一做 3】 经过点 Q(1,2),P(3,7)的直线的参数方程为( A. = = = =
2+3

, 1+ (λ 为参数,λ ≠-1) 1+7
1+ -1+3 1+ -2+7 1+

B.

= =

1+3 1+ 2+7 1+ 1 -3

).

, (λ 为参数,λ≠-1)

C.

, = , 1+ (λ 为参数,λ≠-1) D. (λ 为参数,λ≠-1) 2 -7 =
1+

解析 :设直线 PQ 上的动点 M(x,y),参数 λ= = =
1+3 1+ 2+7 1+

,则直线 PQ 的参数方程为

, (λ 为参数,λ≠-1).

答案 :B

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1 .直线参数方程的标准式中 t 的几何意义 剖析 :经过点 P(x0,y0),倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程的标准形式是 = 0 + cos, = 0 + sin (t 为参数). 其中参数 t 的几何意义是从点 P 到直线上任意一点 M 的位移.若动点 M 在定点 P 的上方,则 t>0;若动点 M 在定点 P 的下方,则 t<0;若点 P 与点 M 重合 ,则 t=0.动点 M 到定点 P 的距离是||=|t|.

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2 .由直线的参数方程求直线的倾斜角 = 0 + cos, 剖析 :如果直线的参数方程是 (t 为参数)的形式,由方程 = 0 + sin 直接可得出倾斜角,即方程中的角 θ,例如,直线的参数方程为 = 1 + cos15°, (t 为参数),则直线的倾斜角为 15°. = 1 + sin15° = 1 + sin15°, 如果不是上述形式,例如,直线 (t 为参数)的倾斜角就 = 1 + cos15° -1 = sin15°, 不能直接判断了.第一种方法:把参数方程改写为 消去 t,有 -1 = cos15°, 1 y-1= (x-1),即 y-1=tan 75°(x-1),故倾斜角为 75°.第二种方法:把原方 tan15 ° = 1 + cos75°, 程化为标准形式,即 可以看出直线的倾斜角为 75°. = 1 + sin75°,

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题型一

题型二

题型三

题型一 直线的参数方程

【例 1】 已知直线 l 的方程 3x-4y+1=0,点 P(1,1)在直线 l 上,写出直线 l 的参数方程,并求点 P 到点 M(5,4)和点 N(-2,6)的距离. 分析 :先由直线方程求出其斜率 k,利用 tan α=k 求 sin α 与 cos α. 解 :由直线方程 3x-4y+1=0 可知,直线的斜率为 ,设直线的倾斜角为 α, 则 又点 P(1,1)在直线 l 上,
3 3 4 tan α= ,sin α= ,cos α= . 4 5 5 4 4 3

= 1 + , 5 所以直线 l 的参数方程为 (t 为参数). 3 = 1 +
5

因为 3×5-4×4+1=0,所以点 M 在直线 l 上,由 1+ t=5,得 t=5,即点 P 到 5 点 M 的距离为 5. 因为点 N 不在直线 l 上,故根据两点之间的距离公式,可得 |PN|= (1 + 2)2 + (1-6 )2 = 34.
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题型一

题型二

题型三

反思要写出直线的参数方程,只需知道直线过定点(x0,y0)及直线的倾斜 角 α,即可根据直线参数方程的标准形式写出其参数方程.

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题型一

题型二

题型三

【变式训练 1】 已知直线 l 过点 P(3,2),且与 x 轴和 y 轴的正半轴分别 交于 A,B 两点,求|PA| · |PB| 的值最小时的直线 l 的方程. = 3 + cos , 解 :设直线的倾斜角为 α,则它的参数方程为 (t 为参数). = 2 + sin ∵点 A,B 在直线 l 上,∴可设它们对应的参数分别为 t1,t2. 由 A,B 分别是 x 轴、y 轴上的点知 yA=0,xB=0,

∴0=2+t1sin α,则 |PA|=|t1|=

2

sin 3 0=3+t2cos α,即 |PB|=|t2|=. cos 2 3 12 故 |PA| · |PB|= =. sin cos sin2

;

∵直线与 x 轴,y 轴的交点在正半轴上,∴90°<α<180°, ∴当 2α=270°,即 α=135°时,|PA| · |PB|有最小值. ∴直线方程为
= 32 2

,

= 2 +

化成普通方程为 x+y-5=0.

2 2

(t 为参数),
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题型一

题型二

题型三

题型二 直线的参数方程与倾斜角

= 3 + sin20°, 【例 2】 直线 (t 为参数)的倾斜角是 ( ). = -cos20° A.20° B.70° C.110° D.160° -3 = sin20°, 解析 :方法一:将原方程改写成 消去 t,得 y=tan - = cos20°, 110°(x-3),所以直线的倾斜角为 110°. = 3 + (-)cos110°, 方法二:将原参数方程化为 = (-)sin110°, = 3 + 'cos110°, 令 -t=t',则 所以直线的倾斜角为 110°. = 'sin110°, 答案 :C = 0 + cos, 反思只有在 (t 为参数)中,θ 才表示直线的倾斜角.如果不 = 0 + sin 是这种形式,则需要进行转化.
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题型一

题型二

题型三

【变式训练 2】 已知直线 l:

= - 3 +
1

= 2 + 2 (1)分别求 t=0,t=2 及 t=-2 时对应 l 上的点 M(x,y); (2)求直线 l 的倾斜角; (3)求直线 l 上的点 M(-3 3,0)对应的参数 t,并说明 t 的几何意义. 解 :(1)由直线 l: = - 3 + = 2 +
2 1 3 , 2 (t

3 , 2 (t

为参数).

为参数)知,当 t=0,t=2 及 t=-2 时分别

对应 l 上的点为(- 3,2),(0,3),(-2 3,1).

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题型一

题型二

题型三

(2)方法一 :化直线 l:
3

= - 3 + = 2 +
3 2 3 1

3 2

, (t 为参数)为普通方程为
π 6

y-2= (x+ 3),其中 k=tan α= ,0≤α<π ,故直线 l 的倾斜角为 α= .
3

方法二:由于直线 l: 即为

= - 3 +
π 6 1 2

3 , 2

= 2 + , (t 为参数),
π 6

= - 3 + cos , = 2 + sin
π 6

这是过点 M0(- 3,2),且倾斜角为 的直线. (3)由 M(-3 3,0),得 -3 3 = - 3 + 0 = 2 + .
1 2 3 , 2

解得 t=-4,t 的几何意义为点 M 相对于点 M0(- 3,2)的位移 ,即|0 |=4, -15点 M 在直线 l 上的点 M0 的下方.

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题型一

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题型三

题型三 直线参数方程的应用

【例 3】 已知直线 l:x+y-1=0 与抛物线 y=x2 交于 A,B 两点,求线段 AB 的长和点 M(-1,2)到 A,B 两点的距离之积. 3π 解 :因为 l 过定点 M,且 l 的倾斜角为 ,所以它的参数方程是
3π = -1 + cos , 4 (t 为参数). 3π = 2 + sin 4 2 = -1- , 2 即 (t 为参数 ). 2 = 2 + 2 4



把 ①代入抛物线方程,得 t2+ 2t-2=0. 解得 t1=
- 2+ 10 2

,t2=

- 2 - 10 2

.

由参数 t 的几何意义,得|AB|=|t1-t2|= 10,|MA|· |MB|=|t1t2|=2. 反思本题涉及由直线 l 的普通方程写出它的参数方程,在解题过程中,注 意参数 t 的几何意义的应用.
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【变式训练 3】 已知直线 l 过点 P(2,0),斜率为 ,直线 l 和抛物线 y2=2x 3 相交于 A,B 两点,设线段 AB 的中点为 M,求: (1)P,M 两点间的距离|PM| ; (2)点 M 的坐标,线段 AB 的长|AB|. 解 :(1)∵直线 l 过点 P(2,0),斜率为 ,设直线的倾斜角为 α,则 tan α= ,cos α= ,sin α= .
5 5 3 4 3 3 4 4

4

= 2 + , 5 ∴直线 l 的参数方程为 (t 为参数 ). ① 4 = 5 ∵直线 l 和抛物线相交 ,将直线 l 的参数方程①代入抛物线 y2=2x 中 ,整 理得 8t2-15t-50=0. ∵Δ=(-15)2+4×8×50>0, ∴设这个二次方程的两个实根为 t1,t2.
-17-

3

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题型一

题型二

题型三

由根与系数关系得 t1+t2= ,t1t2=- ,

15 8

25 4

∵M 为 AB 的中点,根据 t 的几何意义,
得 |PM|=
1 +2 2

=

15 16

.
3 15 15 16

(2)∵中点 M 所对应的参数为 tM= ,将此值代入直线 l 的参数方程①, 得点 M 的坐标为 = 2 + × =
5 16 4 15 × , 5 16

, 即M
5 8

41 3 16 4

,

.

|AB|=|t 2-t1|= (1 + 2 )2 -412 =

73.

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1

2

3

4

5

= -2- 2, 1 直线 (t 为参数)上与点 P(-2,3)的距离等于 2的点的坐标 = 3 + 2 是( ). A.(-4,5) B.(-3,4) C.(-3,4)或(-1,2) D.(-4,5)或(0,1) 解析 :设直线上的点 Q(-2- 2t ,3+ 2t )与点 P(-2,3)的距离等于 2, 即 d= (-2- 2 + 2)2 + (3 + 2-3)2 = 2. 解得 t=± .
2 2 2 2

当 t= 时 ,
2

2

= -2- 2 ×

= -3,
2

= 3 + 2 × 所以 Q(-3,4).

2

= 4,
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1

2

3

4

5



2 t=- 时 , 2

= -2- 2 × -

2 2

= -1, = 2,

= 3 + 2 × -

2 2

所以 Q(-1,2). 综上 ,符合题意的点的坐标为(-3,4)或 (-1,2). 答案 :C

-20-

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1

2

3

4

5

2 如果直线 l 的参数方程为 倾斜角是( A.65° 即 y= ). B.25°

= 1-sin25°, (t 为参数),那么直线 l 的 = 2 + cos25° C.155° D.115°

解析 :消去参数 t,可得

cos25 ° (1-x)+2 sin25 ° sin115° = (1-x)+2 -cos115 °

1 - -2 = , sin25° cos25 °

=tan 115°(x-1)+2. 故直线 l 的倾斜角为 115°. 答案 :D

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1

2

3

4

5

= 0 + cos, = 0 -3, 3若 (λ 为参数)与 = + sin (t 为参数)表示同一条直 = 0 + 4 0 线,则 λ 与 t 的关系是( ). A.λ=5t B.λ=-5t C.t=5λ D.t=-5λ 解析 :由 x-x0,得 -3λ=tcos α.由 y-y0,得 4λ=tsin α,消去 α 的三角函数,得 25λ2=t2, 即 t=±5λ.由 4λ=tsin α,可排除 t=-5λ,所以 t=5λ. 答案 :C

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1

2

3

4

5

4 已知一条直线的参数方程是

= 1 + ,
2

1

= -5 +

程是 x-y-2 3=0,则两条直线的交点与点(1,-5)的距离是 解析 :把参数方程代入 x-y-2 3=0, 得 1+ t+5- t-2 3=0,解得 t=4 3.
1 2 3 2

3 2

(t 为参数),另一条直线的方 .

所以两条直线的交点坐标为(1+2 3,1),则交点与点(1,-5)的距离为 d= (1 + 2 3-1)2 + (1 + 5)2 = 12 + 36=4 3. 答案 :4 3

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1

2

3

4

5

5 已知两点 A(2,1),B(-1,2)和直线 l:x+2y-5=0.求过点 A,B 的直线的参数 方程,并求它与直线 l 的交点的坐标. 解 :设 P(x,y)为直线 AB 上的动点,选取参数 λ= = =
2 - 1+ (λ 1+2 1+ | | ,则直线 | |

AB 的参数方程为

,

为参数).



1 把 ①代入 x+2y-5=0,得 λ=- . 2 1 = 5, 把 λ=- 代入①得 2 = 0,

即交点坐标为(5,0).

-24-



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